Flächen in Polarkoordinaten

(1)

Flächen in Polarkoordinaten

(2)

81

Flächen in Polarkoordinaten:

Flächen in Polarkoordinaten: Kartesisches Blatt Kartesisches Blatt

Abb. L81: Das kartesisches Blatt (a = 2) − die Kurve der Aufgabe

(3)

Das kartesische Blatt ist eine eine algebraische Kurve, die durch die Gleichung

x³  y³ − 3a x y = 0

bestimmt wird. Die Gerade mit der Gleichung x + y + a = 0 ist die Asymptote der Kurve (in Abb. L8 rot dargestellt). Die Kurve ist sym

metrisch zur Geraden y = x und hat in Polarkoordinaten die Form Bestimmen Sie die Fläche A, die der Schleife des kartesischen Blattes entspricht (auf der Abb. die geschlossene Fläche der Kurve im ersten Qudrant).

r  = 3 a cossin  cos³   sin³ 

Flächen in Polarkoordinaten:

Flächen in Polarkoordinaten: Kartesisches Blatt Kartesisches Blatt

(4)

83

Abb. L82: Das kartesisches Blatt (a = 2). Die geschlossene Fläche der Aufgabe ist grün dargestellt

Flächen in Polarkoordinaten:

Flächen in Polarkoordinaten: Kartesisches Blatt Kartesisches Blatt

(5)

A =

∫

=0

 2

∫

r=0 3a cossin cos³  sin³

r dr d  =

∫

 =0

 2

d 

[

^r²²

]

₀^cos³^a³^cos^{ }^^sin^sin³^^ ⁼

Die Fläche des kartesischen Blattes A ist:

Flächen in Polarkoordinaten:

Flächen in Polarkoordinaten: Kartesisches Blatt Kartesisches Blatt

= 1

2

∫

 =0



2



^cos³ ^a³^cos^{ }^^sin^sin³^^



² ^d ^{ =} ⁹² ^a² =

^∫

0



2



^cos^cos³ ^{ }^^sin^sin^³ ^



² ^d ^{ =}

= 9

2 a²

∫

=0



2



^cos ^{ }^tan¹ ^^^tan³ ^



² ^d ^{ =} ⁹² ^a²^{ =}

^∫

0



2



1 ^tantan^³



² cos^d ^²  =

1 ) u = tan  , du = d 

cos² , 2 ) z = 1  u³ , dz = 3u² du

= 9

2 a²

∫

0

∞



1 ^u u³



² ^du ⁼ ⁹² ^a²

^∫

^∞₀ 1^u² ^duu ³² = 3

2 a²

∫

1

∞ dz

z ² = 3

2 a² FE