Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 19.04.2011 Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich
2. ¨Ubungsblatt zur Numerischen Mathematik II
Aufgabe 4: (Fourierreihen) Sei c= (cn)∞n=−∞ eine absolut summierbare Folge komplexer Zahlen.
Zeigen Sie:
(a)
cn= 1 2π
Z 2π
0
ˆ
c(θ)e−inθdθ , wobei ˆc(θ) =
∞
X
n=−∞
cneinθ.
(b)
∞
X
n=−∞
|cn|2 = 1 2π
Z 2π
0
|ˆc(θ)|2dθ
(c) Ist die Folge d = (dn)∞n=−∞ ebenfalls absolut summierbar, so ist es auch die Faltung c∗d, definiert durch (c∗d)n=P∞
j=−∞cn−jdj.Es gilt cd∗d= ˆc·d.ˆ
Aufgabe 5: Sei f 2π-periodisch und stetig mit absolut summierbaren Fourierkoeffizienten (cn).
Deren Approximation durch die Mittelpunktsregel ergibt
˜ cn= 1
N
N−1
X
j=0
f(tj)e−intj mit tj = 2j+ 1 2 ·2π
N.
Zeigen Sie:
˜ cn=
∞
X
l=−∞
(−1)lcn+lN
Aufgabe 6: Sei
uN(x) =
N/2−1
X
n=−N/2
ˆ
uN(n)einx
das trigonometrische Interpolationspolynom zur 2π-periodischen, stetigen Funktion u(x). Dann ist f¨urxj =j2πN
kuNk2L2 = 1 N
N−1
X
j=0
|u(xj)|2.
Hinweis: Wenden Sie zun¨achst die Parseval’sche Gleichung aus §3 und dann die aus §1 an.
Programmieraufgabe 2: Implementieren Sie die schnelle Fourier-Transformation (ohne Verwen- dung vonfftundifft). Sie d¨urfen annehmen, dass die L¨ange des Eingabevektors eine Zweierpotenz ist. Hinweis: Implementieren Sie die schnelle Fourier-Transformation rekursiv (d.h. Ihre Funktion ruft sich selbst wieder auf).
Besprechung in den ¨Ubungen am 26.04.2011
Abgabe der Programmieraufgabe ebenfalls am 26.04.2011 in den ¨Ubungen (ausge- druckt) und per Email an num2ub@na.uni-tuebingen.de
