L¨ osungen 5 (Update)
1. 5 Liter = 5 dm
3= πr
2· 1 dm, also r = q
5π
dm, so dass der Durch- messer = 2r ≈ 25,2 cm betr¨ agt.
2. Volumen der Cheops-Pyramide =
13· 230 m · 230 m · 140 m ≈ 2,5 Mio. m
3. Volumen des Aon Center = 60 m · 60 m · 346 m ≈ 1,2 Mio. m
3, also knapp die H¨ alfte davon.
3. Volumen =
13· 53 · 53 · 260 m
3. Das muss etwa die Gesamtfl¨ ache aller Etagen mal die H¨ ohe von 4 m sein. Also ist die Gesamtfl¨ ache etwa
=
13·53 · 53 ·260·
14m
2≈ 6,1 · 10
4m
2. Das sind etwa acht Fußballfelder.
Offizielle Angabe: 49.000 m
2.
4. Volumen =
43π · (40.000/2π)
3km
3≈ 1,1 · 10
21m
3. Oberfl¨ ache = 4π · (40.000/2π)
2km
2≈ 5,1 · 10
14m
2.
5. Volumen der Kugelschale = Differenz des ¨ außeren und des inneren Ku- gelvolumens =
43π · (40.000/2π + 10)
3km
3−
43π · (40.000/2π)
3km
3≈ 5,1 · 10
18m
3. Das ist ein W¨ urfel mit 1,7 Mio. m, also 1700 km Kan- tenl¨ ange. Dies ist nur wenig mehr als die L¨ ange der Luftlinie von Bie- lefeld nach Madrid.
6. Volumen gen¨ ahert als Fl¨ ache mal Tiefe, weil die Tiefe im Verh¨ altnis zum Kugelradius vernachl¨ assigbar klein ist:
23· 4π · (40.000/2π)
2km
2· 4 km ≈ 1,4 · 10
18m
3. Das ist eine Kugel mit einem Durchmesser von knapp 1400 km. Dies ist etwa die L¨ ange der Luftlinie von Bielefeld nach Neapel.
7. (Fauler Professor) 8. kak
2= √
2
2+ 3
2≈ 3,6 und kak
2= p
5
2+ (−1)
2≈ 5,1.
9. Zum Beispiel 3
−2
und −6
4
. Test mit Skalarprodukt!
10.
1 2 3
×
2
−2 5
=
16
1
−6
. Sanity Check: Die Skalarprodukte des Ergebnisses mit den beiden Faktoren sind null.
11. Der Cosinus des Winkels ist das Skalarprodukt der Vekto- ren durch das Produkt ihrer L¨ angen. Also ist der Winkel = arccos
2·(−1)+3·5+1·2√
22+32+12
√
(−1)2+52+22
≈ 43,0
◦.
12. Das Vektorprodukt ist
1
−5 13
. Die L¨ ange davon ist der (Betrag des) Sinus des Winkels mal das Produkt der L¨ ange der beiden Vektoren.
Also ist der Winkel = arcsin
√
12+(−5)2+132
√
22+32+12
√
(−1)2+52+22
