SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe
Andreas Martin Blatt 3
Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 11.5.2004, vor den ¨Ubungen
1. Bestimmen Sie die Inverse von A :=
2 3 2 1
1 2 1 2
1 2 2 5
2 3 1 −1
∈R4×4. (3 P.)
2. Bestimmen Sie alle Linksinversen von B :=
0 1 3
1 2 3
1 2 2
3 −1 2
∈R4×3. (4 P.)
3. Es sei α :Rn → Rn eine lineare Abbildung. Nach Blatt 2, Aufgabe 2, gibt es genau eine MatrixA∈ Rn×n mit α= Lin(A). Zeigen Sie.
(i) α ist bijektiv ⇐⇒ ∃B, C ∈Rn×n:A·B =C·A=In.
(ii) Istαbijektiv, so istα−1ebenfalls bijektiv und linear. Ferner sindBund C in (i) eindeutig bestimmt; es gilt n¨amlich Lin(B) = Lin(C) =α−1.
(je 2 P.) 4. Es sei Geine Gruppe, die auf einer Menge M operiere.
(i) F¨ur g ∈ G sei die Abbildung g :M →M definiert durch g(m) =gm.
Zeigen Sie, daß die Abbildung
G→SMop, g 7→g ein Gruppenhomomorphismus ist.
(ii) Auf M sei eine Relation ∼G definiert durch
m∼G n:⇐⇒ ∃g ∈G:gm=n.
Zeigen Sie, daß ∼G eine ¨Aquivalenzrelation ist.
(je 3 P.) 5. Bestimmen Sie die Inverse der MatrixA:=
3 2 4 4 2 5 2 3 1
uber dem K¨orper¨
F7. (3 P.)
6. Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des folgenden Gleichungssystems jeweils
¨uber dem K¨orperF13 und F17.
3x1 +4x2 +6x3 = 4 4x1 +11x2 +8x3 = 11
(4 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:
www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la
Tutoriumsaufgaben:
1. Bestimmen Sie alle Rechtsinversen der Matrix
1 2 1 1 2 3 1 1 3 2 1 1
¨uber den K¨orpernR bzw. F3.
2. Bestimmen Sie das Inverse von 35 im K¨orper F1013 =Z/1013Z. 3. Bestimmen Sie die inverse Matrix von
8 5 1 5
im K¨orperF1013.
