n Liikmetega ( − 1 ) reakoonduvus n

Tartu Ülikool

Loodus- ja täppisteaduste valdkond Matemaatika ja statistika instituut

Taisi Telve

Liikmetega (− 1 ) ⁿ

∣ sin n ∣

n rea koonduvus

Matemaatika eriala Bakalaureusetöö (9 EAP)

Juhendaja: Indrek Zolk

Tartu 2016

Liikmetega (−1) ⁿ ∣ sin n ∣

n rea koonduvus Bakalaureusetöö

Taisi Telve

Lühikokkuvõte. Bakalaureusetöös esitatakse rea ∑ ^∞

n=1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin nπα ∣ , kus α on irratsionaalarv ja f ∶ [ 1, ∞) → ( 0, ∞) on pidev ja kahanev, koonduvuseks piisava tingimuse üksikasjalik tõestus ning järeldusena koonduvus erijuhul, kus α = 1/π ja f (n) = 1/n . Lisaks on esitatud mainitud rea koonduvuseks tarvilik ja piisav tingi- mus juhul, kui α on ratsionaalarv. Töös esitatud tõestus toetub A. V. Kumchevi artiklis On the convergence of some alternating series (The Ramanujan Journal, 2013) esitatule.

CERCS teaduseriala: P140 Read, Fourier analüüs, funktsionaalanalüüs

Märksõnad. Vahelduvate märkidega read, osasummad, ahelmurrud, lähismurrud, irratsionaalsusmõõt.

Convergence of the series with terms (− 1 ) ⁿ

∣ sin n ∣ n Bachelor's thesis

Taisi Telve

Abstract. The objective of this bachelor's thesis is to present a detailed proof of the sucient condition for the convergence of the series ∑ ^∞

n=1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin nπα ∣ , where α is irrational and f ∶ [ 1, ∞) → ( 0, ∞) is continuous and decreasing, and a proof of the convergence in the special case where α = 1/π and f (n) = 1/n . In addition we give the proof of the necessary and sucient condition for the aforementioned series, where α is rational. The exposition is based on the proof presented in the article On the convergence of some alternating series (The Ra- manujan Journal, 2013) by A. V. Kumchev.

CERCS research specialisation: P140 Series, Fourier analysis, functional analy-

sis Key words. Alternating series, partial sums, continued fractions, convergents,

irrationality measure.

Sissejuhatus 4

1 Vajalikud eelteadmised 6

2 Koonduvus juhul, kui

α

^on ratsionaalarv 11

3 Koonduvus juhul, kui

α

^on irratsionaalarv 16

3.1 Põhiteoreem ja tema tõestus . . . 19

3.1.1

V j ( α; m )

^{hinnang väikese}

j

^{korral . . . . . . . . . . . . . . . . 22}

3.1.2

V j ( α; m )

^{hinnang paaritu}

q j

^{korral . . . . . . . . . . . . . . . . 22}

3.1.3

V j ( α; m )

^{hinnang paaris}

q j

^{korral. . . . . . . . . . . . . . . . . 24}

3.1.4 Tõestuse lõpuosa . . . 25

4 Järeldused 29

Kirjandus 32

Matemaatilise analüüsikursusest ontuntud sellised read, nagu

∞

∑

n= 1

( −1 ) ⁿ n ,

∞

∑

n= 1

∣ sin n ∣ n

^ja

∞

∑

n= 1

sin ( nx ) n ,

millest esimene koondub Leibnizi tunnuse põhjal, teine hajub, sest liites ja la-

hutades lugejas

∣ sin ( n − 1 )∣

^{ning korrutades lugeja ja nimetaja kahega, saab rea}

eraldada kaheks osaks, millest üks osa koondub ja teine hajub, ning kolmas mai-

nitud ridadest koondub, sest on funktsiooni

f ( x ) = π − x

2

^,

x ∈ [ 0, 2π ]

^{Fourier' rea}

summa.

Kursustekäsitlusestjääbagaväljanimetatudridukombineeridessaadavridakujul

∞

∑

n= 1

( − 1 ) ⁿ ∣ sin n ∣

n ,

⁽¹⁾

kunasellekoonduvuse uurimisekseipiisaFourier'analüüsist,Leibnizivahelduvate

märkidegarea koonduvustunnusest ega Abeli võiDirihlet'koonduvustunnustest.

Tähistagu F selliste pidevate kahanevate funktsioonide

f ∶ [ 1, ∞ ) → R

^{hulka, mille}

korral

x→∞ lim f ( x ) = 0, ∫ ₁ ^∞ f ( x ) dx = ∞.

Kui

f ∈ F

^{, siis}

f

^{onpositiivne funktsioon ja rida}

∑

n ( −1 ) ⁿ f ( n )

^{koondub tingimisi.}

Selles tööson põhilisel kohal read kujul

∑ ∞ n= 1

( − 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣ ,

⁽²⁾

kus

α

^{onreaalarv ja}

f ∈ F

^.

Käesoleva bakalaureusetöö eesmärk on tõestada rea (1) koonduvus. Selleks tões-

tame põhitulemusena ridade kujul (2), kus

α

^on irratsionaalarv, koonduvuseks piisava tingimuse ning järeldameerijuhul

α = 1

π

^ja

f ( n ) = 1

n

^{rea (1)}koonduvuse.

α

^onratsionaalarv.

Töökoosnebneljast peatükist.Esimesespeatükis tutvustatakse tööskasutatavaid

tähistusi ning tuletatakse meelde vajaminevaid väiteid matemaatilisest analüü-

sist ridade ja nende koonduvuse kohta ning arvuteooriast kongruentsuse kohta,

mida kasutatakse ridade ümberjärjestamiseks. Samutitutvustatakse irratsionaal-

susmõõdumõistet ningahelmurde,lähismurdeja nendeomadusi.Põhjalikumüle-

vaade ahelmurdudest ning nende lähismurdudest on leitav Khinhini raamatust

Continued Frations (1997) [4℄.

Teine peatükk on pühendatud ridade(2) koonduvuse uurimisele,kui

α

^onratsio-

naalarv. Selgub,et koonduvus sõltubratsionaalarvu nimetaja paarsusest.

Kolmandas peatükis esitatakse bakalaureusetöö põhitulemus, mille tõestuse idee

onjäreldadauuritavareakoonduvusCauhykriteeriumist,kasutadesosasummade

hindamiseks funktsiooni

f

^{omadusi ja} irratsionaalarvu

α

^ahelmurru lähismurdu- de nimetajate omadusi. Põhitulemus on omakorda jaotatud osadeks, alustades

osasumma teisendamisest, jätkates osasummade hindamisega kolmes osas sõltu-

valtarvu

α

lähismurdudenimetajatesuurusestja paarsusestninglõpetadesleitud hinnangute rakendamise ning Cauhy kriteeriumikehtivuse näitamisega.

Tööviimases peatükis järeldataksepõhitulemusestrea (1)koonduvus,millekska-

sutame arvu

1

π

lähismurdude omadusi ning arvu

π

irratsionaalsusmõõtu, millele andis esmakordselthinnangu Mahler aastal 1953 [6℄.

Kõnealuses tööskasutatakse mitmeid üldtunnustatudtähistusi: kõigi reaalarvude

hulka tähistatakse sümboliga

R

^, naturaalarvude hulka sümboliga

N

^{, täisarvude}

hulkasümboliga

Z

^,ratsionaalarvudehulkasümboliga

Q

^ningkõigikompleksarvude hulka sümboliga

C

^.Rea

∑ ∞ n=−∞

u n

^{summaks nimetame} piirväärtust

lim

N→∞

∑ N n=−N

u n

^.

KäesolevbakalaureusetööonreferatiivneningpõhinebAngelV.Kumheviartiklil

[5℄. Lisaks onkasutatud raamatuid [2℄[4℄ja [7℄.

Selles peatükis tutvustame töös kasutatud tähistusi ning tuletame meelde mõ-

ningad matemaatilise analüüsi kursustest tuntud tulemused ridade ning nende

koonduvuse kohta. Lisaksvajame ridadeteisendamiseks kongruentsimõistet ning

kompleksarve, milleksdeneerimekaeraldi funktsiooni, misvõimaldabasju lühe-

malt kirja panna.

Deneerime funktsiooni

e∶ R → C

^{nii, et}

e ( α ) = cos ( 2πα ) + i sin ( 2πα )

^iga

α ∈ R

korral.

Lause 1.1. Kui

α, β ∈ R

^{, siis}

e ( α + β ) = e ( α ) e ( β ) .

Tõestus. Olgu

α, β ∈ R

^{. Siis kasutades kahe nurga summa siinuse ja koosinuse}

valemeid,saame

e ( α + β ) = cos ( 2 π ( α + β )) + i sin ( 2 π ( α + β ))

= cos ( 2πα ) cos ( 2πβ ) − sin ( 2πα ) sin ( 2πβ ) + i sin ( 2πα ) cos ( 2πβ ) + i cos ( 2πα ) sin ( 2πβ )

= cos ( 2πα )( cos ( 2πβ ) + i sin ( 2πβ )) + i sin ( 2πα )( cos ( 2πβ ) + i sin ( 2πβ ))

= ( cos ( 2πα ) + i sin ( 2πα )) e ( β ) = e ( α ) e ( β ) .

Tähistagu

_ x _

^reaalarvu

x

^{kaugust lähima} täisarvuni. Tegemist ei ole normiga, kuid saabnäidata, etkehtib kolmnurga võrratus.

Lemma 1.2. Olgu

α, β ∈ R

^{. Siis}

_ α + β _ ⩽ _ α _ + _ β _ .

^(1.1)

Tõestus. Kuna

_ x + n _ = _ x _

^iga

x ∈ R, n ∈ Z

^{korral, siis lihtsuse mõttes tões-}

tame tingimuse juhul, kui

0 ⩽ α, β ⩽ 1

^{. Olgu}

α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ∈ R

^{sellised, et}

_ α 1 _ =

α 1 , _ β 1 _ = β 1 , _ α 2 _ = 1 − α 2 , _ β 2 _ = 1 − β 2

^{(vt.joonis 1.1).}

0 α ₁ β ₁ x

1.

1 2

α ₂ β ₂ 2.

1 3.

1 ¹ ₂

4.

2

Joonis 1.1: Vaadeldavadpunktid ja erinevad juhud.

Kuna

0 ⩽ _ α + β _ ⩽ 1

2

^iga

α, β ∈ R

^{korral, siis vaatleme ainult juhtusid, kus}

_ α _ + _ β _ < 1

2

^.

1. Kui

0 ⩽ α 1 + β 1 < 1 2

^{, siis}

_ α 1 + β 1 _ = α 1 + β 1 = _ α 1 _ + _ β 1 _ .

2. Kui

1

2 < α 1 + β 2 ⩽ 1

^{, siis}

_ α 1 + β 2 _ = 1 − ( α 1 + β 2 ) = −α 1 + ( 1 − β 2 ) < _ α 1 _ + _ β 2 _ .

3. Kui

1 < α 1 + β 2 < 1 1 2

^{, siis}

_ α 1 + β 2 _ = α 1 + β 2 − 1 = α 1 − ( 1 − β 2 ) < _ α 1 _ + _ β 2 _ .

4. Kui

1 1

2 < α 2 + β 2 ⩽ 2

^{, siis}

_ α 2 + β 2 _ = 2 − ( α 2 + β 2 ) = _ α 2 _ + _ β 2 _ .

Järelikult võrratus (1.1) kehtib.

Denitsioon 1.3. Olgu

a, b ∈ Z

^ja

n ∈ N

^{. Öeldakse, et}

a

^ja

b

^on kongruentsed mooduli

n

^järgi(ja kirjutatakse

a ≡ b ( mod n )

^),kui

n ∣ b − a

^{,s.t. kui leidubselline}

k ∈ Z

^{, et}

b = a + kn

^ehk

a = b + ( −k ) n

^.

Denitsioon 1.4. Transtsendentseks nimetataksereaal-võikompleksarvu,misei

olealgebraline,s.t. miseiolenullisterinevaratsionaalsetekordajatega polünoomi

juur.

Järgnevaddenitsioonidjatulemusedningpõhjalikumülevaadeahelmurdudening

nende lähismurdude kohta onleitavadKhinhiniraamatust [4℄.

a 0 + 1 a 1 + _a ¹

2 + _a3 ¹ _{+ ...}

,

^(1.2)

kus

a 0

^ontäisarvja

a 1 , a 2 , . . .

^onpositiivsedtäisarvud,nimetatakseharilikuksahel- murruks.

Iga reaalarvu saab esitada ahelmurruna, kusjuures iga ratsionaalarv avaldub lõp-

likuahelmurrunaning igairratsionaalarvlõpmatu ahelmurruna.

Denitsioon 1.6. Deneerime jadad

( p n )

^ja

( q n )

võrdustega:

p − 1 ∶= 1, q − 1 ∶= 0, p 0 ∶= a 0 , q 0 ∶= 1, p _n+ 1 ∶= a n p n + p _n− 1 ,

q n+ 1 ∶= a n q n + q n− 1

n ⩾ 1

^{. Siis murde}

p n

q n ( n ∈ N )

nimetatakse ahelmurru (1.2) lähismurdudeks ehk aproksimantideks.

Lemma1.7. Olgu

( p n / q n ) ^∞ n= 1

^arvu

α

lähismurdude jada.Siis

n ⩾ 1

^{korralkehtivad}

omadused

1 2q n q _n+ 1

< ∣ α − p n

q n ∣ < 1 q n q _n+ 1

ja

q n ⩾ 2 ^{n 2 − 1} .

Bakalaureusetööviimasespeatükisonkasutatudkairratsionaalsusmõõdumõistet,

mison leitavAlekseyevi artiklist [1℄.

Denitsioon1.8. Olgu

x

^{reaalarvjaolgu}

R

positiivsetereaalarvude

µ

^hulk,mille

korral võrratusel

0 < ∣ x − p q ∣ < 1

q ^µ

onülimaltlõplikarvlahendeid

p / q

^,kus

p ∈ Z

^,

q ∈ N

^ja

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^.Irratsionaal- susmõõt, mida mõnikord nimetatakse Liouville-Roth konstandiks, ondeneeritud

võrdusega

µ ( x ) = inf

µ∈R µ.

Teisisõnu,irratsionaalsusmõõtnäitab,kuihästionvõimalikreaalarvu

x

^lähendada

ratsionaalarvudega.

Märkus 1.9. Kui hulk

R

^ontühi,siisdeneeritakse

µ ( x ) = ∞

^{ja reaalarvu}

x

^nime-

tatakse Liouville'iarvuks. Mittetühja

R

^{korral onkolmvõimalust:}

⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪

⎩

µ ( x ) = 1 ,

^kui

x

^onratsionaalarv,

µ ( x ) = 2,

^kui

x

^onalgebraline arv, miseiole ratsionaalarv,

µ ( x ) ⩾ 2,

^kui

x

^ontranstsendentne.

(1.3)

Järgmisedväitedpärinevad Kangromatemaatilise analüüsiõpikutest[2℄ ja [3℄.

Denitsioon 1.10. Funktsionaalrida

a 0

2 + ∑ ^∞

k= 1

a k cos ( kx ) + b k sin ( kx ) ,

kus kordajad

a 0 , a k , b k ( k ∈ N )

^{on määratudseostega}

a k = 1

π ∫ _−π ^π f ( x ) cos ( kx ) dx ( k = 0, 1, 2, . . . ) , b k = 1

π ∫ _−π ^π f ( x ) sin ( kx ) dx ( k = 1, 2, . . . ) ,

nimetatakse funktsiooni

f

^{Fourier' reaks lõigus}

[ −π, π ]

^.

Teoreem 1.11. Kui absoluutselt integreeruv funktsioon

f ( x )

^on perioodiline pe- rioodiga

2π

^{, siis igas punktis}

x

^{, kus on olemas ühepoolsed tuletised}

f ^′ ( x+ ) = lim

u→ 0 +

f ( x + u ) − f ( x+ )

u

^ja

f ^′ ( x− ) = lim

u→ 0 −

f ( x + u ) − f ( x− )

u ,

koondub funktsiooni

f ( x )

^{Fourier' rida summaks}

S = f ( x+ ) + f ( x− )

2 .

Lause 1.12 (Cauhy kriteerium ridade jaoks). Arvrida

∑

k

u k

^{koondub para-}

jasti siis, kui

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∶ m > n ⩾ N ⇒ ∣ ∑ ^m

k=n+ 1

u k ∣ < ε.

Lemma 1.13 (Leibnizi vahelduvate märkidega rea jääkliikme hinnang).

Kui

0 ⩽ u k ↓ 0

^{, siis}

∣ ∑ ^∞

k=n+ 1

( − 1 ) ^k u k ∣ ⩽ ∣ u n+ 1 ∣ .

Lemma 1.14 (Abeli teisendus). Suvaliste arvude

u 1 , . . . , u n

^ja

v 1 , . . . , v n

^korral

kehtib võrdus

∑ n k= 1

v k u k = ⁿ⁻

1 k= ∑ 1

( v k − v k+ 1 ) s k + v n s n ,

kus

s k ∶= u 1 + . . . + u k ( k = 1, . . . , n )

^.

Lause 1.15 (d'Alemberti tunnus). Rida

∑

k

u k

^koondub absoluutselt, kui eksis-

teerib piirväärtus

d ∶= lim

k→∞ ∣ u _k+ 1

u k ∣

^ning

d < 1

^{. Kui}

d > 1

^{, siis rida}

∑

k

u k

^hajub.

Lause 1.16 (Ridade võrdluslause). Leidugu ridade

∑

k

u k

^ja

∑

k

v k

^{puhul selline}

K ∈ N

^{, et}

0 ⩽ u k ⩽ v k

^iga

k > K

^korral.

1. Kui rida

∑

k

v k

^{koondub, siis koondub ka rida}

∑

k

u k

^.

2. Kui rida

∑

k

u k

^{hajub, siis hajub ka rida}

∑

k

v k

^.

2. Koonduvus juhul, kui

α

^{on ratsio-}

naalarv

Selles peatükis tõestame ridade

∑ ∞ n= 1

( −1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^{, kus}

α

^on ratsionaalarv ja

f ∈ F

^, koonduvuseks tarviliku ja piisava tingimuse. Eelnevalt tõestame mõned tulemust toetavadlaused ja lemmad.

Lause 2.1. Olgu

q, N, M ∈ N

^,

1 ⩽ h ⩽ q

^,

f ∈

^{F. Siis}

∣ ^N+M ∑

n=N + 1 n≡h ( mod q)

qf ( n ) − ∫ _N ^N+M f ( x ) dx ∣ ⩽ 3qf ( N ) .

^(2.1)

Tõestus. Olgu

h ∈ { 1, . . . , q }

^{suvaline. Olgu}

p ∈ { 1, 2, . . . , q }

^{selline, et}

N + p =

1 min ⩽i⩽M { N + i ∣ N + i ≡ h ( mod q )}

^ningolgu

t ∈ N

^selline,et

N + p + tq = max

1 ⩽i⩽M { N + i ∣ N + i ≡ h ( mod q )}

^{. Paneme tähele, etkui}

N + 1 ⩽ k < l ⩽ N + M

^{, siis}

∑ l n≡h n=k ( mod q)

qf ( n ) − ∫ _k ^l f ( x ) dx ⩽ qf ( N ) .

Hindameantudvaheabsoluutväärtustkolmesosas,kasutades

f

monotoonsustning kolmnurga võrratust(vt. joonist 2.1).

x y

N N + p N + p + q N + p + 2q . . . N + p + tq N + M 0

f (N )

Joonis 2.1: Funktsiooni

f

^{graak ja vaadeldav summa.}

Saame

RRRRR RRRRR R

N+M ∑

n=N+ 1 n≡h ( mod q)

qf ( n ) − ∫ _N ^N+M f ( x ) dx RRRRR RRRRR R

= RRRRR RRRRR R qf ( N + p ) + qf ( N + p + q ) + . . . + qf ( N + p + tq ) − ∫ _N ^N+M f ( x ) dx RRRRR RRRRR R

= RRRRR RRRRR R qf ( N + p ) + . . . + ( N + M − ( N + p + tq )) f ( N + p + tq ) − ∫ _N ^N+M _+p f ( x ) dx + ( N + p + ( t + 1 ) q − ( N + M )) f ( N + p + tq ) − ∫ _N ^N+p f ( x ) dxRRRRR RRRRR R

⩽ RRRRR RRRRR

R ∫ _N ^N+p f ( x ) dx RRRRR RRRRR R + RRRRR

RRRRR

R q ( f ( N + p ) + . . . + f ( N + p + tq )) − ∫ _N ^N _+p ^+M f ( x ) dx RRRRR RRRRR R + RRRRR RRRRR R ( p + ( t + 1 ) q − M ) f ( N + p + tq ) RRRRR RRRRR R ⩽ qf ( N ) + qf ( N ) + qf ( N ) = 3 qf ( N ) .

Seega tingimus (2.1)kehtib.

Märkus 2.2. Eelnevas lauses on võimalik tuletada

qf ( N )

^{ees olevale} konstandile väiksemväärtus(näiteks2,arvestades, ettekkivateristkülikutesummaninginteg-

raalivaheonväiksemkui

qf ( N )

^{),misannababsoluutväärtuseleparemahinnangu,}

kuid onsiinkohal ebavajalik.

Lemma 2.3. Olgu

n, h, q ∈ N

^,

p ∈ Z

^ja

n ≡ h ( mod q )

^{. Siis}

∣ sin πpn

q ∣ = ∣ sin πph q ∣ .

Tõestus. Kuna

n ≡ h ( mod q )

^{, siis leidub}

t ∈ Z

^{nii, et}

n = qt + h

^{(vt. denitsioon}

1.3). Asendades saame

∣ sin πpn

q ∣ = ∣ sin ( qt + h ) πp

q ∣ = ∣ sin ( πpt ) cos πhp

q + cos ( πpt ) sin πph q ∣

= ∣ 0 + sin πph

q ⋅ 1 ∣ = ∣ sin πph q ∣ .

Lemma 2.4. Olgu

q ∈ N

^{. Siis}

∑ q h= 1

sin ( hx ) = sin ^(q+ ₂ ^{1 )x} sin ^qx ₂ sin ^x ₂ .

Tõestus. Tähistame

S q ∶= ∑ ^q

h= 1

sin ( hx )

^{. Korrutades võrduse mõlemad pooled}

sin x 2

läbi, saame

S q sin x

2 = sin x sin x

2 + sin 2x sin x

2 + . . . + sin qx sin x 2 .

Kasutades valemit

sin ( mx ) sin x 2 = 1

2 ( cos (( m − 1

2 ) x ) − cos (( m + 1

2 ) x ))

^{, saame te-}

leskoopsumma

S q sin x 2 = 1

2 ( cos x

2 − cos (( q + 1

2 ) x )) = sin qx

2 sin ( q + 1 ) x 2 ,

kust järeldubsoovitudvalem.

Teoreem 2.5. Olgu

f ∈

^{F ja}

α = p

q

^{selline, et}

p ∈ Z

^,

q ∈ N

^ja

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^{. Siis}

rida

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^{koondub parajasti siis, kui q on paaritu.}

Tõestus. Cauhy kriteeriumikohaseltrida

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^koondubpara-

jasti siis,kui

∀ ε > 0 ∃ N 0 ∈ N ∶ M > N ⩾ N 0 ⇒ ∣ ^M+N ∑

n=N+ 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣∣ < ε.

S ( α; M, N ) ∶ = ^N ∑ ^+M

n=N + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin nπp q ∣ ,

kus

M, N ∈ N

^. Järjestades rea

n

jäägiklasside mooduli

q

^{järgi ümber, saame}

S ( α; M, N ) = ∑ ^q

h= 1

N+M ∑

n=N+ 1 n≡h ( mod q)

( − 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin nπp q ∣

= ∑ ^q

h= 1

∣ sin πhp

q ∣ ^N ∑ ^+M

n=N + 1 n≡h ( mod q)

(− 1 ) ⁿ f ( n ) ,

(2.2)

kus viimanevõrdus kehtiblemma 2.3põhjal.

Esiteks,olgu

q

^{paaritu.Siissummaüle}

n

^{võrduses(2.2)on}vahelduvatemärkidega, seega Leibnizi vahelduvate märkidega rea jääkliikme hinnangu (vt. lemma 1.13)

põhjal tõkestatud oma esimese liikmega, mis on maksimaalselt

f ( N )

^{. Teame ka,}

et

∣ sin πph

q ∣ ⩽ 1

^,seega

∣ S ( α; M, N )∣ ⩽ ∑ ^q

h= 1

1 ⋅ f ( N ) = qf ( N ) _N Ð→ _→∞ 0,

mison väiksem igast reaalarvust

ε > 0

^{,mis tähendab,et rida koondub.}

Teiseks, olgu

q

^{paaris. Kuna}

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^{, siis on}

p

^{paaritu ja}

n ≡ h ( mod q )

tõttu

(− 1 ) ⁿ = (− 1 ) ^qt+h = (− 1 ) ^qt (− 1 ) ^h = (− 1 ) ^h = (− 1 ) ^ph

^{, kus}

t ∈ Z

^{. Seega}

S ( α; M, N ) =

q h= ∑ 1

(− 1 ) ^ph ∣ sin πph

q ∣ ^N ∑ ^+M

n=N + 1 n≡h ( mod q)

f ( n ) .

Lause 2.1põhjal

S ( α; M, N ) = ∑ ^q

h= 1

( − 1 ) ^ph ∣ sin πph q ∣ 1

q ( ^N+M ∑

n=N+ 1 n≡h ( mod q)

qf ( n ) − I f + I f )

⩽ ∑ ^q

h= 1

( − 1 ) ^ph ∣ sin πph q ∣ I f

q +

∑ q h= 1

1

q ∣ sin πph

q ∣ ^N+M ∑

n=N+ 1 n≡h ( mod q)

∣ qf ( n ) − I f ∣

= I f

q

∑ q h= 1

(− 1 ) ^ph ∣ sin πph

q ∣+ 3qf ( N ) ,

(2.3)

kus

I f = I f ( M, N ) = ∫ _N ^{N +M} f ( x ) dx

^.

Kuna

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^{, siis hulgad}

{ p, 2p, . . . , qp }

^ja

{ 1, 2, . . . , q }

^{on mooduli}

q

^järgi

∑ q h= 1

(− 1 ) ^ph ∣ sin πph q ∣ = ∑ ^q

h= 1

(− 1 ) ^h sin πh q = ∑ ^q

h= 1

cos ( πh ) sin πh q = ∑ ^q

h= 1

sin πh ( 1 + 1 q ) .

Hindame viimastsummat,kasutades valemit(tuletatud lemmas 2.4)

∑ q h= 1

sin ( hx ) = sin ^(q+ ₂ ^{1 )x} sin ^qx ₂ sin ^x ₂ ,

saame lihtsustades

∑ q h= 1

(− 1 ) ^ph ∣ sin πph

q ∣ = sin (( q + 1 ) ^π 2 ( 1 + ¹ _q )) sin ( ^πq 2 ( 1 + ¹ _q )) sin ( ^π 2 ( 1 + ¹ _q ))

= sin ₂ ^π _q cos ( ^πq 2 + π ) cos ^πq ₂

cos ₂ ^π _q = − tan π 2q .

(2.4)

Asendades (2.4) võrduse (2.3) paremasse poolde, saame

S ( α; M, N ) ⩽ − 1 q tan π

2q I f ( M, N ) + 3qf ( N ) ,

Kuna

∫ _N ^∞ f ( x ) dx = ∞

^{,siis ka rida hajub.}

3. Koonduvus juhul, kui

α

^{on irrat-}

sionaalarv

Selles peatükis anname piisava tingimuse rea

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^koonduvu-

seks,kus

α

^onirratsionaalarvja

f ∈

^{F.Alustamemõne}põhitulemusttoetavalemma tõestusega.

Lemma 3.1. Iga

x ∈ R

^korral

∣ sin x 2 ∣ = 2

π − 4 π

∑ ∞ k= 1

cos ( kx ) 4k ² − 1 = − 2

π

∑ ∞ k=−∞

cos ( kx ) 4k ² − 1 .

Tõestus. Arendamefunktsiooni

f ( x ) = ∣ sin x

2 ∣

^{Fourier'reaks(vt.denitsioon1.10).}

Kuna

∣ sin x

2 ∣

^onpaarisfunktsioon,siis

b k = 0

^iga

k = 1 , 2 , . . .

^{korral.Leiamekordajad}

a k

^,

k = 0, 1, 2 . . .

^{, saame}

a 0 = 1

π ∫ _−π ^π ∣ sin x

2 ∣ dx = 2

π ∫ ₀ ^π sin x 2 dx = 2

π cos x 2 ∣

π

0

= 4 π , a k = 1

π ∫ _−π ^π ∣ sin x

2 ∣ cos ( kx ) dx = 1

π ∫ ₀ ^π ( sin ( x ( 1

2 + k )) + sin ( x ( 1

2 − k ))) dx

= − 1 π ( 1

1 + 2k cos ( x ( 1

2 + k )) + 1

1 − 2k cos ( x ( 1

2 − k ))∣

π

0

) = 4

π ( 1 − 4k ² ) .

Kuna

f

^onlõigus

[− π, π ]

^{pidev (seega}

f ( x −) = f ( x +) = f ( x )

^{) ning}

f ^′ ( x ) = 1

2 sgn x cos x

2 , x ≠ 0,

siis(teoreemi1.11 põhjal)funktsiooni

f

^{Fourier'rida koondubpunktis}

x

^summaks

S = f ( x +) + f ( x −)

2 = f ( x ) = ∣ sin x

2 ∣

^{. Järelikult}

∣ sin x 2 ∣ = 2

π − 4 π

∑ ∞ k= 1

cos ( kx )

4k ² − 1 ∀ x ∈ [− π, π ] .

Kuna

cos (− kx ) = cos ( kx )

^{, siis}

∣ sin x 2 ∣ = − 2

π ( − 1 + 2

∑ ∞ k= 1

cos ( kx ) 4 k ² − 1 )

= − 2

π ( − 1 +

∑ ∞ k=−∞

cos ( kx )

4k ² − 1 − cos 0

− 1 ) = − 2 π

∑ ∞ k=−∞

cos ( kx ) 4k ² − 1 .

Järgminelemma põhineb peatükil 3.2Montgomery raamatus [7℄.

Lemma 3.2. Olgu

n ∈ N

^,

α ∈ R ∖ Z

^{. Siis}

N− 1 n= ∑ 0

e ( αn ) = e ( αn ) − 1 e ( α ) − 1 ,

kusjuures

∣ ^N− ∑ ¹

n= 0

e ( αn )∣ ⩽ min ( N, 1 2 _ α _) .

Tõestus. Paneme tähele,et

N− 1 n= ∑ 0

e ( αn )

^on

N

^{liikmest koosnev lõplik} geomeetriline jada,kus

q = e ( α )

^{.Leiamejadasumma,kasutades valemit}

S n = a 1 ( 1 − q ⁿ )

1 − q

^,saame,

et

N− 1 n= ∑ 0

e ( αn ) = 1 ⋅ ( 1 − e ( αn ))

1 − e ( α ) = e ( αn ) − 1 e ( α ) − 1 .

Seega

∣ ^N ∑ ^{− 1}

n= 0

e ( αn )∣ = ∣ e ( αn ) − 1

e ( α ) − 1 ∣ = ∣ e ( N ^α ₂ )( e ( N ^α ₂ ) − e (− N ^α ₂ )) e ( ^α 2 )( e ( ^α 2 ) − e (− ^α 2 )) ∣

= ∣ e (( N − 1 ) α

2 ) sin ( nπα )

sin ( πα ) ∣ = ∣ sin ( N πα )

sin ( πα ) ∣ ⩽ 1

∣ sin ( πα )∣ .

Kuna

∣ sin ( πα )∣

^{graak on igas} intervallis

n < α < n + 1, n ∈ Z

^{kumer ja}

2 _ α _

^on

∣ sin ( πα )∣

^{lõikaja, siis}

∣ sin ( πα )∣ ⩾ 2 _ α _

^{. Kuna}

∣ e ( αn )∣ ⩽ 1

^{, siis on}

N

^kolmnurga

võrratuse tõttu antud summa moodulitriviaalne tõke.Seega

∣ ^N− ∑ ¹

n= 0

e ( αn )∣ ⩽ min ( N, 1

2 _ α _) .

Lemma 3.3. Olgu

p, q, r ∈ Z

^,

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^,

3 ⩽ q ⩽ r

^,

1 ⩽ h ⩽ 2q

^,

2 ∤ h

^{. Siis}

∑

q< 4 k⩽r 2 pk≡h ( mod q)

1

4k ² − 1 ⩽ 10 q ² .

Tõestus. Hindame summat

∑

q< 4 k⩽r 2 pk≡h ( mod q)

1

4k ² − 1

^{. Olgu}

k

^{selline, et}

q < 4k ⩽ r

^ja

2pk ≡ h ( mod q )

^{. Olgu}

t ∈ Z

^{vähim täisarv, millekorral}

2p ( k + t ) ≡ h ( mod q )

^,siis

2pt ≡ 0 ( mod q )

^{. Kuna}

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^ja

q

^{on paaritu,siis}

t ≡ 0 ( mod q ) ⇒ q ∣ t,

seega

t

^on

q

^kordneehk

t = q

^{,mistähendab,et}

k

^{esinebsummasiga}

q

^tagant.Olgu

k 0

^{summasesimeneselline}

k

^{,millekorralkehtivad}

q < 4k 0 ⩽ r

^ja

2pk 0 ≡ h ( mod q )

^.

Kirjutame

2k = ( ql + 2k 0 )

^,

l ∈ N ∪ { 0 }

^{ning hindame summat}

∑ ∞ l= 0

1

( ql + 2k 0 ) ² − 1 = 1

( 2k 0 ) ² − 1 + 1

( q + 2k 0 ) ² − 1 +

∑ ∞ l= 2

1 ( ql + 2k 0 ) ² − 1

⩽ 1

( 2k 0 ) ² − 1 + 1

( q + 2k 0 ) ² − 1 + ∫ ₁ ^∞ dx ( qx + 2k 0 ) ² − 1

= 1

( 2k 0 ) ² − 1 + 1

( q + 2k 0 − 1 )( q + 2k 0 + 1 ) + 1 q ( q + 2k 0 − 1 )

⩽ 8 q ² + 1

q ² + 1 q ² ⩽ 10

q ² ,

sest

∫ ₁ ^∞ dx

( qx + 2k 0 ) ² − 1 = lim

n →∞ ∫ ₁ ⁿ ( dx

2 ( qx + 2k 0 − 1 ) − dx

2 ( qx + 2k 0 + 1 ))

= 1 2 lim

n →∞ ( 1

q ln ( qx + 2k 0 − 1 ) − 1

q ln ( qx + 2k 0 + 1 )∣

n

1

)

= 1 2q lim

n→∞ ( ln ( qn + 2k 0 − 1 ) − ln ( q + 2k 0 − 1 )

− ln ( qn + 2k 0 + 1 ) + ln ( q + 2k 0 + 1 ))

= 1 2q ( lim

n→∞ ln ( qn + 2k 0 − 1

qn + 2k 0 + 1 ) + ln ( q + 2k 0 + 1 q + 2k 0 − 1 ))

= 1

2q ln ( q + 2k 0 + 1 q + 2k 0 − 1 ) ⩽ 1

2q ( q + 2k 0 + 1

q + 2k 0 − 1 − 1 ) = 1 q ( q + 2k 0 − 1 )

ja pannes tähele,et

2k 0 > q 2 ⩾ 3

2 > 1

^{, siis}

1

q + 2k 0 − 1 < 1

q ⇒ 1

q + 2k 0 + 1 < 1

q

^ning

1

( 2k 0 ) ² − 1 ⩽ 8

q ² .

Lemma 3.4. Olgu

p ∈ Z

^,

q, k ∈ N

^,

q

^{paaris ja}

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^{. Kui}

2q ∤ 2k − q

^{, siis}

2q ∤ 2pk + q

^.

Tõestus. Oletamevastuväiteliselt,et

2q ∣ 2pk + q

^.Kuna

S ¨ UT ( p, q ) = 1

^{,siisleiduvad}

u, v ∈ Z

^nii,et

up + vq = 1

^{, kus}

u

^{on paaritu,seega}

2q ∤ 2k ( up + vq ) − q = 2upk + 2vqk − q ⇒ 2q ∤ 2upk − q.

Kuna

2q ∣ 2pk + q

^,siis

2q ∣ u ( 2pk + q ) = 2upk + uq

^{. Järelikult}

2q ∤ 2upk + uq − ( 2upk − q ) = ( u + 1 ) q,

millegaolemesaanud vastuolu,sest

u + 1

^{onpaarisarv,seega}

2q ∣ ( u + 1 ) q

^.Järelikult

2q ∤ 2pk + q

^.

Lemma 3.5. Olgu

k, q ∈ N

^,

p ∈ Z

^,

q

^{paaritu ja}

1 ⩽ h ⩽ 2q

^,

h

^{paaritu. Siis}

2pk + q ≡ h ( mod 2q ) ⇔ 2pk ≡ h ( mod q ) .

Tõestus.

⇒

^Kui

2pk + q ≡ h ( mod 2q )

^{, siis} denitsiooni põhjal leidub

t ∈ Z

^nii,

et

2pk + q = 2tq + h

^{. Siis aga leidub}

l = 2t + 1 ∈ Z

^{nii, et}

2pk = lq + h

^ehk

2pk ≡ h ( mod q )

^.

⇐

^Kui

2pk ≡ h ( mod q )

^,siis denitsioonipõhjalleidub

t ∈ Z

^nii,et

2pk = tq + h

^,

kusjuures

t

^{on paaritu, sest}

h

^{on paaritu. Siis aga leidub}

l = t + 1

2 ∈ Z

^{nii, et}

2pk + q = 2lq + h

^ehk

2pk + q ≡ h ( mod 2q )

^.

3.1 Põhiteoreem ja tema tõestus

Teoreem3.6. Olgu

f ∈

^F,

α ∈ R ∖ Q

^jaolgu

( q n ) ^∞ n= 1

^arvu

α

^ahelmurrulähismurdude nimetajate jada. Kui rida

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1 q ² _n ∫ ^{q n +}

1

1 f ( x ) dx

^(3.1)

koondub, siis ka rida

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^koondub.

Tõestus. Näitame, et rida

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^{koondub. Selleks näitame, et}

tema osasummadejada

S ( α; M, N )

^{on Cauhy jada,s.t.}

∀ ε > 0 ∃ N 0 ∈ N ∶ M > N ⩾ N 0 ⇒ ∣ S ( α; M, N )∣ < ε.

Fikseerime suvalise

ε > 0

^{. Kasutades rea}

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1

q ² _n ∫ ₁ ^{q n +1} f ( x ) dx

koonduvust, leiame sellise indeksi

j 0 = j 0 ( ε )

^{, et}

∑ ∞ j=j 0

2 ∣q j

1

q _j ² ∫ ₁ ^{q j +1} f ( x ) dx < π 320 ⋅ ε

2 .

Hindame taas summat

S ( α; M, N ) = ^N+M ∑

n=N+ 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣ .

Võimelihtsuse mõttes eeldada, et

N

^{onpaaris, sest kui oleme hinnanud summat}

mingi

ε

2 > 0

^abilpaaris

N

^{korral, siis paaritu}

N

^{jaoks kehtib}

S ( α; M, N ) = S ( α; M, N + 1 ) + 2f ( N ) ⩽ ε

2 + 2f ( N ) Ð→ 0,

sesteeldusekohaselt

lim

x→∞ f ( x ) = 0

^.Arendamefunktsiooni

∣ sin ( nπα )∣

^{Fourier'ritta,}

saame lemma3.1 põhjal

∣ sin ( nπα )∣ = − 2 π

∑ ∞ k=−∞

cos ( 2παkn ) 4k ² − 1 = − 2

π

∑ ∞ k=−∞

e ( αkn )

4k ² − 1 ∀ x ∈ [− π, π ] ,

sest

sin (− 2 παkn ) = − sin ( 2 παkn )

^. Perioodilisuse tõttu kehtib eelnev iga

x ∈ R

korral. Asendades summasse, saame, et

S ( α; M, N ) = 2 π

∑ ∞ k=−∞

− 1 4k ² − 1

N+M ∑

n=N+ 1

(− 1 ) ⁿ f ( n ) e ( αkn ) .

Kui

k = 0

^{,siisLeibnizi}vahelduvatemärkidegareajääkliikmehinnangut(vt.lemma 1.13) ja

f

monotoonsustkasutades, saame

∣ 2 π

N +M n=N ∑ + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ = 2 π ∣ ∑ ^∞

n=N+ 1

(− 1 ) ⁿ f ( n ) −

∑ ∞ n=N +M + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣

⩽ 2 π (∣ ∑ ^∞

n=N + 1

( − 1 ) ⁿ f ( n )∣ + ∣ ∑ ^∞

n=N+M+ 1

( − 1 ) ⁿ f ( n )∣)

⩽ 2

π ( f ( N + 1 ) + f ( N + M + 1 )) ⩽ 4

π f ( N ) =∶ τ 1 .

Kombineerides rea liikmeid, kui

k = ± m

^{,saame iga}

m ⩾ 1

^{korral, et}

2

π ( − 1 4m ² − 1

N +M

∑

n=N + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )( cos ( 2παmn ) + i sin ( 2παmn )) + − 1

4m ² − 1

N +M n=N ∑ + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )( cos ( 2παmn ) − i sin ( 2παmn )))

= 2

π ( − 1 4m ² − 1

N +M

∑

n=N + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n ) 2 cos ( 2παmn )) = 4

π Re { − 1 4m ² − 1

N +M

∑

n=N + 1

(− 1 ) ⁿ f ( n ) e ( αmn )}

ning jõuame võrratuseni

S ( α; M, N ) ⩽ 4

π Re { ∑ ^∞

k= 1

− 1 4k ² − 1 −

N+M ∑

n=N+ 1

(− 1 ) ⁿ f ( n ) e ( αkn )} + τ 1 .

^(3.2)

Hindamerealiikmeid,millekorral

k > M

^{.Kolmnurgavõrratuseja}

f

monotoonsuse põhjal

∣ ^N ∑ ^+M

n=N + 1

( − 1 ) ⁿ f ( n ) e ( αkn )∣ ⩽ ^N+M ∑

n=N+ 1

f ( n )∣ e ( αkn )∣ ⩽ M f ( N ) ,

seega

∑ ∞ k=M + 1

1

4k ² − 1 ∣ ^N+M ∑

n=N+ 1

(− 1 ) ⁿ f ( n ) e ( αkn )∣ ⩽ ∑ ^∞

k=M + 1

M f ( N ) 4k ² − 1

= M f ( N ) 2

∑ ∞ k=M + 1

( 1

2k − 1 − 1 2k + 1 )

= M f ( N )

2 ( 1

2M + 1 − 1

2M + 3 + 1

2M + 3 − 1

2M + 5 + . . . ) = M f ( N )

4M + 2 ⩽ f ( N ) 4 .

Tähistame

τ 2 ∶ = τ 1 + f ( N )

4

^.Kuna

N

^onpaarisning

e ( αk ( N + t )) = e ( αkN ) e ( αkt )

iga

1 ⩽ t ⩽ M

^{korral, siis} võrratusest (3.2)saame

S ( α; M, N ) ⩽ 4

π Re { ∑ ^M

k= 1

−e ( αkN ) 4k ² − 1

∑ M n= 1

(− 1 ) ⁿ g ( n ) e ( αkn )} + τ 2 ,

^(3.3)

kus

g ( x ) = f ( N + x )

^.

Kasutame Abeli teisendust, võttes lemmas1.14

n ∶= M

^,

k ∶= n

^,

u n ∶= (− 1 ) ⁿ e ( αkn )

ja

v n ∶= g ( n )

^{, saame}

∑ M n= 1

(− 1 ) ⁿ g ( n ) e ( αkn ) = g ( M ) U ( αk ; M ) −

M − 1 m= ∑ 1

∆g ( m ) U ( αk; m ) ,

^(3.4)

kus

∆g ( m ) = g ( m + 1 ) − g ( m )

^ja

U ( αk; n ) = ∑ ^m

n= 1

(− 1 ) ⁿ e ( αkn ) = ∑ ^m

n= 1

( cos ( nπ ) + i sin ( nπ )) e ( αkn )

= ∑ ^m

n= 1

e ( n

2 ) e ( αkn ) = ∑ ^m

n= 1

e (( αk + 1 2 ) n ) .

Asendame (3.4) võrdusesse (3.3),saame

S ( α; M, N ) ⩽ 4

π Re { g ( M ) V ( α; M ) ^M− ∑ ¹

m= 1

∆g ( m ) V ( α; m )} + τ 2 ,

^(3.5)

kus

V ( α; m ) = ∑ ^M

k= 1

− e ( αkN )

4k ² − 1 U ( kα; m ) .

Ethinnatavõrratuse (3.5) parematpoolt,lõhumesumma

V ( α; m )

^{tükkideks vas-}

tavalt lähismurdude nimetajatele

α

^{ahelmurru esituses. Olgu}

( p n / q n ) ^∞ n= 0

^arvu

α

ahelmurru lähismurdude jada.Jagame

V ( α; m )

^osadeks

V j ( α; m )

^{, misondenee-}

ritud võrdusega

V j ( α; m ) = ∑

k∈K j (M )

− e ( αkN )

4k ² − 1 U ( kα; m ) ,

^(3.6)

kus

K j ( M )

^{on hulk, mis koosneb} positiivsetest täisarvudest

k ⩽ M

^{, mille korral}

q j < 4k ⩽ q _j+ 1

^{. Leiame kolm erinevat hinnangut summa}

V j ( α; m )

^{jaoks, sõltuvalt}

q j

^{suurusest ning} paarsusest.

3.1.1

V _j (α; m)

^{hinnang väikese}

j

^korral

Kui

j

^onmingikonstandigaülevalttõkestatud,siissaamelemma3.2abilhinnangu

∣ V j ( α; x )∣ ⩽ ∑

q j < 4 k⩽q j +1

1

4k ² − 1 min ( m, 1 2 __ _ kα + ¹ 2 __ _ )

⩽ ∑

q j < 4 k⩽q j+1

1

( 8k ² − 2 )___ kα + ¹ 2 __ _

=∶ K j ( α ) .

(3.7)

3.1.2

V _j (α; m)

^{hinnang paaritu}

q _j

^korral

Olgu

q j

^{paaritu ja piisavalt suur, s.t. kehtigu}

q j ⩾ 2 > √

e

^{. Olgu}

β ∶= α − p j

q j

. Kui

q j < 4k ⩽ q j+ 1

^{,siis saame lemma1.7põhjal}

0 < 1 8q j+ 1

= q j

8q j q j+ 1

< k 2q j q j+ 1

< k ∣ β ∣ < k q j q j+ 1

⩽ q _j+ 1

4q j q j+ 1

= 1 4q j

< 1

2 .

Seega

_ kβ _ = k ∣ β ∣

^.

Kuna

q j

^{onpaaritu, siis}

2q j ∤ ( 2p j k + q j )

^ja

δ p j ,q j ( k ) ∶= __ __ k p j

q j + 1

2 __ __ = __ __ 2p j k + q j

2q j

__ __ ⩾ 1 2q j

.

Kolmnurga võrratuse (vt.lemma 1.2) tõttu

δ p j ,q j ( k ) = __ __ k p j

q j

+ 1

2 + kβ − kβ __ __ ⩽ __

__ k p j

q j

+ kβ + 1

2 __ __ + _ kβ _ = __

__ kα + 1

2 __ __ + _ kβ _ ,

seega

__ __ kα + 1 2 __

__ ⩾ δ p _j ,q _j ( k ) − k ∣ β ∣ ⩾ δ p _j ,q _j ( k ) − 1 4q j

⩾ δ p j ,q j ( k ) 2 .

Kasutades jälle lemmat3.2

U ( kα; m )

hindamiseks, saame, et

∣ V j ( α ; m )∣ ⩽ ∑

q j < 4 k⩽q j +1

1

2 ( 4k ² − 1 )___ kα + ¹ 2 __ _

⩽ ∑

q j < 4 k⩽q j +1

δ p j ,q j ( k ) ^{− 1} 4k ² − 1

= ∑

1 ⩽h⩽ 2 q j

2 ∤h

∑

q j < 4 k⩽q j +1

2p _j k+q j ≡h ( mod 2q _j )

δ p j ,q j ( k ) ^{− 1} 4k ² − 1

= ∑

1 ⩽h⩽ 2 q j

2 ∤h

__ __ h 2q j

__ __

− 1

∑

q j < 4 k⩽q j +1

2 p j k≡h ( mod q j )

1 4k ² − 1 ,

(3.8)

kus viimanevõrdus kehtibtänu lemmale3.5.

Hindame summat üle

k

^{võrduse (3.8) paremas pooles, kasutades lemmat 3.3 ja}

saame, et

∑

q j < 4 k⩽q j +1

2 p j k≡h ( mod q j )

1

4k ² − 1 ⩽ 10 q _j ² .

Kuna

1 ⩽ h ⩽ q j + 1

2 ⇒ __

__ 2h − 1 2q j

__ __ = 2h − 1

2q j ⇒ __

__ 2h − 1 2q j

__ __

− 1

= 2q j

2h − 1 , q j + 1

2 ⩽ h ⩽ q j ⇒ __

__ 2h − 1 2q j

__ __ = 1 − 2h − 1

2q j ⇒ __

__ 2h − 1 2q j

__ __

− 1

= 2q j

2q j − ( 2h − 1 ) ,

ning

(q j + 1 )/ 2

∑

h= 1

2q _j 2h − 1 =

q j

∑

h=(q j + 1 )/ 2

2q _j

2q j − ( 2h − 1 ) ,

siiskasutades eeldust

q j > √

e

^,millest

1 ⩽ 2 ln q j

^{, saamevõrdusest (3.8):}

∣ V j ( α; m )∣ ⩽ 10 q ² _j

q j

h= ∑ 1

__ __ 2 h − 1 2q j

__ __

− 1

⩽ 10 q ² _j ⋅ 2

(q j + 1 )/ 2 h= ∑ 1

2q j

2h − 1

= 40 q j

(q j + 1 )/ 2

∑

h= 1

1

2 h − 1 ⩽ 40

q j ( 1 + ∫ ^{(q j +}

1 )/ 2 1

dx 2 x − 1 )

= 40 q j ( 1 + 1

2 ln q j ) ⩽ 100 ln q j

q j

.

(3.9)

3.1.3

V _j (α; m)

^{hinnang paaris}

q _j

^korral

Olgu

q j

^{paaris ja}

β

^{nagu osas 3.1.2. Kui}

2k ≡ / q j ( mod 2q j )

^{, siis lemma 3.4põhjal}

2q j ∤ ( 2p j k + q j )

^ja

δ p j ,q j ( k ) = __ __ 2p j k + q j

2q j

__ __ ⩾ 1 2q j

.

Järelikultonpaaris

q j

^{korralvõimalikarutledasarnaseltosaga3.1.2,väljaarvatud}

juhul, kui

2k ≡ q j ( mod 2q j )

^{. Seega}

∣ V j ( α; m )∣ ⩽ ∣ V _j ^′ ( α; m )∣ + 100 ln q j

q j

,

^(3.10)

kus

V _j ^′ ( α; m ) = ∑

q j < 4 k⩽q j+1

2 k≡q j ( mod 2 q j )

− e ( αkN )

4k ² − 1 U ( kα; m ) .

^(3.11)

Kui

2k ≡ q j ( mod 2q j )

^{,siis võime kirjutada}

2k = ( 2t + 1 ) q j

^,

t ∈ Z

^ja

U ( kα; m ) = ∑ ^m

n= 1

e (( kα + 1

2 ) n ) = ∑ ^m

n= 1

e ( k ( β + p j

q j ) n + n 2 ) = ∑ ^m

n= 1

e ( βkn ) e ( nk p j

q j ) e ( n 2 )

= ∑ ^m

n= 1

e ( βkn )( − 1 ) ⁿ ( cos ( 2πnk p j

q j ) + i sin ( 2πnk p j

q j ))

= ∑ ^m

n= 1

e ( βkn )(− 1 ) ⁿ ( cos ( πnp j ( 2 t + 1 )) + i sin ( πnp j ( 2 t + 1 )))

= ∑ ^m

n= 1

e ( βkn )(− 1 ) ⁿ (− 1 ) ^{np j ( 2 t+ 1 )} = ∑ ^m

n= 1

e ( βkn ) ,

sest

p j ( 2t + 1 )

^{on paaritu.Kasutades lemmat 3.2, saame,et}

∣ U ( kα; m )∣ ⩽ min ( m, 1

2 _ βk _) = min ( m, 1

2k ∣ β ∣) ⩽ min ( m, 4q _j+ 1 ) ⩽ 4 min ( m, q _j+ 1 ) ,

sest

1 2k < 2

q j

ja lemma 1.7põhjal

1

∣ β ∣ < 2q j q _j+ 1

^.

Analoogiliseltlemmaga3.3 onsumma jaoksüle

k

^{võimaliktuletadahinnang}

∑

q j < 4 k⩽q j +1

2 k≡q j ( mod 2 q j )

1

4 k ² − 1 ⩽ 10 q _j ² ,

seega

∣ V _j ^′ ( α; m )∣ ⩽ ∑

q j < 4 k⩽q j+1

2k≡q j ( mod 2q _j )

4 min ( m, q _j+ 1 )

4k ² − 1 ⩽ 40 min ( m, q _j+ 1 )

q _j ² .

^(3.12)

Kokkuvõttes

∣ V j ( α; m )∣ ⩽ 40 min ( m, q _j+ 1 )

q _j ² + 100 ln q j

q j

.

^(3.13)

Juhul,kui

2q j > q j+ 1

^{, siispeaksid korraga kehtima}

q j

2 < 2k < q j , 2k ≡ q j ( mod 2q j ) ,

misonvõimatu,seegasummas

V _j ^′ ( α; m )

^poleühtegiliidetavat,javiimasevõrratuse paremalpoolesimene liigeonüleliigne.

3.1.4 Tõestuse lõpuosa

Olgu

K ∶= ^j

0 − 1

∑ j= 0

K j ( α ) = ∑

4 k⩽q j0

__ _ kα + ¹ 2 __ _

− 1

8k ² − 2

(

j 0

^{määratileheküljel 19). Kasutame valemit (3.7),et hinnata}

V ( α; m )

^alamsum-

masid

V j ( α; m )

^{, kui}

j < j 0

^{ning valemeid (3.9) ja (3.13), et hinnata summasid}

V j ( α; m )

^,kui

j ⩾ j 0

^ja

q j

^{onvastavaltpaarituvõipaaris.Olgu}

I α ( M )

^selliste

j ⩾ j 0

hulk, millekorral

q j

^{onpaaris ning rahuldabvõrratusi}

q j ⩽ M

^ja

2q j ⩽ q j+ 1

^.Siis

∣ V ( α; m )∣ = ∣∑

j

V j ( α; m )∣ ⩽ K + 100 ∑

j⩾j 0

ln q j

q _j + ∑

j∈I α (M)

40

q _j ² min ( m, q _j+ 1 ) .

Näitame, et

ln x < √

x

^iga

x > 0

^{korral. Olgu}

f 1 ∶ ( 0, ∞) → R

^{selline, et}

f 1 ( x ) ∶ =

√ x − ln x

^.Kuna

f 1 ^′ ( x ) = 1 2 √

x − 1 x =

√ x − 2

2x ,

siis

f 1

^{on kahanev, kui}

0 < x ⩽ 4

^{ja kasvav, kui}

x ⩾ 4

^{. Paneme tähele, et ekstree-}

mumkohas

f 1 ( 4 ) = √

4 − ln 4 = 2 ln e

2 > 0

^{, järelikult}

f 1 ( x ) = √

x − ln x > 0 ∀ x > 0,

nagu soovitud. Kuna

q j ⩾ 2 ^{2 j − 1}

^{, kui}

j ⩾ 1

^{, ja}

ln q j < √ q j

^siis

j⩾j ∑ 0

ln q _j q j

< ∑ ^∞

j= 1

√ 1 q j

⩽ ∑ ^∞

j= 1

√ 2 2 ^{j 4} =

√ 2

√ 4

2 − 1 .

Tähistame

c 1 ∶= 100 √ 2

√ 4

2 − 1

, siis

∣ V ( α; m )∣ ⩽ K + c 1 + 2 ∑

j∈I α (M)

40

q _j ² min ( m, r j ) ,

^(3.14)

kus

r j = ⌈ q _j+ 1

2 ⌉

^{. Hindame summat}

S ( α; M, N ) ⩽ 4

π Re { g ( M ) V ( α; M ) −

M − 1 m= ∑ 1

∆g ( m ) V ( α; m )} + τ 2 .

Paneme tähele, et

f

monotoonsusetõttu

∣ Kg ( M )∣ = Kf ( N + M ) ⩽ Kf ( N ) , ∣ c 1 g ( M )∣ = c 1 f ( N + M ) ⩽ c 1 f ( N ) ,

∣ K ∆ g ( m )∣ = K ( f ( N + m ) − f ( N + m + 1 )) ⩽ Kf ( N ) ,

∣ c 1 ∆g ( m )∣ = c 1 ( f ( N + m ) − f ( N + m + 1 )) ⩽ c 1 f ( N ) ,

ja

∣ ∆g ( m )∣ = ∣ g ( m + 1 ) − g ( m )∣ = g ( m ) − g ( m + 1 ) = − ∆g ( m ) ,

∣ S ( α; M, N )∣ ⩽ 4

π ∣ g ( M ) V ( α; M ) +

M − 1 m= ∑ 1

∆g ( m ) V ( α; m )∣ + τ 2

⩽ 4

π ( g ( M )∣ V ( α; M )∣ −

M − 1 m= ∑ 1

∆g ( m )∣ V ( α; m )∣) + τ 2

⩽ 4

π ( g ( M )( K + c 1 + 2 ∑

j∈I α (M )

40

q ² _j min ( M, r j ))

−

M− 1 m= ∑ 1

∆g ( m )( K + c 1 + 2 ∑

j∈I α (M )

40

q ² _j min ( m, r j ))) + τ 2

⩽ 8

π ( g ( M ) ∑

j∈I α (M )

40

q _j ² min ( M, r j ) −

M− 1 m= ∑ 1

∆ g ( m ) ∑

j∈I α (M)

40

q _j ² min ( m, r j )) + τ 2

= 8

π ∑

j∈I α (M)

40

q _j ² ( g ( M ) min ( M, r j ) −

M− 1 m= ∑ 1

∆g ( m ) min ( m, r j )) + τ 2 .

(3.15)

Kasutades

f

monotoonsust ja Abeli teisendust (vt. lemma 1.14), kus

n ∶= M

^,

k ∶ = m

^,

v m ∶ = g ( m )

^,

s m ∶ = min ( m, r j )

^ja

u m = s m − s _m− 1 = min ( m, r j )− min ( m − 1, r j )

^,

saame

g ( M ) min ( M, r j ) −

M− 1 m= ∑ 1

∆g ( m ) min ( m, r j )

= g ( M ) min ( M, r j ) +

M− 1 m= ∑ 1

( g ( m ) − g ( m + 1 )) min ( m, r j )

= ∑ ^M

m= 1

g ( m )( min ( m, r j ) − min ( m − 1, r j )) ⩽

r j

m= ∑ 1

g ( m )

⩽ ∫ ₀ ^{r j} g ( x ) dx = ∫ ^{r j +}

1 1

f ( x + N − 1 ) dx ⩽ ∫ ₁ ^{q j+1} f ( x ) dx,

sest

min ( m, r j ) − min ( m − 1, r j ) ⩽ 1

^{. Järelikult}

∣ S ( α; M, N )∣ ⩽ 320

π ∑

j∈I α (M)

1

q _j ² ∫ ₁ ^{q j +1} f ( x ) dx + τ 2 .

^(3.16)

Kuna

∑

j∈I α (M )

1

q ² _j ∫ ₁ ^{q j +1} f ( x ) dx ⩽ ∑ ^∞

j=j 0

2 ∣q j

1

q ² _j ∫ ₁ ^{q j +1} f ( x ) dx < π 320

ε 2 ,

siissaame kogu summa hinnanguks

∣ S ( α ; M, N )∣ < ε

2 + τ 2 ,

τ 2 = ( 4 π + 1

4 ) f ( N ) .

Paneme tähele, et

lim

x →∞ f ( x ) = 0

^(sest

f ∈ F

^{), seega}

∀ ε ^′ > 0 ∃ N 0 > 0 ∶ N > N 0 ⇒ ∣ f ( N )∣ < ε ^′ .

Võtame

ε ^′ ∶= ε

2 ( π ⁴ + ¹ 4 )

^Siis

M > N > N 0

^korral

∣ S ( α; M, N )∣ < ε 2 + ε

2 = ε.

Sellegaoleme näidanud, etrida

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ f ( n )∣ sin ( nπα )∣

^koondub.

Sellespeatükisjäreldameteoreemist3.6rea

∑ ∞ n= 1

( − 1 ) ⁿ ∣ sin n ∣

n

koonduvuse.Tõestuses kasutamelähismurdudeomadusi(vtlemma1.7)jaMahleripooltleitudhinnangut

π

irratsionaalsusmõõdule.

Märkus 4.1. Seniparimüleminetõkearvu

π

irratsionaalsusmõõduleon7,6063..., milleonandnud Salikhovaastal2008 [8℄.Kunaarv

π

^ontranstsendentne,ontema irratsionaalsusmõõtkindlasti suuremkui 2või võrdne sellega (vt. irratsionaalsus-

mõõdu denitsioonile järgnevmärkus 1.9), kuid vähimat ülemisttõketei ole seni

suudetud leida.

Järeldus 4.2. Rida

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ ∣ sin n ∣

n

^koondub.

Tõestus. Rakendameteoreemi3.6juhule,kus

α = 1

π

^ja

f ( x ) = 1

x

^{.Vajaonnäidata,}

etrida

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1

q _n ² ∫ ₁ ^{q n+1} 1 x dx

koondub. Mahler on tõestanud aastal 1953 (vt. [6℄), et suvaliste täisarvude

p, q

^,

kus

q ⩾ 2

^{, korral kehtib}

∣ π − p q ∣ ⩾ 1

q ⁴² .

Olgu

( p n / q n ) ^∞ n= 0

^arvu

1

π

lähismurdude jada. Arendame

1

π

ahelmurruks,saame

a 0 = [ 1

π ] = 0, r 1 = 1

1

π − 0 = π, a 1 = [ r 1 ] = 3, r 2 = 1

π − 3 , a 2 = [ r 2 ] = 7, . . .

seega lähismurrudavalduvaddenitsiooni 1.6kohaselt kujul

p n

q n

= 0 + 1

3 + _{7 +} ^{1 1}

... + ¹

an−1

p 0

q 0

= 0, p 1

q 1

= 1 3 , p 2

q 2

= 7 22 , p 3

q 3

= 106 333 , . . .

Paneme tähele, et

∣ π ¹ − ^p _q ⁿ _n ∣

∣ π − _p ^{q n} _n ∣ = ∣ ( q n − πp n ) p n

πq n ( πp n − q n )∣ = ∣ p n

πq n ∣ = p n

πq n

.

Kuna lähismurdude korral kehtibomadus

p 0

q 0

< p 2

q 2

< . . . < 1

π < . . . < p 3

q 3

< p 1

q 1

,

siis

n ⩾ 1

^korral

p n

πq n

⩾ p 2

πq 2

= 7 22π .

Tänueelnevalt mainitud

π

^omadusele,teadmisele, et

p n ⩽ q n

^{ja lemmale1.7}

1 q n q n+ 1

> ∣ 1 π − p n

q n ∣ > 7

22π ∣ π − q n

p n ∣ ⩾ 7

22πp ⁴² _n ⩾ 7 22πq _n ⁴² ,

mistõttu

q n+ 1 ⩽ 22π

7 q _n ⁴¹

^{. Siis}

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1

q _n ² ∫ ₁ ^{q n+1} 1

x dx = ∑ ^∞

n= 1 2 ∣q n

1

q ² _n ln ∣ x ∣∣ ^{q n +1}

1 = ∑ ^∞

n= 1 2 ∣q n

ln q n+ 1

q _n ² ⩽ ∑ ^∞

n= 1 2 ∣q n

ln ( ²² 7 ^π q _n ⁴¹ ) q _n ²

= ∑ ^∞

n= 1 2 ∣q n

ln ²² ₇ ^π + 41 ln q n

q ² _n < ln 22π 7

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1 q ² _n + 41

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1 q n

,

sest

ln q n ⩽ q n − 1 < q n

^{. Hindame antud ridade liikmeid, kasutades} lähismurdude omadust(vt. lemma1.7)

q n ⩾ 2 ^{n 2 − 1} ⇒ 1 q n

⩽ 2 ^{1 − n 2} ⇒ 1

q _n ² ⩽ 2 ^{2 −n} .

Rakendame d'Alembert'i tunnust ridadele

∑ ∞ n= 1

2 ^{2 −n}

^ja

∑ ∞ n= 1

2 ^{1 − n 2}

^{, saame}

n→∞ lim ∣ 2 ^{2 −(n+ 1 )} 2 ^{2 −n} ∣ = 1

2 < 1

ja

n→∞ lim ∣ 2 ^{1 − n +1 2} 2 ^{1 − n 2} ∣ = 1

√ 2 < 1,

Ridade võrdluslause põhjalkoonduvad ka read

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1 q n

ja

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1 q _n ²

^.

Kokkuvõttesolemenäidanud,et

∑ ∞ n= 1 2 ∣q n

1

q _n ² ∫ ₁ ^{q n +1} 1

x dx

^{koondub,seegakoondubkarida}

∑ ∞ n= 1

(− 1 ) ⁿ ∣ sin n ∣

n .