Technische Grundlagen der Informatik Zusammenfassung

1

Technische Grundlagen der Informatik – Zusammenfassung

1. Basics

Elementarladung: ⅇ = 1,602 ⋅ 10⁻¹⁹𝐶, Permittivität: 𝜀₀= 8,854 ⋅ 10^{−12 𝐶}

𝑉𝑚

Elektrische Arbeit: 𝑊_𝑒𝑙= 𝑈 ⋅ 𝛥𝑄 = 𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝛥𝑡 = 𝑃 ⋅ 𝛥𝑡, Potentielle Energie: 𝐸_𝑝𝑜𝑡 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ Leistung, Widerstand, Spannung und Strom: 𝑃 = ^𝑤

𝛥𝑡; 𝑃 =^𝑈2

𝑅 ⇔ 𝐼²⋅ 𝑅; 𝑅 =^𝑈

𝐼; 𝑈 = ^𝑊

𝛥𝑄; 𝐼 =^𝛥𝑄

𝛥𝑡 Verlustleistungshyperbel: 𝐼 =^{𝑃𝑚𝑎𝑥}

𝑈 , Wirkungsgrad: 𝜂 =^𝑃𝑎𝑏

𝑃_𝑧𝑢

- Widerstandswerte nach E-12/E-24 Reihe:

- Mittel- und Effektivwert:

Arithmetischer Mittelwert: 𝑈̅ = 𝐺𝑙ⅇ𝑖𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡ⅇ𝑖𝑙 𝑈𝑜𝑓𝑓𝑠 Effektivwert: 𝑈_𝑒𝑓𝑓 = ^𝑈̂

√2 (𝑈_𝑒𝑓𝑓 = √𝑈̅̅̅̅), Scheitelwert (maximaler Betrag): 𝑈² ̂

[Zeichentrick: Erst Gleichanteil einzeichnen (Gleichanteil ist neue x-Achse), dann Wechselspannung einzeichnen]

- Pegelrechnung:

1.) Verhältnisse (Verstärkung/Dämpfung)

2.) Absolutwerte

2. Elektrische Netzwerke

Ideales Voltmeter: 𝑅_𝑖 → ∞ Ideales Amperemeter: 𝑅_𝑖 → 0

Kirchhoff’sche Regeln: Die Summe aller in einem beliebigen Knoten hineinfließenden Ströme ist Null.

Die Summe aller Spannungen in einer beliebigen Masche ist Null.

Leistung Spannung

𝑃₂

𝑃₁= 10 ⋅ log (𝑃₂

𝑃₁) ⅆ𝐵 𝑈₂

𝑈₁= 20 ⋅ log (𝑈₂ 𝑈₁) ⅆ𝐵

Leistung Spannung

𝑃 = 10 ⋅ log ( 𝑃

𝑚𝑊) ⅆ𝐵𝑚 𝑈 = 20 ⋅ log (𝑈

𝑉) ⅆ𝐵𝑉

2

Spannungsteiler:

𝑈₂ 𝑈₁ =𝑅₂

𝑅₁

𝐼_{𝑞𝑢𝑒𝑟}= 10 ⋅ 𝐼_{𝐿𝑎𝑠𝑡} 𝐼 = 𝐼𝑞𝑢𝑒𝑟+ 𝐼𝐿𝑎𝑠𝑡

Anpassung:

- Spannungsanpassung: Versuch einen hohen Wirkungsgrad des Energietransports bei stabiler Spannung und unabhängig von der Last zu halten

- Stromanpassung: Versuch Strom stabil und lastunabhängig zu halten

- Leistungsanpassung: es soll möglichst viel Leistung von Quelle zum Verbraucher transportiert werden können

3. Bauteile:

- Diode: Anwendung (Brückengleichrichter):

- Z-Diode:

Betrieb in Sperrrichtung (Durchbruchbereich der Z-Diode) - Transistor:

Stromverstärkung: 𝛽 =^𝐼𝐶

𝐼_𝐵, 𝛽 ≈ 100 − 600, 𝑈_𝐵𝐸 ≈ 0,7𝑉 Kollektorschaltung: Last am Emitter

Emitterschaltung: Last am Kollektor (Schalten von größeren Lasten)

- Kondensator:

Kapazität: 𝐶 =^𝑄_𝑈⇔ 𝜀0⋅ 𝜀𝑟⋅^𝐴_𝑑 Energie: 𝑤_𝑒𝑙= 𝑈 ⋅ 𝛥𝑄, 𝐸_𝑒𝑙 =¹

2⋅ 𝐶 ⋅ 𝑈² Parallelschaltung: 𝐶_𝑔𝑒𝑠= 𝐶₁+ 𝐶₂+ ⋯ Reihenschaltung: 𝐶_𝑔𝑒𝑠= (¹

𝐶₁+ ¹

𝐶₂+ ⋯ )⁻¹

3 - Entladung:

𝜏 = 𝑅 ⋅ 𝐶

𝑈_𝐶 = 𝑈_𝑄⋅ ⅇ^{−𝛥𝑡𝜏} ⇒ 𝜏 = − 𝛥𝑡 ln (𝑈_𝐶

𝑈_𝑄)

=> Zeitpunkt, an dem 𝑈𝐶 = 0,37 ⋅ 𝑈𝑄 (Tangente an Entladekurve)

Anwendung: Siebkondensator, Glättungskondensator, Datenspeicherung uvm.

4. Magnetfelder, Induktivität und Transformator:

- Magnetfeld:

Magnetfeldlinien außerhalb Magnet: Nord -> Süd, Innerhalb Magnet: Süd -> Nord - Selbstinduktion einer Spule:

Nach dem Einschalten => Stromfluss => Magnetfeldänderung => Spannung, welche der angelegten Spannung entgegenwirkt wird induziert (Lenz’sche Regel) => Verzögerung des Einschaltvorgangs

 Spule ist bestrebt Strom konstant zu halten

- Transformator:

- Wechselspannung an Primärspule => Stromfluss => Magnetfeld- änderung (Änderung des magn. Flusses 𝛷) im Weicheisenkern und der Sekundärspule => Spannung in Sekundärspule wird induziert

Weicheisenkern verstärkt magn. Fluss 𝛷

Das Anlegen von Gleichspannung funktioniert nur kurzweilig, bis sich 𝛷 nicht mehr ändert =>

verursacht Kurzschluss!

𝑈₁

𝑈₂= 𝑈̈ =^𝑁1

𝑁₂, N=Windungszahl, Ü=Übersetzungsverhältnis

𝐼₂

𝐼₁= 𝑈̈ =^𝑁1

𝑁₂, Annahme idealer Transformator (𝑃₁= 𝑃₂) - Wirkungsgrad realer Transformator: 𝜂 = 80 − 90%

- Galvanische Trennung: Primär- und Sekundärstromkreis sind voneinander (galvanisch) getrennt (Geräte mit berührbaren Teilen werden von Netzspannung getrennt) => Sicherheitsrelevant!

4

5. Signale und Systeme im Zeitbereich

- Signal: 𝑥(𝑎 ⋅ (𝑡 − 𝑡₀)) => um 𝑎 gestaucht, um 𝑡₀ nach rechts verschoben Bsp.: 𝑥 (−^𝑡

2+ 1𝑠) ⇒ −¹

2(𝑡 − 2𝑠) => 2 nach rechts verschoben, um Faktor 2 gestreckt und gespiegelt

- Integral von: 𝛿(𝑡) = 𝜎(𝑡) (Sprungfunktion) <=> Abtleitung von 𝜎(𝑡) = 𝛿(𝑡) - 𝛿(𝑡) hat die Fläche 1 => 𝛿 (^𝑡

2) = 2 ⋅ 𝛿 - Signal-Digitalisierung:

kontinuierlich diskret

kontinuierlich analoges Signal abgetastetes

(zeitdiskretes) Signal

diskret quantisiertes Signal digitales Signal

- Lineare, zeitinvariante (LTI-) Systeme:

Eigenschaften:

- Linearität (L): 𝑥₁(𝑡) → 𝑦₁(𝑡) ∧ 𝑥₂(𝑡) → 𝑦₂(𝑡) ⇔ 𝑥₁(𝑡) + 𝑥₂(𝑡) → 𝑦₁(𝑡) + 𝑦₂(𝑡) (Summe Eingangssignale -> Summe Ausgangssignale)

- Zeitinvarianz (TI): 𝑥(𝑡) → 𝑦(𝑡) ⇔ 𝑥(𝑡 − 𝑡₀) → 𝑦(𝑡 − 𝑡₀) (System verhält sich zu jedem Zeitpunkt gleich)

Anwendung: USB- /LAN-Leitungen, RC-Glied etc.

- Faltung:

Bsp.: 𝛿 ∗ ℎ(𝑡) = ℎ(𝑡) (∗ = Faltungsoperator) Eigenschaften:

- Kommutativität: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) ⇔ ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)

- Assoziativität: 𝑦(𝑡) = {𝑥(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡)} ∗ ℎ₂(𝑡) ⇔ 𝑥(𝑡)^∗{ℎ₁(𝑡) ∗ ℎ₂(𝑡)}

- Distributivität: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ₁(𝑡) + 𝑥(𝑡) ∗ ℎ₂(𝑡) ⇔ 𝑥(𝑡)^∗{ℎ₁(𝑡) + ℎ₂(𝑡)}

6. Signale und Systeme im Frequenzbereich

- Zeitkontinuierliches Signal als komplexe Schwingung (dargestellt am Einheitskreis):

𝑥̃ = ⅇ^{𝑗⋅2𝜋⋅𝑓0⋅𝑡}⇔ 𝑥̃ = cos(2𝜋𝑓₀𝑡) + 𝑗 ⋅ sin(2𝜋𝑓₀𝑡)

Realteil: Re{𝑥̃(𝑡)} = 𝐴 ⋅ cos(2𝜋𝑓₀𝑡), Imaginärteil: Im{𝑥̃(𝑡)} = 𝐴 ⋅ sin(2𝜋𝑓₀𝑡) Bsp.: Dreht 𝑥̃ im Uhrzeigersinn? => Im{𝑥̃(𝑡)} = 𝐴 ⋅ −sin(2𝜋𝑓₀𝑡)

cos = gerader Anteil, sin = ungerader Anteil - Fourierreihe:

𝑎₀= Gleichanteil (Mittelwert), 𝑎_𝑘= Gewichtung des cos-Anteils

𝑏_𝑘= Gewichtung des sin-Anteils (𝑎_𝑘∧ 𝑏_𝑘 gewichten Vielfache der Grundfrequenz) Bsp.: 𝑎₁⋅ cos(… ) + 𝑏₁⋅ sin(… ) => 1. Harmonische (Grundwelle)

𝑎₂⋅ cos(… ) + 𝑏₂⋅ sin(… ) => 2. Harmonische (1. Oberwelle)

Abtastung

Quantisierung

5 - Symmetrieeigenschaften (FR):

Achsensymmetrie: 𝑥̃(𝑡) = 𝑥̃(−𝑡), nur Gleichanteil 𝑎₀ und cos-Schwingungen 𝑎_𝑘⋅ cos(… ), 𝑏𝑘= 0 für k = 1,2,3,…

Punktsymmetrie: 𝑥̃(𝑡) = −𝑥̃(−𝑡), nur sin-Schwingungen 𝑏_𝑘⋅ sin(… ), 𝑎_𝑘 = 0 für k = 0,1,2,…

=> kein Gleichanteil

Halbwellensymmetrie: 𝑥̃(𝑡) = −𝑥̃ (𝑡 +^𝑇0

2), Es existieren nur ungerade Harmonische (k = 1,3,5,…) => 𝑎_𝑘∧ 𝑏_𝑘 = 0 für k = 0,2,4,… => kein Gleichanteil

𝑎_𝑘∧ 𝑏_𝑘 als komplexer Koeffizient 𝑥_𝑘: 𝑥₀= Gleichanteil = 𝑎₀, 𝑎_𝑘=2 ⋅ Re{𝑥_𝑘}, 𝑏_𝑘=2 ⋅ Im{𝑥_𝑘} 𝑥_𝑘 =^{𝑎𝑘−𝑗⋅𝑏𝑘}

2 für k ≥ 1, 𝑥_𝑘 =^{𝑎𝑘+𝑗⋅𝑏𝑘}

2 für k ≤ 1 Spektrum einer Rechteckimpulsfolge:

𝑥_𝑘 = 𝑠𝑖 (𝑘 ⋅^𝜋

2), 𝑠𝑖(𝑥) =^sin(𝑥)

𝑥 , 𝑠𝑖(0) = 1 (𝑠𝑖(𝑥) = Spaltfunktion) Spektrum: 𝛿(𝑡) = 1

Das Spektrum wird breiter, je kürzer das Signal ist!

- Zuordnungssatz:

Zeitbereich 𝑥(𝑡) Frequenzbereich 𝑋(𝑓)

reell & gerade reell & gerade

imaginär & gerade imaginär & gerade reell & ungerade imaginär & ungerade imaginär & ungerade reell & ungerade

Zeitbereich 𝑥(𝑡) Frequenzbereich 𝑋(𝑓)

𝑥₁(𝑡) ∗ 𝑥₂(𝑡) 𝑥₁(𝑓) ⋅ 𝑥₂(𝑓) 𝑥₁(𝑡) ⋅ 𝑥₂(𝑡) 𝑥₁(𝑓) ∗ 𝑥₂(𝑓)

- Sprachsignal Analyse:

Frikative: <s, f, ch, schn> => Rauschen, ohne ausgeprägte Frequenzanteile

Vokale: <a, e, i , o, u> => periodeisches Signal => Linienspekrum (äquidistante Peaks = Vielfache der Grundwelle)

Tonhöhe: Grundfrequenz Grundfrequenz Mann: 50-150Hz Grundfrequenz Frau: 150-300Hz