(1)Analysis-Aufgaben: Folgen und Reihen 3 1

Analysis-Aufgaben: Folgen und Reihen 3

1. Bestimme die Grenzwerte der folgenden Folgen:

a_n =4 + ¹_n

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n −1 b_n= (3 + 1

n)(4− 1

n) c_n= (n−3)²· n n²+ 1 dn =(3n−1)³

n³ en= 3 + 0.8ⁿ fn= (2n−1)(3n+ 5) (n+ 2)(4n−1) gn=(2n+ 3)⁴(3n−2)²

(3n+ 2)³(2n−3)⁴ hn= (3n²+ 2n−7)⁴

(5n³−1)² in= 7 +4n+ 1 n+ 3

jn=

3 n+1−⁴_n

1 n

kn= (n+ 4)³−n³

(n+ 4)³+n³ ln= 3ⁿ+ 1 3ⁿ⁺¹ mn= 3ⁿ

3ⁿ·3⁻ⁿ on = 4ⁿ⁺¹ 4ⁿ−4ⁿ⁻¹ L¨osungen:

limn→∞an=−4, limn→∞bn= 12, limn→∞cn=∞, limn→∞dn= 27, limn→∞en= 3 , limn→∞fn= 1.5, limn→∞gn= 0, limn→∞hn=∞, limn→∞in= 11, limn→∞jn=−1, limn→∞kn= 0, limn→∞ln= ¹₃ , limn→∞mn=∞, limn→∞on=¹⁶₃ ,

2. Bestimme den Grenzwert der Folgen und gib an, wie viele Gliederausser- halbder vorgegebenen-Umgebung um den Limes liegen:

(a) an= 1

2n−5, = 0,1 (b) bn = 8

2ⁿ⁻², = 0,0001 (c) cn = 2

√5n−2, = 0,001 (d) dn= 2ⁿ⁺⁴

3ⁿ , = 0,001

3. Beweise, dass 0 nicht der Limes vonxn =n−2 3n ist.

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4. Bringe die BegriffeMonotonie, Beschr¨anktheitundKonvergenzin Zusam- menhang und formuliereVergleichss¨atze.

(Bilde Aussagen, ohne Beweise!)

5. Die Folgen (x_n)_n∈N und (y_n)_n∈Nsind wie folgt definiert:

xn :=(3−n)³

3n³−1 und yn :=1 + (−1)ⁿn² 2 + 3n+n²

Entscheide bei beiden Folgen, ob sie beschr¨ankt oder konvergent bzw.

divergent sind und bestimme im Fall der Konvergenz den Grenzwert.

6. Beweise die Eindeutigkeit des Grenzwertes.

7. Formuliere die Cauchy-Bedingung und beweise, dass eine Cauchy-Folge konvergiert.

8. Beweise mit Hilfe der Cauchy-Bedingung, dass die harmonische Reihe di- vergiert.

9. Definiere die Begriffearithmetische Folgeundgeometrische Folge.

10. Zeige, dass die Folge a_n= (1 + 1 n)ⁿ (a) monoton steigend ist,

(b) nach oben beschr¨ankt ist und somit konvergent ist.

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