10. Übungsblatt. Lösungen 13.01.2005

Übungen zur Physik I (Mechanik) WS 04/05

10. Übungsblatt. Lösungen 13.01.2005

Bearbeitung bis Mi. 19.01.2005

1/3

1) Zum Aufwärmen (2)

Verwende die Formel zur Energie-Massen-Äquivalenz:

c

2

m t P

E = ⋅ = ⋅

Gegeben sind:

P = 1 , 2 GW = 1 , 2 ⋅ 10

⁶

kW , m = 1kg h

kW 10 2,5 J 10 9 kg

1 ⋅ c

²

≈ ⋅

¹⁶

= ⋅

¹⁰

a 2,4 d 868 h 20833 kW

10 2 , 1

h kW 10 5 ,

ˆ 2

₆

10

2

= = ≈

⋅

= ⋅

= ⋅

⇒ P

c t m

2) Galilei- und Lorentz-Transformation (2+3)

Zwei Inertialsysteme S und S′ bewegen sich mit der Geschwindigkeit 3 v_x = c gegeneinander. Ein Körper A bewegt sich im System S mit der Geschwindigkeit

c u 













= 0

1 , 0

5 , r 0

.

a) Die Galilei-Transformation:

6 3 2

c c v c

u

u′_x = _x− _x = − =

t t u u u

u′_y = _y , _z′ = _z , ′=

c u 













′= 0

10 1 6 1

r

b) Die Lorentz-Transformation:

8 3 9 1 1

1 1 9

1 1

1

2 2 2

2

=

−

=

− ⋅

=

−

=

c c c

v

γ

 

 



 + ′

⋅

 ⋅



 



 −

⋅

′ =

′ ⋅

′ ′ =

′ = 1

₂

c v v u

dt dx t

d dt dt

x d t d

x

u

_x

d

γ γ ^{x ,}

auflösen nach

u′

_x und einsetzen von ₂

2

2

1

1

c

− v

γ

=

2

2

1

;

1 c

v u

v u u

c v u

v u u

x x x x

x

x

+ ′

′ +

=

−

= −

′

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2/3

und analog



 



 ′

+

⋅

= ′



 

 −

⋅

′ =

2

2 1

;

1 c

v u u u

c v u u u

x y y

x y

y γ γ



 



 ′

+

⋅

= ′



 

 −

⋅

′ =

2

2 1

;

1 c

v u u u

c v u u u

x z z

x z z

γ γ

also ergibt sich:

5 6 1 1

6 3 1 2

3 2

2

c c

c c c

c c

u_x =

= −

− ⋅

= −

′

c c c

c c c c

u

_y

0 , 113

25 8 10 5 3

6 8 3

1 2 8 3

10

2

≈

⋅ =

⋅

⋅

= ⋅



 







 



 ⋅

−

⋅

′ =

= 0

′

z

u

c u 













′=

⇒

0 113 , 0

2 , 0

Wie groß ist der Fehler bei Verwendung der Galileitransformation gegenüber der Lorentztransformation?

% 7 , 2 16 , 0

6 2 1 ,

0 − ≈

′ =

= ∆

′

′ −

x x x

x x

u u u

u

u 11 , 5 % ;

113 , 0

1 , 0 113 ,

; = 0 − ≈

′

∆

y y

u

u = 0

′

∆

z z

u u

3) Längenkontraktion (Lorentz-Transformation) (3)

Ein Maßstab der (Ruhe-)Länge l bewegt sich gegenüber einem Beobachter mit der Geschwindigkeit

v

. Der Beobachter misst die Länge des Stabes mit l

3

2 . Wie groß ist

v

? Die Stablänge, die der Beobachter misst ist

x

2

′ − x

1

′ =

γ

⋅ ( x

2

− x

1

− v ( t

2

− t

1

) )

^.

Gleichzeitigkeit des Ablesens für den Beobachter bedeutet

( )

2 1 2

(

2 1

)

! 1 2 2

1 2 1

2

0 x x

c t v t x

c x t v t t

t   = ⇒ − = −

   −



 



− 

−

⋅

′ =

′ −

γ

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3/3

Mit

l ′ = x

₂

′ − x

₁

′

und

l = x

₂

− x

₁ ^folgt

l l

l 3

= 2

′ =

γ (Messwert des Beobachters!) Für die Geschwindigkeit folgt daraus

v c c 0 , 745 c

3 5 9

1 − 4 = ≈

⋅

=