Darstellungen und Berechenbarkeit reeller Zahlen

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Mathematik und

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Informatik-Berichte 51 – 12/1984

Darstellungen und Berechenbarkeit

reeller Zahlen

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

O E i n l e i t u n g . . . 3

1 Partielle Numerierungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Partielle Darstellungen . . . 16

3 Darstellungen der reellen Zahlen in der Rekur- si ven .Analysis. . . . . 31

4 Der Verband der Darstellungen der reell-en Zahlen. 35 4. 1 Zulässige Darstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. 2 q-adi~che Darstellungen.. . . . . . . . . . . . . . . • . . 40

4.3 Dedekindsche Schnittdarstellungen . . . 52

4.4 Kettenbruch Darstellungen . . . 56

4.5 Faktoriellenfolgen Darstellungen . . . 65

4.6 Cantorreihen Darstellungen . . . 85

4.7 Effektiv synthetisierbare Darstellungen . . . 89

4. 8 Intervalldarstellungen... . . . . . . . . . 95

4. 9 Gesamtübersicht über den Verband. . . . . . . .. . . 99

4.10 Weitere Darstellungen und induzierte Nurne- rierungen.. . . . . 101

5 Klassen berechenbarer reeller Zahlen . . . 103

6 Entscheidungsprobleme berechenbarer reeller Zah- len . . . 110

7 Liste der benutzten Bezeichnungen . . . 120

8 Literaturverweise . . . 124

O. E I N L E I T U N G

Die Grundlagen für eine moderne Theorie der reellen Zahlen wurden vor etwa 100 Jahren durch Cantor und Dedekind geschaf-

fen. Ihre Definitionen von reellen Zahlen sind jedoch hochgra- dig nichtkonstruktiver Natur, so wie die gesamte "klassische"

Analysis nichtkonstruktiv betrieben wird.

Es wurden daher zahlreiche Versuche unternommen, die reelle Analysis auf einen konstruktiven Teilbereich zu beschränken, wie z.B. von Weyl ([79]), Brouwer ([7]), Turing ([70]),

Specker ([67]), Myhill ((51],[52]), Lacombe ([34],[35]),

Grzegorczyk ((18],[19],(20]), Markov ([42]), Goodstein ([16]), Klaua ((29]), Ceitin ((11]), Sanin ([63]), Zaslavskii ((80]), Mazur ((44]), Moschovakis ((47],[48]), Lorenzen ((38]), Bishop

([5]), Martin-Löf ((43]), Kushner ((32)), Aberth ([2]) und Weihrauch ((77]), um einige typische Vertreter zu nennen.

Die Methoden, mit denen man die gewünschten Einschränkungen erreichte, sind von unterschiedlichster Artj es geht jedoch immer um eine Einengung des Existenzbegriffes. So wurden z.B.

Beschränkungen in der benutzten Logik, Einschränkungen auf den operationalen Standpunkt oder Beschränkung auf im Sinne der Rekursionstheorie konstruierbare (approximierbare) Objekte ver- langt. Die jeweiligen Ansätze unterscheiden sich in den Auf- fassungen, was als "konstruktiv" anzusehen ist.

In der hier vorliegenden Arbeit wollen wir uns aussch+ieß- lich mit denjenigen Ansätzen einer konstruktiven Analysis be- schäftigen, die "konstruktiv" im Sinne der Rekursionstheorie verstehen, die also prinzipiell das gesamte Spektrum der Be- weismethoden der klassischen Logik in ihren Betrachtungen zu-

lassen, die aber zur Definition der betrachteten Objekte an- stelle beliebiger nur die rekursiven Funktionen heranziehen.

Die Beschränkungen in dieser "Rekursiven ·Analysis" bestehen also in einer Einengung des klassischen Existenzbegriffs auf einen effektiven Existenzbegriff.

Dabei ist die in dleser Weise von anderen Bereichen der kon- struktiven Mathematik abgegrenzte Rekursive Analysis aller- dings nicht als ein homogener Teil der Rekursionstheorie anzu- sehen. Es gibt zu viele Einzelansätze, die einen Vergleich der erzielten Resultate untereinander e~schweren. Grundsätzlich lassen sich zwei Auffassungen unterscheiden:

In der einen Strömung werden aus den durch die klassische Analysis definierten Objekten die zu untersuchenden, also die berechenbaren, durch Programme ausgesondert; in der zweiten Strömung werden die berechenbaren Objekte ohne die klassische Existenz zu benutzen eigenständig konstruiert, ja die Kon- struktionsverfahren (Programme) selbst werden oft als die zu untersuchenden Objekte angesehen.

Beim Vergleich der in den beiden Ansätzen erzielten Resul- tate kommt erschwerend hinzu, daß jeder Autor eine spezielle ''Darstellung" seiner Objekte voraussetzt, daß die Möglichkei- ten jedoch nicht immer ausreichend untersucht worden sind, in- wieweit Ergebnisse einer Darstellung in eine andere Darstel-

lung übertragen werden können.

Wir unternehmen deshalb in dieser Arbeit den Versuch, zu- nächst eine Terminologie zu schaffen, um die Rekursive Analy- sis einheitlich so zu betrachten, daß die Ergebnisse beider soeben skizzierten Strömungen ausgedrückt werden können und die Beziehung der beiden Ansätze untereinander verstanden wer- den kann. Mit diesen Hilfsmitteln werden dann die Grundproble- me der Rekursiven Analysis im Hinblick auf

Zahlendarstellungen,

Klassen berechenbarer Zahlen und Entscheidbarkeitsfragen

untersucht. Die Abhängigkeit der in diesem Themenkreis erziel- ten Ergebnisse von der verwendeten Darstellung wird dargelegt und ein Vergleich der darstellungsabhängigen Resultate unter- nommen.

Wünschenswert ist es dabei immer, allgemeine Resultate im Zusammenhang mit berechenbaren reellen Zahlen zu erzielen, die nicht in Abhängigkeit einer zugrundeliegenden Zahlendarstel- lung fonnuliert werden müssen.

Dies ist bei den Entscheidbarkeitsproblemen gelungen. Die

Ursache für die vielen (darstellungsabhängigen) Unentscheid- barkeitsresultate konnte erkannt und darstellungsunabhängig

(sogar unabhängig von der Struktur der reellen Zahlen) for- muliert werden.

Bei den Problemen, die die Zahlendarstellungen betreffen, sind uarstellungsunabhängige Resultate nur schwer zu erzie- len. Eine axiomatische Auszeichnung gewisser "zulässigen"

Darstellungen wird unternommen. Diese erweist sich jedoch als nicht sehr aussagekräftig. Bei den Untersuchungen von Zahlendarstellungen steht vielmehr die Frage im Vordergrund, wie Ergebnisse, die in einer Darstellung formuliert sind, effektiv in eine andere Darstellung übersetzt werden können.

Dies führt auf die Problematik der Reduzierbarkeit von Dar- stellungen. Die Klassen äquivalenter Darstellungen bilden unter einer solchen effektiven Übersetzbarkeit einen Verband, der ausführlich untersucht wird, und in den alle bekannten klassischen sowie zusätzlich in der Rekursiven Analysis be- nutzten Darstellungen eingeordnet werden.

Mit Hilfe der Ergebnisse über Reduzierbarkeiten von Dar- stellungen kann dann sehr einfach die Übereinstimmung vieler in der Rekursiven Analysis anzutreffenden Berechenbarkeits- begriffe gezeigt werden.

Im einzelnen werden in Kapitel 1 bis 6 dieser Arbeit fol- gende Resultate geliefert . .

In Kapitel 1 werden die Anfänge einer "Theorie der partiel- len Numerierungen" entwickelt, soweit dies für unsere Unter- suchungen in der Rekursiven Analysis nötig ist. Eine solche Theorie ist bisher noch nicht veröffentlicht worden. Es zeigt sich, daß viele Aussagen, die für totale Numerierungen gelten, für partielle Numerierungen verallgemeinert werden können. So konnte z.B. der Satz von Rice auch für partiell numerierte Mengen bewiesen werden.

In Kapitel 2 wird ein einfaches Berechenbarkeitskonzept for- malisiert, ^l.IDl Berechenbarkeit auf überabzählbaren Mengen in natürlicher Weise erklären zu können: das Konzept der darge- stellten Mengen. Dieses Konzept, das sich eng an Haucks Ar- beiten ([22],[23]) anlehnt, beschreibt den Zusammenhang zwi-

sehen einer gewählten Darstellung der Elemente einer Menge und einem zugehörigen natürlichen Berechenbarkeitsbegriff.

Jede Darstellung einer Menge liefert neben einem Berechenbar- keitsbegriff gleichzeitig auch in natürlicher Weise subrekur- sive Komplexitätsklassen. Jede Darstellung induziert darüber- hinaus eine Numerierung der berechenbaren Elemente. Damit ist der Zusammenhang der beiden oben beschriebenen Strömungen in der Rekursiven Analysis formal erfaßt worden. Die einen Auto- ren arbeiten nämlich mit Darstellungen, die anderen mit indu-

zierten Numerierungen. Ein Reduzierbarkeitsbegriff für Dar- stellungen wird eingeführt, die Verbandseigenschaft der Klas- sen äquivalenter Darstellungen einer Menge unter dieser Redu- zierbarkeit wird bewiesen, ein Ergebnis, das bereits von Hauck in derselben Weise für Darstellungen reeller Zahlenge- zeigt wurde. Ferner beweisen wir, daß aus der Reduzierbarkeit zweier Darstellungen die Reduzierbarkeit der zugehörigen in- duzierten Numerierungen folgt. Die Zylindereigenschaft indu- zierter Numerierungen wird hergeleitet und damit gezeigt, daß äquivalente Darstellungen sogar 1-äquivalente Numerierun- gen induzieren. Die Fastvollständigkeit induzierter Numerie- rungen wird bewiesen und damit auch eine Verallgemeinerung des Satzes von Rice für dargestellte Mengen gezeigt. Damit ist die Ursache für sämtliche Unentscheidbarkeitsresultate in Zusammenhang mit dargestellten Mengen erkannt worden.

Alle bei Mengen berechenbarer Elemente auftretenden Index- mengen sind zylindrisch und mindestens

n

₂-vollständig, wie

anschließend gezeigt wird. Erstes Resultat lehnt sich an ein Ergebn~s von Schade ([64]), letzteres an ein Ergebnis von Lewis ([37]) an. Um die Schwierigkeit von Entscheidbarkeits-

fragen zu untersuchen, werden den üblichen Begriffen von (Numerierungs-)Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit nun Be- griffe von Darstellungs-Entscheidbarkeit und -Aufzählbarkeit entgegengestellt. Es wird bewiesen, daß aus der Darstellungs- Aufzählbarkeit einer Menge berechenbarer Elemente die

n

_2-

Vollständigkeit der zugehörigen Indexmenge folgt, daß die Indexmenge bei vorliegender Darstellungs-Aufzählbarkeit also so einfach wie überhaupt möglich ist. Alle hier nicht nament- lich gekennzeichneten Ergebnisse sind neu.

Kapitel 3 stellt die wichtigsten Darstellungen der reellen Zahlen in der Rekursiven Analysis vor: die Cantordarstellung, die Dedekindsche left-cut Darstellung, die q-adische Darstel- lung, die Intervalldarstellung und die Darstellung der Polni- schen Schule. Ferner werden die bereits bekannten Resultate über die Reduzierbarkeiten dieser Darstellungen zitiert. Die- se Resultate werden sich als Korollare aus den später gezeig- ten Ergebnissen ergeben.

In Kapitel 4 werden viele weitere Darstellungen ~er reellen Zahlen betrachtet und in den Verband aller solchen Darstel- lungen eingeordnet.

In Abschnitt 4.1 werden effektiv analysierbare und effek- tiv synthetisierbare Darstellungen eingeführt. Zu der Klasse der zulässigen Darstellungen, also derjenigen Darstellungen, die sowohl effektiv analysierbar als auch effektiv syntheti- sierbar sind, gehören die Standarddarstellung (Cauchydarstel- lung}, die Darstellung der Polnischen Schule sowie (trivia- lerweise) die Intervalldarstellung. Weitere äquivalente Dar- stellungen werden skizziert. Die Äquivalenzen findet man be- reits in der Literatur.

Abschnitt 4.2 beschäftigt sich näher mit q-adischen Darstel- lungen. Zunächst wird gezeigt, daß eine q-adische Darstellung genau dann auf eine p-adische Darstellung reduzierbar ist, wenn p eine Potenz von q teilt. Der Beweis ist recht umfang- reich und folgt dem Beweis einer entsprechenden Aussage Mo- stowskis ([50]) für berechenbare reelle Folgen. Dieses Ergeb- nis findet man bereits bei.Hauck zitiert. Dann werden für den Teilverband der q-adischen Darstellungen natürliche untere und obere Schranken angegeben, nämlich die q-adische Auswahl- darstellung und die q-adische parallelausgeführte Darstellung.

Dann werden eindeutige q-adische Darstellungen definiert. Es zeigt sich, daß vier verschiedene Typen unterschieden werden müssen, die alle untereinander (bezüglich Reduzierbarkeit) unvergleichbar sind.

In Abschnitt 4.3 wird die Dedekindsche right-cut Darstel- lung eingeführt und die Unvergleichbarkeit mit der left-cut Darstellung gezeigt. Den Beweis können wir in direkter An- lehnung an eine Aussage Mostowskis ([50]} für berechenbare

Folgen reeller Zahlen führen. Supremum und Infimum dieser

Darstellungen sind somit zwei weitere nichtäquivalente Schnitt- darstellungen.

Abschnitt 4.4 beschäftigt sich mit Kettenbruchdarstellungen.

Zunächst wird die Äquivalenz der üblichen Kettenbruchdarstql- lung mit zwei eindeutigen Kettenbruchdarstellungen gezeigt.

Diese Äquivalenz deutet bereits auf die Sonderstellung der Kettenbruchdarstellungen im Verband hin. Eine schöne Charak- terisierung der Kettenbruchdarstellungen ist die Äquivalenz mit dem Infimum der Dedekindschen left-cut und right-cut Dar- stellungen, die anschließend bewiesen wird. Die Stellung dieser Darstellung im Verband sowie die angegebenen Äquiva- lenzen waren bisher nicht bekannt.

Abschnitt 4.5 widmet sich den Faktoriellenfolgen Darstel- lungen, deren Verhalten bezüglich Reduzierbarkeit bisher noch nicht untersucht wurde. Auch hier müssen wir vier Typen paar- weise unvergleichbarer eindeutiger Darstellungen unterschei- den. Zunächst können die interessanten Äquivalenzen bewiesen werden, daß eine unter den eindeutigen Faktoriellenfolgen Darstellungen zur left-cut und eine andere zur right-cut Dar- stellung äquivalent ist. Ferner beweisen wir vier weitere Äquivalenzen. Es zeigt sich nämlich, daß die eindeutigen Fak-

toriellenfolgen Darstellungen jeweils zu den in gleicher Wei- se eindeutig gemachten Parallelausführungen der q-adischen Darstellungen äquivalent sind. Hiermit sind gleichzeitig zwei weitere Äquivalenzen für left-cut beziehungsweise right-cut Darstellung geliefert. Suprema und Infima der Klassen der vier betrachteten Darstellungen liefern acht weitere, paarwei- se nichtäquivalente Darstellungen. Alle Ergebnisse sind neu.

Auch die Einordnung der Cantorreihen Darstellung in den Ver- _ band aller Darstellungen, die in Abschnitt 4.6 vorgenow..men

wird, ist bisher no~h nicht untersucht worden. Es ze_igt sich, daß diese Darstellunc_:: zwischen den q-adischen nnd den zuläs- sigen Darste1:1ungen liegt.

In den bisherigen Abschnitten wurden nur effektiv analy- sierbare Darstellungen behandelt. Abschnitt 4.7 ist den effek- tiv synthetis-ierbaren Darstellung.en vorbehalten, die für Be- rechenbarkeitsdefinitionen in der Rekursiven Analysis weniger

bedeutsam sind, wie wir später noch zeigen werden. Die Dar- stellungen durch Aufzählung von Links- bzw. Rechts-Schnitt werden eingeführt und lhre Unvergleichbarkeit gezeigt. Zwei Äquivalenzen mit zwei weiteren Darstellungen können hergelei-

tet werden. Es zeigt sich ferner, 1aß auch das Supremum bei- der Darstellungen noch echt unterhalb der Cantordarstellung liegt. Für das Infimum können wir die Äquivalenz mit der Standarddarstellung beweisen, ein schönes Ergebnis, das je- doch nicht unerwartet kam. Alle betrachteten Darstellungen wurden im Hinblick auf Reduzierung bisher noch nicht unter-

sucht.

In Abschnitt 4.8 wenden wir uns der Frage zu, inwieweit bei Intervalldarstellungen die Fonn der Intervalle (offen, abge- schlossen, halboffen) in den Reduzierbarkeitsbegriff eingeht.

Ferner untersuchen wir den Einfluß auf die Reduzierung, die die Darstellung rationaler Zahlen bei Intervalldarstellungen ausübt. Es zeigt sich, daß die Form der Intervalle irrelevant ist; somit haben wir drei weitere zulässige Darstellungen.

Andererseits zeigt sich aber die Bedeutung der Darstellung rationaler Zahlen. Es entstehen nämlich vier mit den Ketten- bruchdarstellungen äquivalente Intervalldarstellungen. Die Ergebnisse sind neu.

Die wichtigsten bewiesenen Ergebnisse über Reduzierbarkei- ten von Darstellungen reeller Zahlen werden in Abschnitt 4.~

in einem Diagramm zusammengefaßt aufgeführt. Es zeigt sich z.B., daß die in der klassischen Analysis gemeinhin als äqui- valent geltenden Darstellungen im Hinblick auf effektive Über- setzbarkeit nicht äquivalent sind.

Abschnitt 4.10 beendet die Untersuchung des Verbandes der Darstellungen mit Bemerkungen über weitere Darstellungen und über induzierte Numerierungen.

Kapitel 5 beschäftigt sich mit den Klassen berechenbarer reeller Zahlen in Abhängigkeit ihrer Darstellungen. Ergebnis- se aus Kapitel 4 benutzend können wir durch eine einzige In- klusion die Gleichheit der Berechenbarkeitsbegriffe unter allen in der Rekursiven Analysis verwendeten effektiv analy- sierbaren Darstellungen zeigen. Damit wurden gleichzeitig einige noch nicht behandelten Identitäten hergeleitet. Für

die behandelten effektiv synthetisierbaren Darstellungen er- geben sich jeweils echt größere Klassen rekursiver Zahlen.

Ergebnisse über primitiv rekursive reelle Zahlen werden zi- tiert. Ferner wird kurz auf ein Problem von Mostowski einge- gangen, ob ein direkte~ Zusammenhang zwischen Reduzierbar- keit der Darstellungen und Inklusionsbeziehung der Klassen zugehöriger primitiv rekursiver reeller Zahlen besteht.

Dieser Zusammenhang besteht nicht. Wir zeigen weiter, daß die Intervalldarstellung "ziemlich uninteressante" subre- kursive Klassen reeller Zahlen liefert, daß andererseits unter der Kettenbruchdarstellung beliebig komplexe berechen- bare reelle Zahlen existieren. Dies könnte ein Ansatzpunkt für darstellungsunabhängige Ergebnisse über die Komplexität reeller Zahlen werden.

Kapitel 6 zeigt zunächst den Grund für die vielen bekann- ten Unentscheidbarkeitsresultate in der Rekursiven Analysis:

Alle Darstellungen liefern fastvollständige induzierte Nume- rierungen der berechenbaren Elemente, für die wir ja die

Gültigkeit von Rice' Satz zeigen konnten. Fazit: egal, welche Darstellung der reellen Zahlen wir wählen und egal, welche Programmiersprache wir zur Berechnung dieser Zahlen heran- ziehen, wir werden nie erreichen können, daß eine nichttri- . viale Eigenschaft der berechenbaren reellen Zahlen anhand der

Programme entscheidbar wäre. Wir untersuchen anschließend die wichtigsten Entscheidbarkeitsprobleme mit den in Kapitel 2

getroffenen Definitionen. Es zeigt sich, daß die Wahl der zu- grundegelegten Darstellung die Schwierigkeit der Entschei- dungsprobleme stark beeinflußt. Die Darstellungs-Aufzählbar- keit oder sogar -Entscheidbarkeit einiger Probleme wird ge- zeigt und somit die

n

2-vollständigkeit der zugehörigen In- dexmengen hergeleitet. Ferner werden nicht Darstellungs-ent- scheidbare und -aufzählbare Probleme vorgestellt.

Die Arbeit schließt in Punkt 7 mit einer Liste aller ver- wendeten Bezeichnungen und Punkt 8 mit Hinweisen auf die im Text zitierten Arbeiten.

·-~

1. p· ART TELL E N U M E R I E R U N G E N

Vor gut 20 Jahren entstand in der Sowjetunion eine Theorie der Numerierungen, beginnend mit Arbeiten von Uspenskii ([72]) und Mal'cev ([39]). Diese Theorie läßt durchaus auch Numerie- rungen durch nicht-totale Funktionen zu; die bisher veröffent- lichten allgemeinen Ergebnisse beschränken sich jedoch stets auf Numerierungen durch totale Funktionen.

In der Rekursiven Analysis haben wir es nun ausschließlich mit nicht-totalen Numerierungen zu tun. Den Grund hierfür werden wir in Kapitel 2 sehen. Wir geben deshalb in diesem Kapitel einige Eigenschaften partieller Numerierungen an, die wir bei der Untersuchung der Darstellungen reeller Zahlen benötigen.

Die Definitionen und Sätze sind naheliegende Verallgemeinerun- gen von Eigenschaften totaler Numerierungen, wie sie z.B. bei Mal'cev ([41]) und Ersov ([14]) zu finden sind.

Eine partielle Numerierung einer nichtleeren Menge Mist ei- ne partielle Abbildung v : JN •••• M von der Menge der natürli- chen Zahlen JN auf die Menge M. Eine Menge M mit einer partiel- len Numerierung v heißt numerierte Menge (M,v). Falls v(i)=m, so heißt i ein Index von m. Ist Def (v) = JN , so heißt v einfach.

Mit PN(M) wird die Menge der partiellen Numerierungen von M bezeichnet. Im folgenden werden wir nur noch von "Numerierung"

sprechen und meinen damit "partielle Numerierung", also nicht notwendig "einfache Numerierung".

Für Numerierungen v, l/J E PN (M) werden folgende Reduzierbarkei ts- begriffe getroffen:

v < l/J :# (3fER( 1 ))(VxEDef(v)) vx=l/)fx,

=m

v ~1 l/J :# ( 3 f ER <1 )) [ f injektiv A ( V x E Def (v)) vx = l/)fx].

"

Offensichtlich gilt: ( V v, 1)J E PN (M) )( v ~1 1)J => v ~ 1)J ) • Die Um- kehrung gilt i.allg. nicht, sondern nur unter gewissen Voraus-

setzungen. Dazu die folgende Definition:

Sei v E PN (M) • v hat die Zylindereigenschaft, gdw.

( 3 g E R ( 2) ) ( V x E Def ( v) ) ( V y, z E JN )

[ vg(x,yl =vx /\ ( ^:r=1= z ~g(x,y) =l=g(x,z)) ].

1. 1 LEMMA

Seien v, t/J E PN (M) • Dann gilt

( v ~ t/J ^A

w

hat die Zylindereigenschaft ) ~ v ~ 1 t/J • BEWEIS

Sei g wie oben und f ER ( 1), so daß ( V x E Def (v) ) vx=t/Jfx.

Sei r : JN ^• N definiert durch

r(O) := f(O) ,

r(n+1) := g( f (n+1) , µt [ g(f (n+1) ,t) (f: {r(O), .. ,r(n)} ] ) für alle n E JN •

Dann ist r ER ( 1) , r injektiv, und es gilt (VxEDef(v) vx=t/Jfx=t/Jrx.

Also v ~ 1 t/J •

Q.E.D.

Für v,

w

E PN (M) werden zwei Äquivalenzbegriffe definiert durch v =m W : ~ ( v ~m t/J A t/J ~ v und

\J=11jJ

=~

(\J~1t/J" t/J~1\)).

-m und s

1 sind Äquivalenzrelationen.

Aus Lemma 1.1 folgt, daß sich die beiden Äquivalenzbegriffe für Numerierungen mit Zylindereigenschaft nicht unterscheiden:

1.2 KOROLLAR

Seien v, t/J E PN (M) mit Zylindereigenschaft. Dann gilt v ⁵m t/J ~ v = 1 W •

Im Hinblick auf Entscheidbarkeitsprobleme spielen die fast- vollständigen Numerierungen ( vgl. [40] ) eine große Rolle.

Diese Numerierungen sind wie folgt definiert.

v E PN ^(M) heißt fastvollständig, gdw.

( V g E P ( 1)) ( 3 h ER ( 1 )) ( V x E Def (g) ) vgx = vhx . 1.3 LEMMA

Sei v ~ :!:>~ (M) fastvollständig, und seien M

O ,M 1 ^{c i•1} nichtleere, disjunkte Teilmengen von M.

Dann sind v-1M

0 und v-¹M

1 rekursiv untrennbar.

BEWEIS

Wir führen den Beweis in Anlehnung an Ersov ((14],S.325).

Seien A 0 ,A

1 c JNzwei disjunkte, rekursiv-aufzählbare, re- kursiv untrennbare Mengen.

Seien M 0 ,M

1 c M nichtleer und disjunkt.

-1 -1

Seien ^n-

0 E v M

0 und n1 ^E v M 1 . Betrachte die für alle x E JN durch

{

n f al 1 s x E A 0 ,

g ( x ) : = n~ falls x E A1 , div sonst

definierte partiell-rekursive Funktion g E P ( 1 ) . Da v fastvollständig ist, gilt

( 3 f E R ( ¹ ) ) ( V x E Def ( g) =Ao U A1 ) vgx

=

vfx.

Es folgt: f ( A -1

0 ) c v M 0 Man schließt nun indirekt.

und f ( A -1

1 ) c v M 1 •

-1 -1

Angenommen,\! M

0 und v M

1 wären rekursiv trennbar. Dann existiert eine rekursive Menge Re JN , so daß v -1 M

0 c R und v-¹M

1 nR·=~- Dann ist R':=f-1

R rekursiv, und es gilt A0 ^c R' und A

1 n R'

= ~.

Also wären A

0 und A₁ im Widerspruch zur Annahme rekursiv trennbar.

Q.E.D.

Sei v E PN (M) . Eine Teilmenge S c M heißt stark v-rekursi v, gdw.

v-1 ( S) rekursiv ist. Aus Lemma 1.3 ergibt sich nun sofort die Verallgemeinerung eines Satzes von Rice ([58)), der besagt, daß auch in durch partielle, fastvollständige Numerierungen numerierten Mengen keine nichttrivialen, stark v-rekursiven Teilmengen existieren.

1.4 SATZ

Sei (M,v) eine fastvollständig nUI!'s~ierte Menge, sei V cM. Dann gilt

v-1

( V ) rekursiv ~ (V=~ oder ( V= Mund Def (v) rekur- siv ) ) . Die angegebenen Sätze zeigen, daß für einige Aussagen bezüg- lich Numerierungen eine Beschränkung auf einfache Numerierungen gar nicht nötig ist. Viele weitere Aussagen aus der Theorie der Numerierungen können auf diese Weise verallgemeinert werden,

eine allgemeine Theorie der partiellen Numerierungen ist möglich.

Wir wollen an dieser Stelle jedoch nicht näher darauf eingehen.

2. P A R T I E L L E D A R S T E L L U N G E N

Numerierungen sind ein geeignetes Mittel, um die bekannten Definitionen von "Berechenbarkeit auf lli" auf beliebige, ab- zählbare Mengen zu übertragen (vgl.Weihrauch [76),(57] ) . Auf überabzählbare Mengen können diese Begriffe jedoch so ohne weiteres nicht übertragen werden. Da wir die Menge der reellen

Zah~en, also eine überabzählbare Menge, im Hinblick auf Bere- chenbarkeit untersuchen wollen, benötigen wir ein allgeme"ine- res Konzept. Wir betrachten deshalb "dargestellte Mengen".

Der Begriff "Darstellung" wurde in der Rekursiven Analysis erstmalig von Grzegorczyk ([21)) verwendet. Hauck untersuchte später Darstellungen reeller Zahlen ([22],[23]) und topologi- scher Räume ([24]). Darstellungen von cpo-s wurden von Weih- rauch/Schäfer ([78]) betrachtet. Wir wollen hier ein ganz all- gemeines Darstellungskonzept verwenden.

Sei JF die Menge der einstelligen totalen arithmetischen Funktionen. 6: JF ---M heißt partielle Darstellung der (nicht- leeren) Menge M, falls ( V m EM ) ( 3 f E JF ) of

=

m. (M, 6) heißt dann dargestellte Menge, und f heißt einem darstellende Funk- tion, falls 6f

=

m. Eine partielle Darstellung 6 heißt einfach, gdw. Def(6) =JF. 6 heißt eindeutig, gdw. für jedes mEM genau eine darstellende Funktion existiert. Sei PD(M) die Menge der partiellen Darstellungen von M. Wenn im folgenden von ¹¹Darstel- lung" die Rede ist, so ist immer "partielle Darstellung" ge- meint und nicht notwendig "einfache Darstellung".

Jede Darstellung 6 einer Menge M liefert in natürlicher Weise einen Berechenbarkeitsbegriff und überträgt vorhandene Begriffe von Komplexitätsklassen auf die Menge M:

Sei R ( 1 ) c JF die Menge der rekursiven Funktionen, PR c R ( 1

) die Menge der primitiv rekursiven Funktionen, PT ^c R ( 1

) die Menge der polynomzeit-berechenbaren Funktionen, . . . , dann ist 6 ( R(1

)

"--.;

die Menge der berechenbaren ( oder rekursiven) Elemente von M, 6 (PR) die Menge der primitiv rekursiven Elemente von M,

cS ( PT ) die Menge der polynomzei t-berechenbaren Elemente von

M, ... , jeweils unter der Darstellung o. Wir sprechen kurz von o-berechenbaren, o-primitiv rekursiven, o-polynomzeit- berechenbaren, . . . Elementen.

Diese Begriffsbildung ist natürlich und vernünftig: je "ein- facher" eine darstellende Funktion für ein Element gewählt werden kann, desdo ¹¹geringer¹¹ ist die Komplexität des dar- gestellten Elementes.

Drei Beispiele sollen die Begriffsbildung verdeutlichen.

2.1 BEISPIEL

Man definiert im allgemeinen Berechenbarkeit und Komple- xität von Mengen natürlicher Zahlen über die Berechenbar- keit und Komplexität der charakteristischen Funktionen.

Sei ^{cS :} lF ••• _. 2JN durch ^{cS (} f ) : = { x E JN I fx = 1 } für alle f E lF mit Bild (f) ^{c {} 0 , 1 } definiert.

Dann ist o ( R(¹)) die Menge der rekursiven Teilmengen von JN , o (PR) die Menge der primitiv rekursiven Teilmengen von ^{JN , •••}

2.2 BEISPIEL

cpo-s vgl. [77], [78] )

Sei für eine effektive cpo D mit Basisnumerierung ß eine Darstellung

o :

lF •••^• D durch

o <f) :=Usfi i

für alle f E lF definiert, so daß

( V i E JN) ßfi~ ßf (i+1) gilt und

LJ

ßfi existiert.

i Dann ist

o(R(1)) ~{xED 1 (3fER( 1 )) (ViEJN) (ßfi-<ßf(i+1) "Ysfi=x)}

die Menge der berechenbaren cpo-'Elemente.

2.3 BEISPIEL

]R

Für die Menge der reellen Zahlen wählen wir als Standard- darstellung die Cauchydarstellung

6c.

Sei öc: JF •••• JR durch ÖC ( f ) := lim vQ f ( k )

k

für alle f E ^JF definiert, so daß

(Vj,nEJN) ( j~n

~

lvQf(j)-vQf(n) ¹ < 1: n ) gilt.-

Dabei ist vQ eine Standardnumerierung der Menge Q der rationalen Zahlen ( siehe Kapitel 3 ) .

öc liefert den Standardbegriff von "berechenbarer reeller Zahl".

Verschiedene Darstellungen einer Menge liefern unter Umständen verschiedene Berechenbarkeitsbegriffe. So liefert in Beispiel 2.1 die Darstellung

0 : ]F ·•• • die durch o ( f ) : = Bild ( f )

für alle f E JF definiert ist, gerade die Menge der rekursiv aufzählbaren, nichtleeren Mengen natürlicher Zahlen als die

o-berechenbaren Elemente."

Verschiedene Darstellungen können aber, wie wir in Kapitel 5 noch·untersuchen werden, durchaus denselben Berechenbarkeits- begriff induzieren.

Die übersetzbarkeit einer Darstellung in eine andere soll durch die Existenz eines bestimmten "berechenbaren Funktio- nals" beschrieben werden. Es gibt mehrere Präzisierungen des Begriffs eines solchen berechenbaren Operators ( z.B. Kleene

(30], Grzegorczyk (19), Davis [12) ) , die alle für unsere Zwecke in Frage kämen. Auch wäre eine Charakterisierung durch

"Turingmaschinen" geeignet (vgl.Weihrauch/Schäfer [78] ) . Wir ziehen jedoch hier die "partiell rekursiven Operatoren"

vor, wie sie von Rogers ( [62], § 9.7-9.8) definiert wurden, da diese den Zusammenhang zwischen Darstellung und ¹¹induzier- ter Numerierung" besoncers transparent erscheinen lassen:

Ein Funktionalopera tor \f' : JP ... • JP heißt berechenbarer Ope- rator ( oder partiell rekursiver Operator ) , gdw. ein z E JN existiert, so daß der Aufzählungsoperator D den Operator \f'

z definiert. Dabei ist ^{Q :} 2JN ^• 2JN durch

z

Q (B) :={vl (3uEJN) (<v,u>EW und D c:B)}

z z u

für alle B E 2JN definiert.

Die übersetzbarkeit einer Darstellung in eine andere wird nun durch folgende auf PD(M) definierte, zweistellige Relation beschrieben:

Sei für alle

o,

n E PD (M)

o

~ n : ~ ( 3 berechenbarer Operator \f') ( VgEDef (

o) ) o

g=n \f' g definiert. Falls o~n , so sagen wir: die Darstellung

o

ist in die Darstellung n übersetzbar oder

o

ist auf n reduzierbar.

Of fensichtli~h gilt:

o~n ~ o (

R ( 1

) ) ^c n ( R ( 1 ) ) .

Ferner sieht man, daß"~" reflexiv und tranßitiv ist, da die Hintereinanderausführung zweier berechenbarer Öperatoren wie- der ein berechenbarer Operator ist.

Also wird durch

o

=

n =~ ( o -~ n " n

~ ö )

für alle

o,

n E PD (M) eine Äquivalenzrelation definiert. Falls

o ⁼

n , so heißen die Darstellungen

o

und n äquivalent oder gegenseitig übersetzbar.

Damit bildet ( PD (M) / _ , ~ ) eine Halbordnung„ wobei "< ⁿ für

= -

Äquivalenzklassen wie üblich über die Repräsentanten der Klas- sen definiert wird.

. ---

Diese Aussage können wir noch verschärfen.

2.4 LEMMA

Seien [ cS ]=,[ n ]= EPD(M)/=.

Dann existiert inf ( [ o ] = , [ n ] = ) •

BEWEIS

Seien die berechenbaren Operatoren o/1,o/₂ definiert durch o/1 ( f ) ( n ) = ^TT 1 ( f (n) und

o/2 ( f ) ( n ) = li 2 ( f (n) für alle f E JF , n E JN • Sei [ 0 ]E

* [

n ]E • Definiere

( cS n n ) ( f ) = m ~ [ oo/ 1 f = m " n o/ ₂ f == m ] • Dann gilt ( V f E Def ( cS nn) )

[ (cSnn) (f)

=

oo/

1f und (cSnn) (f) == no/

2f ] , also ( cS n n ) ^{~ cS} und ( cS n n ) ^~ n •

Sei nun ~ E PD (M) , so daß ( V f E De f ( ~) ) ( ~ f == cS o/

3 f und ~ f = n o/ ₄ f ) für zwei berechenbare Operatoren o/3 und o/4. Definiere den berechenbaren Operator o/ durch

o/ ( f) ( n) :== < o/

3f(n) , o/₄f(n) >

für alle f E JF , n E JN • Dann gilt ( Vf EDef(~)) oo/

3f==11o/₄f=~f, also (VfEDef(~)) ~f=(onn)IVf

und damit ~ < ( o n11) •

Es folgt: [ cS n 11 ] =

=

inf ( [ cS ] , [ n ] = )

Eine ähnliche Aussage zeigen wir für das Supremum.

Q.E.D.

2.5 LEMMA

Seien [ ö ] _, [ n ] _ E PD (M) / _.

= = =

Dann existiert sup ( [ o ) = , [ n l= ) .

BEWEIS

Sei [

o ] _ * [

n ] _.

= =

Seien die berechenbaren Operatoren 11'

0^,11'1,111

2 definiert durch

11' 0 ( f ) (n) :={ ~(n-1) falls n=O, sonst, 11'1(f)(n) :=\

~

^(n-1) falls n=O,

sonst, 1112(f)(n) := f(n+1)

für alle f ^{E JF ,} n E JN.

Definiere

•--{ oll' 2f falls f(O)=O, (oun)(f)

• nll'

2f falls f(0)=1 für alle f E ^JF rni t f ( O) E { O, ^{1} •}

Dann gilt

( v

f E Def ( o) )

o

f = (

o

un) 11'

0f und ( v f E Def ( n) ) n f = ( o un) 11'

1 f . Also ö ~ (oUn) und n ~ (öUn).

Sei nun c; E PD (M) , so daß (VfEDef(o)) of=c;l!'

3f und ( v f E De f ( n ) ) n f

=

c; 11'

4 ^f

für zwei berechenbare Operatoren 11'3^,11'4• Definiere

{

1113^1J12f falls f(O)=O, 11' ( f) = I!' 11' f falls f(0)=1

4 2

für alle f E JF mit f(O) E {0,1}.

Dann i s t 11' ein berechenbarer Operator, und es gilt ( VfEDef(oun)) (ot.rn) (f) = c;l!'f,

also (

o

Un) ~ ~.

Es folgt: [

o u n ]

=-

=

sup ( [

o ] = , [ n ] = )

Q.E.D.

Lemma 2.4 und Lemma 2.5 beweisen die Verbandseigenschaft der Menge der Darstellungen von M. Insbesondere bilden also die Darstellungen der reellen Zahlen einen Verband. Dieses Ergeb- nis stammt von Hauck .

2.6 SATZ

PD(M)/= bildet bezüglich"~" einen Verband.

Im folgenden sei cp eine fest vorgegebene Gödelnumerierung von P(1 ).

Jede Darstellung 8 einer Menge M induziert eine Numerierung der 8-rekursiven Elemente:

Sei für o E PD (M) die partielle Numerierung v

O E PN ( o (R ( ¹)) ) durch

0 (cp.)

].

für alle i E ^JN mit cpi ER ( 1

) definiert. v

O heißt die induzierte Numerierung der o-berechenbaren Elemente von M. Eine induzier- te Numerierung ist immer nur partiell, nie einfach. Jede in der Rekursiven Analysis angegebene Numerierung von berechen- baren reellen Zahlen ist eine induzierte Numerierung, d.h. es liegt jeweils eine Darstellung zugrunde.

Das Verhältnis von Reduzierbarkeit der Darstellungen zur Re- duzierbarkeit der induzierten Numerierungen beschreibt der folgende Hilfssatz.

2.7 SATZ

Seien 8 , n E PD (M~ und o ( R ( 1 ) )

=

n ( R ( 1 ) ) . Dann g i 1 t : o ~ n ~ v O ^~ m v n •

BEWEIS

Sei lt' ein berechenbarer Operator, so daß ( V g E Def ( o)) og

=

nll'g. Sei lf' durch den Aufzählungsoperator Q definiert.

z

Für alle i E JN i,..t n (graph (tp.)) rekursiv aufzählbar. Es

z ].

existiert h E R ( ¹) , so daß für alle ^(1). E Def ( o)

].

tph ( i )

=

^q.r q, i

gilt. Damit gilt für alle i E JN:

q,i E Def (o) • oq,i

=

^n'l'q,i

=

n<Ph (i) , also ( v i E Def(v

0)) v

0 (i) =vnh(i), d.h. v

0 ~mvn.

Q.E.D.

Die Aussage aus Lemma 2.7 könnte auch etwas allgemeiner so fonnuliert werden:

Falls o, 17 E PD (M) - und

o

~ 17 gilt, so folgt ( 3hER(1))(ViEDef(v

0)) v

0 (i) =v

17h(i} .

Solche durch Darstellungen induzierte Numerierungen v

0 haben interessante Eigenschaften.

Eine erste beschreibt der folgende Hilfssatz.

2.8 LEMMA

Sei

o

^E PD ( M) • Dann g i 1 t :

v0 hat die Zylindereigenschaft.

BEWEIS

Der Beweis ergibt sich sofort aus der Gültigkeit des Padding-Lemmas für q,, das aussagt:

( 3 t E R(1)) ( t injektiv ^{A (} Vx,y E JN )q,t< y,x > =q,x) • Setze g(x,y) := t<y,x> für alle x,y E JN.

Dann g E R ( 2 ) und ( V x E Def ( v

O ) ) ( V y, z E JN )

[ v0gx =

o

(q,x) =

o

(q,t<y,x>) =

o

(tpg(x,y))

=

v 0g(x,y) und

( y ⁼¹⁼ z => g(x,y) = t<y,x>

*

t<e:,x> = g(x,z) ) ] . Also hat v₀ die Zylindereigenschaft.

Q.E.D.

Mit Lemma 2.7 ergibt sich hieraus die Aussage des folgenden Satzes.

2.9 SATZ

Je zwei äquivalente Darstellungen

a,n

einer Menge M

2.10 LEMMA

• induzieren cicnselben Berechenbarkeitsbegriff, d.h.

es gilt o(R(1)) =n(R( 1 )),

• liefern 1-äquivalente Numerierungen der berechen- baren Elemente, d.h. v

8

=

₁ vn •

Sei

o

E PD (M} •

Dann ist die durch

o

induzierte Numerierung v 0 fastvollständig.

BEWEIS

Sei g E P ( 1) •

Es existiert h E R ( 1

) , so daß

( \f i E Def(g)) ( Vx E JN) <.pg(i) (x) =<.ph(i) (x), es ist nämlich

lP.h ( i ) ( ^{X ) :} = u ( g ( i ) , ^{X )}

wobei u E P <²> universelle Funktion für <.p ist.

Dann gilt ( V i .E Def ( ö) )

=[

Ö((l)g(i))

V '5 g ( i) di V

= { ö ( I.Ph ( i ) ) div

falls (l)g(i) E Def (ö), sonst,

falls (ph(i) E Def(o), sonst

also ist v

6 fastvollständig.

Q.E.D.

Wir erhalten somit für dargestellte Mengen eine Verallgemei- nerung des Satzes von Rice.

2.11 SATZ

Sei (M,6) eine dargestellte Menge. Dann existiert in der Menge der 6-berechenbaren Elemente ~~ine nichttriviale stark v

0-rekursive Teilmenge.

In der Tat ist der Schwierigkeitsgrad von Entscheidbarkeits- fragen noch größer. Jede Indexmenge berechenbarer Elemente ist "mindestens" rr

2-vollständig. Dies besagt der folgende Satz, mit dem eine Aussage von Shapiro ([66]) verallgemei- nert wird. Zunächst jedoch noch ein Lemma, das zeigt, daß alle solche Indexmengen zylindrisch sind. Wenn wir also in Kapitel 6 etwas_ über die Stellung von Index.mengen berechen- barer reeller Zahlen in der Kleene-Hierarchie aussagen, so müssen wir nicht zwischen m-Graden und 1-Graden unterschei- den.

2.12 LEMMA

Sei (M, o) eine dargestellte Menge und ~*Sc cS (R ( 1 )).

Dann gilt

{ i ! 6 (<.p.) E S } ist ein Zylinder.

1.

BEWEIS

Sei ~

*

^{S c cS (} R ( 1 ) ) .

Wir zeigen, daß für alle Ac JN

A~ {ilo(<.pi) ES}# A~ 1 {iJcS(c.pi) ES}

gilt.

Sei daher A c JN und A < { i !

o (

<.p. ) E S} mittels f E R ( 1 ) .

=m l

Sei t E R ( 1

) die Funktion des Padding-Lerrnnas, die also in- jektiv i s t und (Vi,mEJN) \Pt< .>=(p. erfüllt.

m, l l

Setze

r(O) := f(O),

r(n+1) ~=t<µk[t<k,n+1>({r(O), •. ,r(n)}], f(n+1) >.

Dann i s t r ER ( 1

) injektiv und

xEA ~ f(x) E {ilcS(\Pi)ES} ~ cS(c.pf(x)) ES~

cS(\P ( ) ) E S ~ .r(x) E {ilo((p.)ES}.

r X l

Damit folgt A ~

1 { i I o (c.pi) ES} mittels r.

Q.E.D.

2.13 SATZ

Sei (M,cS) eine dargestellte Menge und 0:!=SccS(R(¹l).

Dann gilt ( VBETT

2) B~

1 { i I o(\Pi) E S } . BEWEIS

Sei Rein dreistelliges rekursives Prädikat und cS(f) ES.

Definiere \Pe ER ( 1

) durch

\Pe<x,y> := f(y) +O•µz[R(x,y,z)].

Für festes x gilt einerseits

(Vy)(3z)R(x,y,z) ~ >..y.c.p <x,y>=f, e

also s 1

2<e,x> E { i I o (\P.) ES}.

, l

Für dieses feste x gilt andererseits

-,(Vy)(3z)'R(x,y,z) ~ >..y.c.pe<x,y> nicht total, also s

1

2 < e, x> E( { i I cS ( lP i) E S } • Damit gilt für alle x

( Vy) ( 3 z )R(x,y,z) ~ ^s

1

2<e,x> E { i I cS(tpi) E S } . Also ( V B E

n

₂^{) B ~m { i I o ( lP} i) E S } .

Die Aussage des Satzes folgt nun mit Lemma -2.12.

Q.E.D.

Bei Entscheidbarkeitsproblemen dargestellter Mengen haben wir damit folgende Situation: Egal, welche Darstellung

o

wir für eine Menge M wählen und egal, welche Programmiersprache~ wir zur Berechnung der Elemente von M heranziehen, kein nichttri- viales Entscheidungsproblem berechenbarer E¹emente ist anhand der zugehörigen Programme lösba~. Immer ist die Unlösbarkeit des Halteproblems mit in den induzierten Numerierungen einco- diert. Alle auftretenden Indexmengen sind darüberhinaus sogar mindestens

n

₂-vollständig.

Wollen wir also dle Schwierigkeit von Entscheidungsfragen bei dargestellten Mengen untersuchen, ist ein sinnvoller Numerie- rungs-Entscheidbarkeitsbegriff nicht möglich. Wir könnten Entscheidbarkeitsfragen nur indirekt über die Stellung der

Indexmengen in der Kleene-Hierarchie klassifizieren.

Stattdessen wollen wir einen zweiten Weg beschreiten und den Begriffsbildungen (Numerierungs-)Entscheidbarkeit und (Num.e- rierungs-)Aufzählbarkeit in natürlicher Weise verallgemeinerte Begriffe von Darstellungs-Entscheidbarkeit und Darstellungs- Aufzählbarkeit gegenüberstellen. Wir werden anschließend eine Beziehung zum ersten Weg herleiten, wodurch die Vernünftig- keit dieser Vorgehensweise unterstrichen wird.

Wir treffen folgende Definitionen über Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit von Mengen berechenbarer Elemente einer darge- stellten Menge M.

Sei

o

E PD (M) und S ^c::

o

(R ( 1) ) . S heißt unter

o

entscheidbar, kurz o-entscheidbar, gdw.

( 1)

3 berechenbarer Operator ^{lf) ( V} f E R ) ( ^V n E ^{JN )}

( lf ( f ) ( n )

falls ein g E

o-

¹ ( S ) existiert mit f ( i) =g ( i} für alle O ~ i ~ n,

sonst

A

o (

^f) E S <=> 4' ( f)

=

^A.X. 0 ) •

Eine Menge s mit laut~r berechenbaren Elementen ist also unter o entscheidbar, wenn für jedes Anfangsstück aller rekursiven Funktionen entschieden werden, ob es zu einer ein Element aus s darstellenden Funktion fortgesetzt werden kann oder nicht,

und gleichzeitig aus der Fortsetzbarkeit einer rekursiven Funktion an jeder Stelle bereits die Zugehörigkeit dieser Funktion zur Menge aller ein Element aus S darstellenden Funk- tionen folgt.

S heißt unter o aufzählber, kurz o-aufzählbar,gdw.

3 berechenbarer Operator 1r') ( V f E R ( 1 ) )

( o (

f) E S ~ 1r' ( f)

=

AX. 0 ) •

Bei der o-Aufzählbarkeit wird also nicht eine Entscheidbarkeit für endliche Anfangsstücke verlangt wie bei der o-Entscheidbar- k e i t .

Aus der Definition ergibt sich sofort das Lennna:

2.14 LEMMA

Sei 6EPD(M} und Sco(R(1)).

Dann gilt

S unter o entscheidbar~ S unter 6 aufzählbar

Die Umkehrung der Aussage gilt nicht: Wir werden in Kapitel 6 z.B. zeigen, daß

O

als Teilmenge der berechenbaren reellen Zahlen unter der Kettenbruchdarstellung 6KB-aufzählbar, aber nicht 6KB-entscheidbar ist.

·Der Entscheidungsprozess anhand der Darstellung ist ein Ent- scheidungsprozess für jedes endliche Anfangsstück einer dar- stellenden Funktion in endlicher Zeit. Die gesamte Entschei- dung ergibt sich dann erst als "Grenzentscheidungn der Teil- entscheidungen. Deshalb können so einfache Aussagen wie "das Komplement einer rekursiven_Menge natürlicher Zahlen ist re- kursiv" oder "eine Menge natürlicher Zahlen ist genau dann rekursiv, wenn sie und ihr Komplement rekursiv aufzählbar sind" auf Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit anhand der Dar- stellungen nicht übertragen werden.

Wir können nur folgende, sehr viel schwächere Aussage zeigen:

2.15 LEMMA

Sei o(R(1)) o-entscheidbar.

Dann gilt für alle Sc o (R( 1 ))

so-entscheidbar~ o(R(1))-S o-aufzählbar.

BEWEIS

Sei 4' der berechenbare Operator, der die o-Entscheidbar- keit von S liefert, und 'f'¹ derjenige, der die o-Ent- scheidbarkeit von o(R(1

}) liefert.

Definiere einen berechenbaren Operator 4'¹¹ für alle f E IF und alle n ~ 1 durch

'f'" ( f) ( 0) : = s gn ( µm [ ( 'f' f) ( m) =1= 0 J + 1 ) + 'f' ^{1 (} f) ( n) und 4'" (f) (n) := 'f'' (f) (n).

Es gilt für alle f E R ( 1) )

o (

^{f) E}

o (

^{R ( 1 ) ) -S #}

( 'f'' (f) =.\x.O /\ ( 3m) ('f'f) (m) =!=O) #

'f'" (f) = .\x.O .

Q.E.D.

Wir stellen nun eine Beziehung der getroffenen Definition von o-Aufzählbarkeit zur Kompliziertheit der zugehörigen Indexmen- ge her. o-aufzählbare Mengen berechenbarer Elemente haben näm- lich die einfachsten Indexmengen, die überhaupt vorkommen kön- nen, wie der folgende Satz aussagt. Dies ist ein Anhaltspunkt dafür, daß die Definition vernünftig getroffen wurde.

2.16 SATZ

Sei

o

E PD (M) und 0

* s

c

o (

R ( 1) ) . Dann gilt

s o-aufzählbar ~ { i I o ((J)i) Es } n

2-vollständig.

BEWEIS .

Sei

~

^{=1= S c o (R ( 1})) und f der berechenbare Operator für die Aufzählung von S unter o.

Sei kEJN mit cpk<x,n>

=

{

cpx (n) div Betrachte g := >..x.s<k,x>.

Es gilt für alle x E :IN

falls f (cpx) (n)

= o,

sonst.

Cl' E R ( 1

) ^# cp E R ( 1

) ~ ^{( V n E} JN) cp <k > (n) E :IN

g(x) s<k,x> s ,x

~ ( V n E :IN ) cpk <x, n>· E :IN

~ ^{( cp E R(1) A} lf'(cp) =>..x.O) ^# o(cp) ES.

X X X

Also gilt {i I o (cp.) ES} < {i I cp. E R( 1)} vermöge g.

l =m ^l

-Mit Satz 2.10 ergibt sich aus der

n

₂-Vollständigkeit von { i I cp. E R ( 1

) } die Aussage des Satzes.

l

Q.E.D.

Wir wollen an dieser Stelle die allgemeine Berechenbarkeits- theorie unter Verwendung von Darstellungen abbrechen und uns in den folgenden Kapiteln den Darstellungen der reellen Zahlen zuwenden.

. --.;

3. D A R S T E L L U N G E N D E R R E E L L E N Z A H L E N I N ^DER R E K U R S I V E N A N A L Y S I S

Wir werden im folgenden häufig mit rationalen Zahlen rech- nen. Es wäre nicht schwer, eine eigene Theorie der Berechen- barkeit für

O

zu entwickeln ( vgl. Aberth [2] ) . Dies ist

jedoch relativ aufwendig. Wir wollen stattdessen mit Hilfe einer Codierung die Berechenbarkeitstheorie für ]N auf O über- tragen.

Gegeben sei daher eine totale, bijektive, "primitiv-rekursive"

Standardnumerierung v

0 : JN •••^• O der Menge der rationalen Zah- len. Jeder natürlichen Zahl wird also eindeutig in berechen- barer Weise eine rationale Zahl zugeordnet wie auch umgekehrt zu jeder rationalen Zahl q EO genau eine natürliche Zahl

v Q-1

( q) E JN effektiv bestimmbar ist, d{e jene codiert.

Es gibt zwei "klassische" Darstellungen der reellen Zahlen;

beide wurden im Jahre 1872 veröffentlicht, also zu einer Zeit, in der Berechenbarkeit noch gar kein Thema war.

Eine dieser beiden Darstellungen starmnt von Cantor ([10]).

Cantor identifiziert die reellen Zahlen mit den Limiten ratio- naler Fundamentalfolgen.

Sei die Cantordarstellung ö

0 : JF ---^• JR durch ö0 ( f) =lim vQf(k)

k

für alle ·f E JF definiert, für die ( vQ f (k) ) k EJN eine Fundamen- talfolge ist.

Diese Darstellung ist für die Rekursive Analysis in vielerlei Hinsicht wenig brauchbar, wie Specker in ~einer Arbeit ([67])

zeigte. Wir werden in Kapitel 4.7 noch genau darauf eingehen.

Die zweite der beiden "klassischen" Darstellungen spielt für

die Rekursive Analysis eine größere Rolle. Sie stamnt von Dedekind ([13]), der die reellen Zahlen unter Verwendung der später nach ihm benannten "Dedekindschen Schnitte" einführt.

So sei die left-cut-Darstellung 6LC : JF •••^• JR durch

6LC ( f )

=

a ^{<=> ( V} i ^E JN ) ( vQ ( i) ^< a ^<=> f ( i)

=

^{1 )}

für alle f E JF definiert, für die Bild(f) c {O, 1} und ( V i , j EIN) ( VQ ( i ) < VQ ( j ) " f (j) = 1 ) => f (i)

=

¹ gilt.

Wir werden in Kapitel 4.3 und 4.7 noch weitere Schnittdarstel- lungen kennenlernen.

Am gebräuchlichsten im täglichen Leben ist wohl die Darstellung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche. So ist es nicht verwunder- lich, daß diese Darstellung die erste ist, die in der Rekursi- ven Analysis zur Definition von "berechenbarer reeller Zahl"

vorgeschlagen wurde. Turing machte 1937 in seiner sehr bekannt gewordenen Arbeit ([70]) diesen Vorschlag.

Sei (etwas allgemeiner) für q E JN , q > 1 die q-adische Darstel- lung 6 (q) : JF ^{0 0•} • JR durch

6(q) ( f ) :=

CO

± i:

n=O

f (n) • q -n

für alle f E ^JF definiert, für die ( ^V n ~ 1 ) O ~ f (n) < q gilt.

Wir wollen, wie üblich, in dieser Darstellung das Vorzeichen nicht mit in die Funktion f hineincodieren, was leicht möglich wäre, sondern es getrennt angeben.

q~adische Darstellungen werden ausführlich in Kapitel 4.2 be- handelt.

Turing ([71]) korrigierte sich kurz nach Veröffentlichung sei- nes eben zitierten Artikels, da z.B. unter der Dezimaldarstel- lung nicht konstruktiv bewiesen werden kann, daß die Sumne be- rechenbarer reeller Zahlen wieder berechenbar ist. Stattdessen zog er nun die Intervalldarstellung zur Definition berechenba- rer reeller Zahlen vor.

"

Die Intervalldarstellung 6I : JF •••• JR sei durch

6I ( f ) ==

für alle f E JF definiert, für die die Folge der Intervalle ( [ v0^rr1f(k); ^vQrr2 f(k) ] )kEJN eine Intervallschachtelung bildet, d.h. die Folge _vQrr

1 f (k) )kEJN monoton steigend, die Folge ( _{vQrr 2}f(k) lkEJN monoton fallend ist und lim vQrr

1f(k)

=

k

Die Polnische Schule der Rekursiven Analysis ( Mazur, Mostows- ki, Grzegorczyk u.a. ) legt den reellen Zahlen folgende Stan- darddarstellung zugrunde ( vgl. z.B. [19) ) •

Sei 6P : JF •·· • JR durch

l

v f(n) 1 1

6P ( f )

=

a

~

^{( V n E JN ) ( °n+} ₁ ^{- a < n+} ₁

definiert. Wir haben es in dieser Darstellung also mit einer speziell normierten Cauchybedingung zu tun ..

Es stellt sich bei solch unterschiedlichen Darstellungen wie 6₀ , 6LC' 6(q) und 6P riatürlich sofort die Frage nach dem Zu- sammenhang dieser Darstellungen. Welche der Darstellungen sind äquivalent? Welche Darstellungen können in welche Darstellungen übersetzt werden?

Die Antworten lauten wie folgt:

Es gilt einerseits 6LC~6(q)~6P ( vgl. Grzegorczyk [21]). Diese Ergebnisse ergeben sich nämlich aus Untersuchungen berechenba- rer reeller Folgen von Mostowski ([50]). Ferner gilt keine Re- duzierbarkei t in die umgekehrte Richtung. Da ferner 6

0

i

^6P

aus der oben. zi tier·ten Arbeit von Specker ( [ 67] l zu entnehmen ist, ergibt sich somit insgesamt das Diagramm:

·6

1 0

• 6 1 p

·6

1 ( q)

06LC

Im nun folgenden Kapitel 4 werden wir dieses Diagramm erwei- tern, alle weiteren in der Rekursiven Analysis benutzten Dar- stellungen systematisch untersuchen und in den Verband der Darstellungen von IR einordnen.

4. D E R VERBAND DER D A R S T E L L U N - G E N D E R REELLEN Z A H L E N

4.1 ZULÄSSIGE DARSTELLUNGEN

Wir wollen zunächst im Verband aller. Darstellungen von 1R eine Klasse äquivalenter Darstellungen als "zulässig" aus- zeichnen. Uns scheint im Hinblick auf Berechenbarkeitsfragen die eauchydarstellung ein geeigneter Repräsentant dieser Klasse zu sein (vgl. [ 77]) . Diese Darstellung oc: JE" ••• ^• ::IR sei definiert durch

Oe ( f ) := lim vQf (k) k

für alle fEJE", so daß (Vj,nEJN)(j~n==>lvQf(j)-vQf(n) 1<₁:n) gilt.

Wir wollen bei unseren Überlegungen analog vorgehen wie bei Berechenbarkeitsuntersuchungen für arithmetische Funktionen oder für cpo-s (vgl. [77],[78]). Gesucht sind deshalb zwei Axiome ("utm-" und "smn-Theorem"), durch die die Äquivalenz- klasse der für die Zwecke der Rekursiven Analysis geeigneten Darstellungen eindeutig festgelegi wird. oe sollte natürlich beide Axiome erfüllen.

Ein "utm-Axiom", d.h. ein Axiom der "effektiven Analyse", bzw. wie der Name sagt, ein Axiom der "effektiven Zerlegbar- keit in Bestandteile", wurde bereits von Hauck ([23]) ange- geben.

4.1.1 DEFINITION

Eine Darstellung 6 E PD ( JR ) heißt effektiv analy- sierbar, gdw. es berechenbare Operatoren 4'

1 und

'f' 2 gibt, so dl 3 für alle f E Def ( 6) (v Q 'f' 1 ( f) (k) ) kEJN monoton steigend,

(vQ'P 2 (f) (k) )kEJN monoton fallend ist und lim vQ'P 1 (f) (k)

=

^{lim vQ'P}₂ ^{(f) (k)}

=

^{6f gilt.}

k k

Effektiv analysierbare Darstellungen gestatten also eine mit jedem Schritt der Entwicklung besser werdende effektive An- - gabe über die Güte der Approximation, d.h. solche Darstellun-

gen sind "effektiv approximierbar".

Nach gleichem Muster formulieren wir ein "smn-Axiom", d.h.

ein Axiom der "effektiven Synthese", bzw. wie der Name sagt, ein Axiom der "effektiven Zusammensetzbarkeit der gegebenen Bestandteile".

4.1.2 DEFINITION

Eine Darstellung 6 E PD ( JR ) hei~t effektiv synthe- tisierbar, gdw. ein berechenbarer Operator 'f'

existiert, so daß ö'±'f

=

lim \>Qn

1 f (k) für alle f E JF k

mit (vQn 1f(k))kEJN monoton steigend,

(VQTT2f(k) )kEJN monoton fallend und lim VQTT1f(k)

=

k

Effektiv synthetisierbare Darstellungen gestatten es also, aus in bestimmter Fonn gegebenen, immer besser werdenden ra- tionalen Approximationen effektiv einen Namen für das zu be- rechnende Element anzugeben.

Wie bei Hauck ([23]) kann man dann die Gültigkeit der Aussage 6 ~ öc ~ ö effektiv analysierbar

zeigen.

Man kann ferner die Aussage

oc

^~

o

^<=>

o

effektiv synthetisierbar

beweisen. Wir definieren nun:

4.1.3 DEFINITION

Eine Darstellung 6 E PD ( 1R) heißt zulässig, gdw.

o

sowohl effektiv analysierbar als auch effektiv synthetisierbar ist.

Das heißt nun, daß (4.1.1) und (4.1.2) die Klasse der zu- lässigen Darstellungen eindeutig bestimmt, in der

oc

ein Repräsentant ist.

Verbandstheoretisch ergibt sich:

4.1.4 LEMMA

Die Klasse der effektiv analysierbaren Darstel- lungen bildet ein U-Hauptideal, das durch [ öc ]=

erzeugt wird.

Die Klasse der effektiv synthetisierbaren Dar- stellungen bildet ein n-Hauptideal, das durch

[ öc ]

=

erzeugt wird.

.. -..;

effektiv

synthetisierbare Darstellungen

effektiv

analysierbare Darstellungen