Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 2004/05 Teil Systemanalyse
Dieter Imboden
¨Ubung 4, vom 10.01.2005 R ¨uckgabe am 17.01.2005
Aufgabe 1 – L¨osung: Lotka-Volterra-Modell: Fixpunkte und Stabilit¨at.
(a) Lotka-Volterra-Modell:Die Jakobi-Matrix ausgewertet am nichttrivialen Fixpunkt
"! ! #
$ ! %&$')(
)*
!
* ( (1)
besitzt die rein imagin¨aren Eigenwerte+ -,/.10 . Der Fixpunkt ist deshalb ein Zentrum.
(b) Lotka-Volterra-Modell mit Selbstwechselwirkung:Die Jakobi-Matrix ausgewertet am nicht- trivialen Fixpunkt 2"3 4! 657 8
"! !:9 65;' ! #
!
%&
(
=<
!2>@?6>@A
>B
!
!C>?6>A
> B * D
(2)
bestitzt mit E F 5 die Eigenwerte+ ! E 9 ,3G E
IH ! "!
E
. F ¨urE
J
H K!
E
sind diese komplexwertig mit einem negativen Realteil. Der Fixpunkt entspricht damit einem stabilen Station¨arzustand mit Oszillation. F ¨urE
ML
H !
E
ON
* sind beide Eigenwerte reell und negativ. Der Fixpunkt entspricht somit einem stabilen Stern. F ¨ur H P! E RQ * , also
S!
E Q * sind beide Eigenwerte reell und einer davon immer negativ, w¨ahrend der andere positiv oder null ist.
Aufgabe 2 – L¨osung:Populationen konkurrierender Arten (a) Bilanzgleichungen f ¨urT undU :
V T
VXW
Y4[Z ! T T
!]\
T ^_U
V U
VXW
`O[Z ! U U
!:a
T ^_U
(b) Verhalten an den Punkten A, B, C und D im Zustandsraum:
(c) Die Bilanzgleichungen haben 4 Fixpunkte:
(c.1) T * , U * (c.2) T bZ , U *
(c.3) T * , U bZ (c.4)
T 5 `a
[Z ! U
5
" 9 cd
U
5 Z !feg
hi ! eg 9 c
(d) Der einzige Fixpunkt mit T jN * und U kN * ist T 5 , U 5 #)9 c , 9 c . Informationen
¨uber das Verhalten des Systems in der N¨ahe des Fixpunktes kann mit Hilfe der Jacobi-Matrix gewonnen werden. Die Jakobimatrix ist
Y !:9 Y T
!]\
U
!l\
T
!ma
U ` !]9 ` U
!na
T
(po
Fixpunkt T 5 U 5 39 cd 9 c
Jakobi MatrixqrXs
t
!u9 c ! Zc
! Zc !m9 c (
Eigenwerteqrs
8t +
%:H1c
+
%vZc
*
+
O
! Z
,+ S ! Zc
Beide Eigenwerte sind reell und negativ
Charakterisierung Stabiler Stern
w In der unmittelbaren Umgebung des Fixpunktes bewegt sich der Zustand auf den Fixpunkt zu.
