Aufgabe 1 – L¨osung: Eindimensionales nicht lineares System (Pr¨ufungsaufgabe Herbst 2003)

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 2004/05 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 3, vom 13.12.2004 R ¨uckgabe am 20.12.2004

Aufgabe 1 – L¨osung: Eindimensionales nicht lineares System (Pr¨ufungsaufgabe Herbst 2003)

in

f ¨ur

in

f ¨ur ^{"! # $ &% '}

%

3 0

)( 36 0

36 21

+* 36 21

), 36 33

Aufgabe 2 – L¨osung: Dichte abh¨angiges Wachstum

(a)

hat dieselbe Dimension wie

,

und

haben die Dimension

.

(b) Die Fixpunkte sind

(instabil) und

(stabil f ¨ur

). Zudem hat die Geschwindigkeitsfunktion bei

einen Pol. Dieser liegt jedoch ausserhalb des f ¨ur

sinnvollen Wertebereiches

.

(c) F ¨ur

geht

<

, falls von

ausgegangen wird.

(d) F ¨ur

geht

, falls von

ausgegangen wird. (F ¨ur grosse

ist das Wachstum unabh¨angig von

.)

Aufgabe 3 – L¨osung: Nicht lineare Reaktion (N¨aherung erster und zweiter Ordnung)

X

X N - :

CZY\[-]@O^I_`)a_bCc5IE

(1)

(a) Die Fixpunkte ergeben sich aus den Nullstellen der rechten Seite von (1). Da diese eine streng monotone Funktion in

darstellt, gibt es maximal einen Fixpunkt. Dieser ist

und wegen

e _ g

_)h)_ %

Jc<

stabil.

(b) F ¨ur die linearisierte Modellgleichung und deren L¨osung finden wir

X

X N - :

CZYi-

(2)

-]@ONPE

:

-]@

<

Ej^

3k#l

:

-m^

3k#l

(3)

(c) In diesem Fall bleibt

-tel, also

% der Anfangskonzentration ¨ubrig:

. (d) In der N¨aherung zweiter Ordnung schreibt sich die Modellgleichung zu

X

X N - :

CZYi-dC

Y

u [- - > :

CZY)@v5w

-

u [-

EF-

(4)

:

CZYqxzy-|{

(5)

Wegen

a

_

E~RY

nimmt

in der N¨aherung zweiter Ordnung rascher ab als in

der N¨aherung erster Ordnung, wenn von derselben Anfangskonzentration ausgegangen wird.

Dieselben ¨Uberlegungen k¨onnen f ¨ur beliebige Ordnungen der Taylorentwicklung herangezo-

gen werden. Im vorliegenden Beispiel ist immer

, da in der Taylorentwicklung auch alle

Terme mit h¨oheren Potenzen von

positive Koeffizienten haben.