Berechnung von Berechnung von
Flächen, die von den Flächen, die von den
Graphen zweier Graphen zweier
Funktionen Funktionen
eingeschlossen werden
eingeschlossen werden
Der einfachste Fall-1
• Gegeben seien die Funktionen f(x)=x²+1 und g(x)=x+7
• Gesucht ist die Fläche, die von den Graphen der Funktionen
eingeschlossen wird.
• Berechne die Fläche nach dem Algorithmus LB S. 120 f.
7 x 1 x
) x ( g ) x ( f
2 + = +
=
1. Berechnung der Schnittpunkte
1. Berechnung der Schnittpunkte 2.2. Berechnung des bestimmten Integrals über die Berechnung des bestimmten Integrals über die Differenzfunktion
Differenzfunktion
(
f(x) g(x))
dx(
x 1(
x 7) )
dx 3(
x2 x 6)
dx3 3
2 + − + = − −
=
−
∫
∫ ∫
• Gegeben sind die Funktionen f(x)=x²-4 und g(x)=x+2.
• Gesucht ist die Fläche, die von den Graphen der Funktionen eingeschlossen wird.
• Wie lässt sich diese Fläche berechnen ?
Der kompliziertere Fall-2 ?
Lässt sich diese
Lässt sich diese neueneue Aufgabe auf die bereits gelösteAufgabe auf die bereits gelöste zurückführen ?zurückführen ?
JA JA
,,indem man beide Kurven so weit nach oben schiebt, bis die Fläche
indem man beide Kurven so weit nach oben schiebt, bis die Fläche vollvoll--
„Kurven nach oben schieben“ bedeutet:
• Addiere zu beiden Funktionsgleichungen dieselbe Konstante k.
• Ist k groß genug, dann kann man wie bereits bekannt rechnen:
k 2 x ) x ( g 2
x ) x ( g
k 4 x ) x ( f 4
x ) x ( f
k k
k 2 2 k
+ +
=
⎯
⎯ →
⎯ +
=
+
−
=
⎯
⎯ →
⎯
−
=
+ +
(f (x) g (x))dx
(
x 4 k (x 2 k))
dx(
x 4 (x 2))
dx3 2
3 2
3 2
2 k 2
∫ k ∫ ∫
− − −
+
−
−
= +
+
− +
−
=
−
Die addierte Konstante k fällt also beim Rechnen jedenfalls heraus.
Der noch kompliziertere Fall-3 ?
1. Berechne die Schnittpunkte der Funktionen
2. Die Gesamtfläche zwischen den beiden Graphen ergibt sich als Summe der Teilflächen, die
entstehen, wenn man „von links nach rechts geht“.
A = A
1+ A
2+ A
3+ A
4Die Die A A
iiberechnen sich wie bereits besprochen. berechnen sich wie bereits besprochen.
Zusammenfassung
Geg.: f(x) und g(x)
Ges.: Größe der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird
Berechne die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g Æ f(x)=g(x)
Es gibt genau genau
zwei Schnitt-
punkte
Es gibt mehrmehr als zwei Schnitt- punkte
Abszissen: x1 und x2 Abszissen: z.B. x1;x2;x3
Beispiel
Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x)=x3-11x und g(x)=2x²-12 eingeschlossen wird.
1. Berechnung der Schnittpunkte von f und g
0 12 x
11 x
2 x
12 x
2 x 11 x
) x ( g ) x ( f
2 3
2 3
= +
−
−
−
=
−
=
1 -2 -11 12
1 1 -1 -12 0
3 x
4 x
0 12 x
x
3 2 2
−
=
=
=
−
−
„Raten“: x1=1
( ) ( )
( )
( )
4 99
x 12 dx
) x ( g ) x ( f
3 160
36 18
12
x 12
dx 12 x
11 x
2 x
dx ) x ( g ) x ( f
4 2x 1
3 11 x 4 2
4 x 1
992 814
112 32
14
1 2x 3
3x 11 4 2
x
1
3
2 1 3
3
2 3
4 2 3
4
−
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ − − +
=
−
=
−
− +
− +
−
−
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ − − +
=
+
−
−
=
−
∫
∫
∫
−
−
−
2. Berechnung der Fläche
HORNER- Schema
