1. Das Bruttoinlandsprodukt (in den Preisen von 1980) der Bundesrepublik betrug 1970 1134 Mrd. DM und 1980 1485,2 Mrd. DM. Berechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsrate pro Jahr.
Gegeben: 1970 – 1134,0 Mrd. DM Gesucht: p Wachstumsrate 1980 – 1485,2 Mrd. DM q Wachstumsfaktor Lösung: n = (1980-1970) = 10 Jahre
n
n
K q
K =
0⋅ →
K
0q
n= K
n→
n nK q K
0
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
= 1 100 p q
Eingesetzt ergibt sich
027 , . 1
1134 . 2 ,
10
1485 =
= Mrd DM
DM
q Mrd 1 , 027
1 100 ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
= p
q
027 , 100 0 1 027 ,
1 − = p = → 0 , 027 ⋅ 100 = p
% 7 ,
= 2 p
2. Jemand legt 20.000 DM zu 6% zinseszinslich an. Auf welche Summe wächst das Kapital in 5 Jahren bei
a) jährlicher b) Halbjährlicher c) Monatlicher d) Täglicher
e) Stetiger Verzinsung an?
a) Gegeben. K
0= 20 . 000 DM p = 6 % n = 5 Gesucht. K
nLösung. K
nK q
nK i
nK p )
n1 100 ( )
1
(
00
0
⋅ = ⋅ + = ⋅ +
=
5
5
)
100 1 6 ( 000 .
20 ⋅ +
= DM
K
DM K
5= 26 . 764 , 51
b) Gegeben. K
0= 20 . 000 DM p = 6 % n = 5
= 2
m
Gesucht. K
nLösung.
m p
*= p
n m n
m
n
m
K p K p
K
⋅ ⋅+ ⋅
= +
= )
1 100 ( 100 )
1
(
0* 0
5 2
5
)
100 2 1 6 ( 000 .
20
⋅+ ⋅
⋅
= DM
K
DM K
5= 26 . 878 , 32
c) Gegeben. K
0= 20 . 000 DM p = 6 % n = 5
= 12 m Gesucht. K
nLösung.
m p
*= p
n m n
m
n
m
K p K p
K
⋅ ⋅+ ⋅
= +
= )
1 100 ( 100 )
1
(
0* 0
5 12
5
)
100 12 1 6 ( 000 .
20
⋅+ ⋅
⋅
= DM
K
DM K
5= 26 . 977 , 00
d) Gegeben. K
0= 20 . 000 DM p = 6 % n = 5
= 360 m Gesucht. K
nLösung.
m p
*= p
n m n
m
n
m
K p K p
K
⋅ ⋅+ ⋅
= +
= )
1 100 ( 100 )
1
(
0* 0
5 360
5
)
100 360 1 6 ( 000 .
20
⋅+ ⋅
⋅
= DM
K
DM
K
5= 26 . 996 , 50
e) Gegeben. K
0= 20 . 000 DM p = 6 % n = 5 Gesucht. K
nLösung. K
n= K
0⋅ e
i⋅n1005 6 5
= 20 . 000 DM ⋅ e
⋅K
DM K
5= 26 . 997 , 17
3. Die Weltbevölkerung verdoppelt sich während der letzten 35 Jahre. Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate bei stetiger Betrachtung.
Gegeben. n = 35 Gesucht. p
Lösung. K
n= 2 ⋅ K
00 0 (100n)
p n
i
n
K e K e
K = ⋅
⋅= ⋅
⋅) 100 ( 0
2
0 np
e K
K = ⋅
⋅→ 2
(100n)p
e
⋅=
2 = e
(100p⋅35)→ ) 35
( 100 2
ln = p ⋅
35 2 100 ln ⋅
=
p p = 1 , 98
4. Welches Kapital wächst nach 5 Jahren und 6 Monaten bei gemischter Verzinsung und 6% Zins auf 10.000DM an?
Gegeben. K
n= 10 . 000 DM p = 6 % n Jahre 2 5 1
=
0 , 5
5
2 1
=
= n n
Gesucht. K
0Lösung. [
0( 1 ) ] ( 1
2)
1
i n
i K
K
n= +
n⋅ + ⋅
)
11 ( ) 1
(
20 n
n
i n
i K K
+
⋅
⋅
= +
0 5
) 06 , 0 1 ( ) 5 , 0 06 , 0 1 (
000 . 10
+
⋅
⋅
= + DM
K
K
0= 7254 , 93 DM
5. Eine Aktienanlage, die nach zwei Jahren verkauft wurde, hatte im ersten Jahr eine Kurssteigerung von 50% und im 2. Jahr einen Kursrückgang von 20%.
Dividenden wurden keine ausgeschüttet. Wie hoch war die reale
Effektivverzinsung des eingesetzten Kapitals, falls eine jährliche Inflationsrate von 3% sowie 1,5% Spesen jeweils von der Kauf- und der Verkaufssumme unterstellt werden?
Gegeben. n = 2 Gesucht. p
eff.Spesen 1,5% p
realInflation/ i = 3%
1. Jahr 50 % ↑
2. Jahr 20 % ↓
Lösung. Kaufsumme
015 , 100 0
5 , 1
0
= x + Spesen = x + = x + K
Verkaufsumme 5 ,
% 1 100
% 150
1
= =
n 0 , 8
% 100
% 80
2
= =
n
→ 1 , 5 ⋅ 0 , 8 ⋅ x = 1 , 2 x
Spesen
x 0 , 018 x
% 100
% 5 , 2 1 ,
1 ⋅ ⋅ =
K
n= 1 , 2 x − 0 , 018 x
( 1 ) 100
0
⋅
−
=
n neff
K
p K
1 ) 100
015 , 0
018 , 0 2 ,
(
21 − ⋅
+
= −
x x
x p
effx
1 ) 100 7 , 91
015 , 1
182 ,
(
21 − ⋅ =
eff
=
p
1 100 100 )
1 (
100 ) 1 (
⋅
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
− +
+
= i
p p
real1 100
100 ) 1 3 (
100 ) 91 , 1 7 (
⋅
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
− +
+
real
= p
1 100
) 03 , 1 (
) 0791 , 1
( ⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ −
real
= p
p
real= 4 , 77
6. Das nominale Bruttoinlandsprodukt der Bundesrepublik ist zwischen 1980 und 1985 von 1478,9 Mrd. auf 1830,5 Mrd. DM gestiegen. Berechnen Sie die
durchschnittliche reale Wachstumsrate pro Jahr bei einer jährlichen Inflationsrate von 3,1%.
Gegeben. K
n= 1478 , 9 Mrd . DM i = 3 , 1 %
K
0= 1830 , 5 Mrd . DM n = ( 1985 − 1980 ) = 5 Gesucht. p
realLösung. K
nK i
nK p )
n1 1000 ( )
1
(
00
+ = +
=
Ermittlung des nominalen Zinsfusses p.a.
n
p
nK
K )
1 100 (
0
+
= → )
1 100 (
0
p K
K
n n
= +
( 1 ) 100
0
⋅
−
=
n nK p K
1 ) 100
. 9 , 1478
. 5 ,
(
51830 − ⋅
= Mrd DM
DM p Mrd
p = 4 , 35 %
Ermittlung realer Zinsfuss
1 100
100 ) 1 (
100 ) 1 (
⋅
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
− +
+
= i
p p
real1 100
) 031 , 1 (
) 0435 , 1
( ⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ −
real
= p
p
real= 1 , 21 %
7. Eine Kapitalanlage hat sich in 10 Jahren verdoppelt. In der ersten Hälfte der Laufzeit betrug der Zinssatz 4%. Wie hoch war er in der zweiten Hälfte?
Gegeben. n = 10 p
1= 4 % Gesucht. p
2Lösung. )
1 100
(
11
q = + p → q
1= 1 , 04
K
n= K
0⋅ q
nK
n= 2K
02 K
0= K
0⋅ q
10= K
0⋅ q
15⋅ q
252 = 1 , 04
5⋅ q
52→
25 5) 04 , 1 (
= 2 q
)
1 100 ) (
04 , 1 (
2
25 5
2
q = = + p
1 ) 100
) 04 , 1 ( (
52
52
= − ⋅
p
p
2= 10 , 45 %
8. Eine Bevölkerung wuchs 5 Jahre lang 2,5% jährlich, 10 Jahre lang 1,5% jährlich und 20 Jahre lang 1% jährlich. Wie hoch war die durchschnittliche
Wachstumsrate bei stetiger Betrachtung?
Gegeben.
20 10 5
3 2 1
=
=
= n n n
% 0 , 1
% 5 , 1
% 5 , 2
3 2 1
=
=
=
p
p
p
Gesucht. p
Lösung.
np n
i
n
K e K e
K =
0⋅
⋅=
0⋅
100⋅K
35= K
0⋅ e
0,025⋅5+0,015⋅10+0,01⋅20= K
0⋅ e
0,4750,475 10035
0
35 ⋅
=
= e e
pK
K
ln e
0,475= ln e
100p⋅35→
100 35
475 ,
0 = p
100
35 475 ,
0 ⋅
=
p → p = 1 . 36 %
9. Ein Schuldner hat 10.000 DM sofort, 10.000 DM nach drei Jahren und 10.000 DM nach 7 Jahren zu zahlen.
a) Es wird neu vereinbart, die Gesamtschuld in sechs Jahren zu begleichen.
Wie hoch ist diese bei einem Zinssatz von 8 Prozent?
b) Wann ist die Gesamtsumme von 30.000 DM bei einem Zinssatz von 8%
fällig?
Gegeben. p = 8 % n = 3 ; n = 7 ; n = 6 Gesucht. a) K
nb) n
Lösung. a) Diskontierte Zinseszinsrechnung
7 3
0
100 ) 1 (
000 . 10 100 )
1 (
000 . 000 10
.
10 p
DM p
DM DM q
K K
nn+ + +
+
=
=
DM DM
DM
K
0= 10 . 000 + 7 . 941 , 33 + 5 . 834 , 90 DM
K
0= 23 . 776 , 23
6 0
⋅ = 23 . 776 , 23 ⋅ ( 1 + 0 , 08 )
= K q DM
K
n nDM K
6= 37 . 729 , 89
b)
nq
nK K =
0
DM
n
DM
23 , 776 . 23
000 . ) 30
08 , 1
( =
( 1 , 08 )
n= 1 , 261
3 , 02
08 , 1 ln
261 , 1
ln =
= n
10. Die Bevölkerungszahl eines Industrielandes, die jährlich um 0,5% abnimmt, ist doppelt so hoch wie die eines Entwicklungslandes, die jährlich um 3% zunimmt. In wie viel Jahren wird die Bevölkerungszahl des Entwicklungslandes doppelt so hoch wie die des Industrielandes sein?
Gegeben. i
Ind.= − 0 , 005 i
Entw.= 0 , 03 Gesucht. n
Lösung.
stetiges WachstumK
n= K
0⋅ e
i⋅nK
nInd.= K
0Ind.⋅ e
−0,005⋅nK
nEntw.= K
0Entw.⋅ e
0,03⋅nFrage wann K
nEntw.= 2 ⋅ K
nInd.?
K
0Entw.⋅ e
0,03⋅n= 2 ⋅ K
0Ind.⋅ e
−0,005⋅nBeachte K
0Ind.= 2 ⋅ K
0Entw.zu Beginn K
0Entw.⋅ e
0,03⋅n= 2 ⋅ 2 ⋅ K
0Ind.⋅ e
−0,005⋅ne
0,03⋅n= 4 ⋅ e
−0,005⋅nln e
0,03⋅n= ln( 4 ⋅ e
−0,005⋅n) = ln 4 + ln e
−0,005⋅n0 , 03 ⋅ n = ln 4 − 0 , 005 ⋅ n
0 , 03 ⋅ n + 0 , 005 ⋅ n = ln 4
n 39 , 6 Jahre
035 , 0
4 ln =
=
11. Das Prokopfeinkommen im Land A ist z.Zt. dreimal so hoch wie im Land B. Das Bruttosozialprodukt wächst in A jährlich um 2%, in B um 5%. Das
Bevölkerungswachstum beträgt in B 1% pro Jahr, während in A kein Bevölkerungswachstum vorhanden ist. In wie viel Jahren ist das
Prokopfeinkommen in B doppelt so hoch wie in A bei stetiger Betrachtung der Wachstumsraten?
(Prokopfeinkommen = Bruttosozialprodukt/ Bevölkerungszahl)
! Wachstumsprozesse unter stetiger Betrachtungsweise
Gegeben. i
BA= 0 , 02 i
BB= 0 , 05 i
WA= 0 i
WB= 0 , 01
Bev .W .
p = BSP
Wachstums des BSP
n B B B B
n B A A B
e K K
e K K
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
05 , 0 0
02 , 0
0
→
Wachstum der Bevölk.
n W B B W
W A A W
e K K
e K K
⋅
⋅=
⋅
=
01 , 0 0
0
0
→
A n
W A
n B A
A
p e
e K
e
p K
⋅⋅
⋅
⋅ =
= ⋅
0 0 0,020 02 , 0 0
Prokopfeink.
B n
n W B
n B B
B
p e
e K
e
p K
⋅ ⋅⋅
⋅
⋅ =
= ⋅
0 0,0401 , 0 0
05 , 0 0
Gesucht. n bei p
B= 2 ⋅ p
ALösung. p
0A= 3 ⋅ p
0Bp
0B⋅ e
0,04⋅n= 2 ⋅ p
0A⋅ e
0,02⋅np
0B⋅ e
0,04⋅n= 2 ⋅ 3 ⋅ p
0B⋅ e
0,02⋅ne
0,04⋅n= 6 ⋅ e
0,02⋅nln e
0,04= ln 6 + ln e
0,02⋅n0 , 04 ⋅ n = ln 6 + 0 , 02 ⋅ n 0 , 02 ⋅ n = ln 6
n 89 , 6 Jahre
02 , 0
6 ln =
=
12. Die Effektivverzinsung einer Anlage, die vierteljährlich verzinst wird, ist 6,14%.
Wie hoch ist der Jahreszinsfuss?
Gegeben. p
eff.= 6 , 14 % m = 4 Gesucht. p
Lösung.
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡ −
+ ⋅
⋅
= ) 1
1 100 (
.
100
m
eff
m
p p
= ⋅ ⎢⎣ ⎡ + ) − 1 ⎥⎦ ⎤
1 400 ( 100
% 14 ,
6 p
4) 1
1 400 ( 0614 ,
0 = + p
4−
)
41 400 ( 0614 ,
1 p
+
=
4
1 , 0614 1 400 p
+
=
p = (41 , 0614 − 1 ) ⋅ 400
p = 6 , 00 %
13. Jemand zahlt auf sein Sparkonto am 2. Juli 1979 1.000DM ein. Wie hoch ist der Kontostand am 2. April 1988 bei 3% Zins, falls das Konto zu diesem Zeitpunkt abgerechnet wird?
Gegeben. n
1= 8 Jahre n
2= 9 Monate
i = 0 , 03
Gesucht. K
nLösung.
gemischte VerzinsungK
n= K
0⋅ ( 1 + i )
n1⋅ ( 1 + i ⋅ n
2)
)
12 03 9 , 0 1 ( ) 03 , 0 1 ( 000 .
1 ⋅ +
8⋅ + ⋅
= DM
K
nK
n= 1 . 295 , 27 DM
14. Welcher Betrag muss zu 6% bei
a) halbjähriger
b) stetiger
Verzinsung angelegt werden, damit daraus nach 10 Jahren 10.000DM werden?
Gegeben. p = 6 % n = 10 K
n= 10 . 000 DM
a) m = 2 b) m → ∞
Gesucht. K
0Lösung. a)
n m n
m n
K p q
K
K = ⋅
⋅= ⋅ + )
⋅1 100 (
* 0
* 0
n mn
m K p
K
⋅+ ⋅
⋅
= )
1 100
0
(
0
)
202 06 , 1 0 ( 000
.
10 DM = K ⋅ +
20 0
2 ) 06 , 1 0 (
000 . 10
+
= DM
K
K
0= 5 . 536 , 75 DM
b) m → ∞
K
n= K
0⋅ e
i⋅n0
= 10 . 000
0,06⋅10e K DM
K
0= 5 . 488 , 11 DM
15. Eine Kapitalanlage hat sich nach 10 Jahren verdoppelt. In der ersten Hälfte der Laufzeit war der Zinssatz halb so hoch wie in der zweiten Hälfte. Wie hoch waren die Zinssätze?
Gegeben. K
n= 2K
0n = 10
n
n
K q
K =
0⋅
n
q K K
0=
0⋅
2 )
1 100
( p
q = + 2.Hälfte
Gesucht. p
Lösung. 1.Hälfte
) 1 2 (
) 1 100 2 1 1 ( 2 ) 1 1
( + ⋅ = + ⋅ = ⋅ +
= p q
i q
) 1 ( i q = +
5 5
0
0
( 1 ))
2 ( 1 2 K = K ⋅ q q +
5
5
)
2 1 2 ( 1 2 = q ⋅ q +
))
52 1 2 ( 1 (
2 = q ⋅ q +
5
2
)
2 1 2 ( 1
2 = q + q 2 ) 1 2 ( 1
2
25
= q + q
148 , 2 1 1 2
0 = 1 q
2+ q −
0 = q
2+ q − 2 , 297 → 2 , 297
4 1 2 1
2 ,
1
= − ± +
q
59 , 2 1 1
2 ,
1
= − ±
q → )
1 100 ( 096 ,
1
1
q = = + p p 2.Hälfte = 9,6%
→
p/2 1.Hälfte = 4,8%
→
16. Ein Kapital verzinse sich im ersten Jahr mit 4%, danach nimmt der Zinsfuss jährlich um 0,1 Prozentpunkte ab. Nach wie viel Jahren verdoppelt das Kapital?
Gegeben. p
1= 4 %
Gesucht. n bei K
n= 2K
0Lösung. K
n= K
0⋅ ( 1 + i )
n2 K
0= K
0⋅ ( 1 + i )
n2 = ( 1 , 04 ⋅ 1 , 039 ⋅ 1 , 038 ⋅ ...) → arithmetische Reihe
a
n= a
1+ ( n − 1 ) ⋅ d
ln 2 = ln 1 , 04 + ln 1 , 039 + ... + ( 1 , 04 − ( n − 1 ) ⋅ 0 , 001 )
Hinweis:
) 100 1 100
ln( p p
≈ +
ln 2 = 0 , 04 + 0 , 039 + ... + ( 0 , 04 − ( n − 1 ) ⋅ 0 , 001 )
( 2 ( 1 ) )
2 a
1n d
S
n= n − − ⋅ → Summenformel
( 0 , 08 ( 1 ) 0 , 001 ) 2 2
ln = n − n − ⋅
ln 2 = 0 , 04 n − ( n − 1 ) ⋅ 0 , 0005 n
ln 2 = 0 , 04 n − 0 , 0005 n
2+ 0 , 0005 n
0 , 0005
2 81 ln
0
2− −
−
= n n
0 = n
2− 81 n + 1386 , 3
1386 , 3
4 ) 81 ( 2
81
22 ,
1
= + ± −
n
n
1,2= + 40 , 5 ± 15 , 935
n
1= 24 , 56 n
2= 56 , 43
n ist die Lösung, da nach bereits 40 Jahren der
1Zinssatz 0 Prozent beträgt und kein Wachstum mehr erfolgen kann..
17. Veränderung des Preisindexes für die Lebenshaltung gegenüber dem Vorjahr;
1985: 2,2%
1986: -0,2%
1987: 0,2%
1988: 1,2%
Berechnen Sie die durchschnittliche Veränderung des Preisindexes.
Gegeben. p
1= 2 , 2 % p
2= − 0 , 2 % p
3= 0 , 2
p
4= 1 , 2 % n = 4
Gesucht. p
Lösung. ( 1 ) 100
0
⋅
−
=
n nK
p K oder
p = (
nq
1⋅ q
2.... q
n− 1 ) ⋅ 100
100 ) 1 ) 012 , 0 1 ( ) 002 , 0 1 ( ) 002 , 0 1 ( ) 022 , 0 1 (
(
4+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅
= p
100 ) 1 012 , 1 002 , 1 998 , 0 022 , 1
(
4⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
= p
% 8457 ,
= 0 p
18. Zwischen 1970 und 1980 stiegen die Preise im Durchschnitt jährlich um 5%, zwischen 1980 und 1985 stiegen sie um 4%. Berechnen Sie den durchschnittlichen jährlichen Preisanstieg zwischen 1970 und 1985.
