Flächen in Polarkoordinaten

(1)

Flächen in Polarkoordinaten

4-E1 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

(2)

““Flächeninhalt”Flächeninhalt”

(3)

Abb. L4: Die Fläche der Aufgabe

4-1

Flächen in Polarkoordinaten:

Flächen in Polarkoordinaten: Aufgabe 4 Aufgabe 4

r = 2  cos  Bestimmen Sie die Fläche A, die innerhalb der Kurve

liegt und gleichzeitig ausserhalb eines Ursprungskreises mit Radius R = 1.

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

(4)

r = 2  cos  , R = 1

A =

∫

=0 2

r

∫

=1 2cos

r dr d  =

∫

=0 2

d 

[

^r²²

]

²¹^^cos^ ⁼

Flächen in Polarkoordinaten: Lösung 4 Lösung 4

= 1

2

∫

 =0 2



^² ^ ^cos^² ⁻ ¹



^d ^{ =}

=

[

⁷⁴ ^{ } ^{2 sin} ^{ } ¹⁴ ^cos ^ ^sin ^

]

⁰²^ ⁼

= 7

2  FE

(5)

Bestimmen Sie die Fläche zwischen der Kurve r = r (φ) und der x-Achse r = 2  cos



^²



5-1 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

(6)

A =

∫

=0 2

r

∫

=0 2cos /2

r dr d  =

= 1 2

∫

φ =0 2π

(

² ⁺ ^cos

⁽

^φ²

⁾ )

² ^d ^{φ =}

= 9

2 π FE

r = 2  cos



^²



= 1 2

∫

φ =0 2π

(

⁴ ⁺ ^{8 cos}

⁽

^φ²

⁾

⁺ ^cos²

⁽

^φ²

⁾ )

^d ^{φ =}

= 1 2

∫

φ =0 2π

(

⁴ ⁺ ¹² ⁺ ^{8 cos}

⁽

^φ²

⁾

⁺ ¹² ^cos^(φ)

)

^d ^{φ =}

= 1 2

∫

φ =0 2π

(

⁹² ⁺ ^{8 cos}

⁽

^φ²

⁾

⁺ ¹² ^cos^(φ)

)

^d ^{φ =}

(7)

6-1

r₁ = 2 sin  , r₂ = 4 sin 

Bestimmen Sie die Fläche A zwischen den Kurven

(8)

A =

∫

=0



∫

r=2 sin 4 sin

r dr d  =

=

∫

 =0

 /2



^{16 sin}²^{ −} ^{4 sin}²^



^d ^{ =}

r₁ = 2 sin  , r₂ = 4 sin 

= 2

∫

 =0

 /2

r=2 sin

∫

 4 sin 

r dr d  =

= 12

∫

=0

 /2

sin²  d  =

= 3 [ ²^{ −} ^sin ^²^ ]₀^/² ⁼ ³ ^ ^FE

(9)

7-1

r₁ = 1  cos , r₂ = 2  2 cos Bestimmen Sie die Fläche A zwischen den Kurven

(10)

r₁ = 1  cos , r₂ = 2  2 cos 

A =

∫

=0 2

r=1

∫

cos 22 cos

r dr d  =

= 1

2

∫

 =0 2



^² ^ ^{2 cos}^^² ^{− }¹ ^ ^cos ^²



^d ^{ =}

= 1

2

∫

 =0 2



⁴ ^¹ ^ ^cos^² ^{− }¹ ^ ^cos ^²



^d ^{ =}

= 3

2

∫

 =0 2

1  cos² d  =

= 3

2

∫

 =0 2

1  2 cos  cos² d  =

= 9

 FE

(11)

Flächen in Polarkoordinaten Flächen in Polarkoordinaten

7-3 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya