Formale Sprachen und Automaten
Prof. Dr. Uwe Nestmann - 08. Februar 2016
Schriftlicher Test (Probe) - Einsicht
Aufgabenübersicht:
AU F G A B E SE I T E PU N K T E TH E M E N B E R E I C H
1 3 1 4 MO D E L L E RE G U L Ä R E R SP R A C H E N
2 4 2 3 GR E N Z E N RE G U L Ä R E R SP R A C H E N
3 5 1 3 MO D E L L E KO N T E X T F R E I E R SP R A C H E N
Hinweise
Hilfsmittel nur die Formelsammlung (ausgedruckt, ohne zusätzliche Pfeile, Symbole oder Text)
Papier Im schriftlichen Test bekommt ihr Papier und dürft auch kein eigenes Papier benutzen. Im Probe-Test benutzt bitte Eurer eigenes Papier.
Stifte Im Probe-Test ist es egal womit Ihr schreibt. Im schriftlichen Test sind nur
dokumentenechte Stifte (nichts was sich weg killern oder radieren lässt) in blauer oder schwarzer Farbe erlaubt.
Zeit Der schriftliche Test dauert 75 Minuten. Zusätzlich bekommt Ihr 15 Minuten zum Lesen der Aufgabenstellungen. Ihr dürft selbst entscheiden, ob Ihr die 15 Minuten dazu nutzen wollt, erst alle Aufgaben in Ruhe zu lesen, oder ob Ihr die 15 Minuten aufteilt und erstmal nur eine Aufgabe lest und gleich bearbeitet. Deshalb dürft Ihr auch innerhalb der 15 Minuten Lesezeit bereits schreiben. Der Probe-Test ist verkürzt auf 37.5 Minuten und 7.5 Minuten Einlese-Zeit.
Aufgabentypen Der Probe-Test soll Euch eine Vorstellung vom schriftlichen Test geben. Er ist allerdings verkürzt. Gerade viele eher einfache Aufgabentypen (Minimierung, Untermengen-Konstruktion) wurden weg gelassen. Der schriftliche Test kann also Aufgabentypen haben, die sich im Probe-Test nicht finden.
Aufgabenreihenfolge Die Aufgabenreihenfolge orientiert sich grob an der Reihenfolge des Stoffes in der Veranstaltung und NICHT am Schwierigkeitsgrad der Aufgaben. Es ist also ratsam selbst (nach den eigenen Vorlieben und Kentnissen) zu entscheiden, welche Aufgaben Ihr zuerst macht. Das gilt für den Probe-Test und den schriftlichen Test.
Aufgabe 1: Modelle Regulärer Sprachen (14 Punkte) Gegeben seien das AlphabetΣ,{a, b}, die reguläre Sprache
A1 ,{w∈Σ∗ | |(|w|a− |w|b)| mod 3 = 0 }, die reguläre Grammatik
G2 ,({S, T, U }, Σ, P2, S)und der DFAM3 ,({q0, q1, q2 }, Σ, δ3, q0, {q2 })mit:
P2: S → aT |bU T → a|bU U → b |aS
δ3:
q0 q1 q2
a, b b
a a, b a. (**, 4 Punkte)Gib einen DFAM1mitL(M1) = A1an.
Lösung M1 = ({q0, q1, q2 }, Σ, δ1, q0, {q0 })mitδ1:
q0 q1
q2
a b
b
a a
b
/Lösung
b. (**, 4 Punkte)Gib einen NFAM2mitL(M2) = L(G2)an.
Lösung M2 = ({q0, q1, q2, q3 }, Σ, ∆1, {q0 }, {q3 })mit∆1:
q0 q1
q2
q3 a
b
a b
a b
/Lösung
c. (***, 3 Punkte)Gib L(G2)an, ohne auf Automaten oder Grammatiken zu verweisen.
Lösung L(G2) = {xy|x∈ {aba, ba}∗∧y∈ {aa, abb, bb} }
/Lösung
d. (*, 1 Punkt)Gib die Ableitung des WortesaaainM3 an.
Lösung (q0, aaa)`M3 (q1, aa)`M3 (q2, a)`M3 (q1, λ)0M3
/Lösung
e. (***, 2 Punkte)Gib L(M3)an, ohne auf Automaten oder Grammatiken zu verweisen.
Lösung L(M3) ={va|v ∈Σ∗∧ |v| mod 2 = 1}
/Lösung
3/5
Aufgabe 2: Grenzen Regulärer Sprachen (23 Punkte) Gegeben sei die SpracheA,{w∈ {ab, c}∗ | |w|ab >|w|c}über dem Alphabet{a, b, c}.
a. (***, 11 Punkte)Beweise nur mit Hilfe des Pumping Lemma, dass die SpracheAnicht regulär ist.
Lösung
Sein∈N(beliebig aber fest). Wir wählen das Wortw=cn(ab)n+1mitw∈Aund
|w| ≥n. Seiw=xyzeine beliebige Zerlegung mity6=λund|xy| ≤n. Dann istx=ci, y=cj undz =cn−i−j(ab)n+1für einj 6= 0undi+j ≤n. Wir wählenk = 2. Dann ist xy2z =cn+j(ab)n+1.xy2z /∈A, dennn+j ≥n+ 1fürj 6= 0. Da¬PUMP(A1), istA1
nach dem Pumping-Lemma nicht regulär.
/Lösung
b. (***, 8 Punkte)Gib alleMyhill-Nerode Äquivalenzklassen für die SpracheAan.
Hinweis: Die Namen der Klassen in der Form[ 0 ]genügen hiernicht. Es müssen auch die zugehörigen Mengen, also so etwas wie[ 0 ] ={. . .}oder[ 0 ] = L(. . .), angegeben werden.
Lösung
[cl]≡A ={w∈ {ab, c}∗ | |w|c− |w|ab=l } fürl ∈N [cka]≡A ={wa ∈ {ab, c}∗ | |w|c− |w|ab =k } fürk∈N [ (ab)j ]≡A ={w∈ {ab, c}∗ | |w|ab− |w|c=j } fürj ∈N+ [ (ab)ia]≡A ={wa ∈ {ab, c}∗ | |w|ab− |w|c =i} füri∈N+
[b]≡A ={bx, xaay, xacy, xbby, xcby |x, y ∈ {a, b, c}∗ } /Lösung
c. (***, 4 Punkte)Beweise nur mit den eben angegebenen Äquivalenzklassen, dassA nicht regulär ist.
Lösung Zu Zeigen:[cl]≡A 6= [ck ]≡A für allel < k
Seienl, k∈Nmitl < k. Es giltcl ∈[cl ]≡A undck ∈[ck ]≡A. Betrachtez = (ab)l+1. Dann giltclz ∈Aaberckz /∈A, weill < k (und damitl+ 1 ≤k). Damit ist der Index von≡Aunendlich und mit Theorem 4.3.5 istAnicht regulär.
/Lösung
Aufgabe 3: Modelle Kontextfreier Sprachen (13 Punkte) Gegeben seien das AlphabetΣ,{a, b, c}und die kontextfreie Sprache
A1 ,{vabnc|n∈N+∧v ∈Σ∗∧ |v|c+n=|v|a+ 1 }.
a. (**, 5 Punkte)Gib eine kontextfreie GrammatikG1 mitL(G1) =A1 an.
Lösung G1 = ({S, T, U }, Σ, P1, S) mit
P1: S → T c
T → ab|aT b|U T
U → b |ac|ca|bU |U U |acU |caU |aU c|cU a|U ac|U ca /Lösung
b. (**, 8 Punkte)Gib einen PDAM1mitLEnd(M1)· {c}=A1 undLKel(M1) = A1an.
Lösung
M1 = ({q0, q1, q2, q3 }, Σ, {2, +, − }, 2, ∆1, q0, {q2 })mit∆1:
q0 q1 q2 q3
a,2/+2, b,2/2, c,2/−2 a,+/+ +, b,+/+, c,+/λ a,−/λ, b,−/−, c,−/− −
a,2/+2, a,+/+ +
b,+/λ
λ,2/2 c,2/λ
/Lösung
5/5
