Seminarvortrag über die Seminarvortrag über die
Orientierbarkeit von Orientierbarkeit von
Flächen Flächen
vonvon
Katrin Brunnthaler Katrin Brunnthaler
Martin Pfurner Martin Pfurner
Inhalt Inhalt
Flatland – Die Vorgeschichte:
Flatland – Die Vorgeschichte:
kurze Vorstellung der Geschichte von A Squarekurze Vorstellung der Geschichte von A Square
Mysteriöse Ereignisse in Flatland:
Mysteriöse Ereignisse in Flatland:
über die Rückkehr A Squares von einer Reiseüber die Rückkehr A Squares von einer Reise
Tic Tac Toe:
Tic Tac Toe:
gespielt auf einer Klein‘schen Flächegespielt auf einer Klein‘schen Fläche
Definition von Orientierbarkeit:
Definition von Orientierbarkeit:
mit Beispielenmit Beispielen
Die Klein‘sche Fläche:
Die Klein‘sche Fläche:
im 3-dimensionalen Euklidischen Raumim 3-dimensionalen Euklidischen Raum
Die Projektive Ebene Die Projektive Ebene
Die Boy‘sche Fläche Die Boy‘sche Fläche
Quellen: The Shape Of Space, J.R. Weeks Quellen: The Shape Of Space, J.R. Weeks
Das Topologikon, J.-P. Petit Das Topologikon, J.-P. Petit
§1 Flatland – Die Vorgeschichte
§1 Flatland – Die Vorgeschichte
A Square glaubt nicht, dass Flatland eine Ebene mit einem Rand ist.
Geht mit rotem Faden in Richtung Norden, und kommt nach einiger Zeit aus Süden zurück
Alle glauben, er ist im Kreis gegangen
Um das Gegenteil zu beweisen geht er mit Um das Gegenteil zu beweisen geht er mit
einem blauen Faden Richtung Westen. Kommt einem blauen Faden Richtung Westen. Kommt
dann nach kürzerer Zeit aus Osten wieder dann nach kürzerer Zeit aus Osten wieder
zurück.
zurück.
Also kursiert die Meinung, Flatland sieht so aus:
Also kursiert die Meinung, Flatland sieht so aus:
Aber A Square bemerkte, dass er den roten Aber A Square bemerkte, dass er den roten
Faden nie überquert hat!
Faden nie überquert hat!
Außerdem war der zweite Weg wesentlich Außerdem war der zweite Weg wesentlich
kürzer als der erste.
kürzer als der erste.
Deshalb muss für A Square Flatland eine Deshalb muss für A Square Flatland eine
solche Fläche sein:
solche Fläche sein:
§2 Mysteriöse Ereignisse in
§2 Mysteriöse Ereignisse in Flatland
Flatland
A Square begibt sich abermals mit einem A Square begibt sich abermals mit einem
Freund auf eine Reise.
Freund auf eine Reise.
Als sie zurückkommen bemerken sie, dass Als sie zurückkommen bemerken sie, dass
alle Schilder in der Stadt gespiegelt sind, alle Schilder in der Stadt gespiegelt sind,
alle Menschen auf der falschen alle Menschen auf der falschen Straßenseite gehen und fahren.
Straßenseite gehen und fahren.
Die Einwohner behaupten aber, es hätte Die Einwohner behaupten aber, es hätte
sich nichts in der Stadt verändert.
sich nichts in der Stadt verändert.
Die beiden haben sich Die beiden haben sich
also auf einem also auf einem
Möbiusband fortbewegt:
Möbiusband fortbewegt:
Ein solches befindet Ein solches befindet
sich z.B. auf einer sich z.B. auf einer
Klein‘schen Fläche:
Klein‘schen Fläche:
Mehr von A Square und seiner Mehr von A Square und seiner
Geschichte rund um die Gestalt von Geschichte rund um die Gestalt von
Flatland in einem der nächsten Flatland in einem der nächsten
Vorträge!
Vorträge!
§3 Tic Tac Toe
§3 Tic Tac Toe
Nun wollen wir auf Nun wollen wir auf
der Klein‘schen der Klein‘schen
Fläche Tic Tac Toe Fläche Tic Tac Toe
spielen:
spielen:
Aufgabe:
Aufgabe: Finde Finde
heraus, was der beste heraus, was der beste
Zug für X wäre Zug für X wäre
Was passiert, wenn wir dieses Spielfeld über Was passiert, wenn wir dieses Spielfeld über
eine Ecke verlassen?
eine Ecke verlassen?
Eine Möglichkeit sich das besser vorzustellen ist Eine Möglichkeit sich das besser vorzustellen ist
die folgende:
die folgende:
Eine Fläche heißt orientierbar, wenn sie Eine Fläche heißt orientierbar, wenn sie
keinen Pfad enthält, auf dem sich die keinen Pfad enthält, auf dem sich die
Orientierung umkehrt!
Orientierung umkehrt!
Andernfalls heißt die Fläche Andernfalls heißt die Fläche
nichtorientierbar.
nichtorientierbar.
§4 Definition von Orientierbarkeit
§4 Definition von Orientierbarkeit
Bemerkungen:
Bemerkungen:
- eine orientierbare, geschlossene Fläche - eine orientierbare, geschlossene Fläche
teilt den Raum in ein Inneres und ein teilt den Raum in ein Inneres und ein
Äußeres Äußeres
- orientierbar => zweiseitige Fläche - orientierbar => zweiseitige Fläche
- nichtorientierbat => einseitige Fläche - nichtorientierbat => einseitige Fläche
- eine nicht orientierbare geschlossene - eine nicht orientierbare geschlossene
Fläche durchdringt sich im 3-dim. Raum Fläche durchdringt sich im 3-dim. Raum
selbst selbst
Beispiele zu orientierbaren Flächen:
Beispiele zu orientierbaren Flächen:
Kugel Kugel
Torus, flacher Torus Torus, flacher Torus
3-Torus 3-Torus
Ebene … Ebene …
Beispiele zu nicht orientierbaren Flächen:
Beispiele zu nicht orientierbaren Flächen:
Möbius Band Möbius Band
Klein‘sche Fläche Klein‘sche Fläche
Projektive Ebene (kommt später) … Projektive Ebene (kommt später) …
Ein Beispiel einer nicht orientierbaren 3- Ein Beispiel einer nicht orientierbaren 3-
Mannigfaltigkeit:
Mannigfaltigkeit:
Wir nehmen einen Würfel, kleben die linke Wir nehmen einen Würfel, kleben die linke
und die rechte Wand, den Boden und die und die rechte Wand, den Boden und die
Decke zusammen. Die vordere und die Decke zusammen. Die vordere und die
hintere Wand sollten spiegelbildlich hintere Wand sollten spiegelbildlich
zusammengeklebt werden (rechte Kante zusammengeklebt werden (rechte Kante
vorne mit linker Kante hinten und vorne mit linker Kante hinten und
umgekehrt).
umgekehrt).
Aufgabe:
Aufgabe:
Was siehst du, wenn du im inneren dieser Was siehst du, wenn du im inneren dieser
3-Mannigfaltigkeit stehst und durch die 3-Mannigfaltigkeit stehst und durch die
hintere Wand schaust?
hintere Wand schaust?
Es wäre z.B. ein witziges Spiel, wenn man Es wäre z.B. ein witziges Spiel, wenn man
in einer solchen Mannigfaltigkeit fangen in einer solchen Mannigfaltigkeit fangen spielen würde, und dann nicht gefangen spielen würde, und dann nicht gefangen ist, wenn man erratet, mit welcher Hand ist, wenn man erratet, mit welcher Hand man gefangen wurde…
Und so sieht Und so sieht
eine Klein‘sche eine Klein‘sche Fläche im Fläche im
3-dimensionalen 3-dimensionalen
Euklidischen Euklidischen
Raum aus:
Raum aus:
§5 Die Klein‘sche Fläche
§5 Die Klein‘sche Fläche
§6 Die Projektive Ebene
§6 Die Projektive Ebene
Ein anschauliches Modell einer Projektiven Ein anschauliches Modell einer Projektiven
Ebene ist das folgende:
Ebene ist das folgende:
Aufgaben:
Aufgaben:
1.1. Ist die Projektive Ebene orientierbar?Ist die Projektive Ebene orientierbar?
2.2. Ein Flatlander lebt am „Südpol“. Wo ist er Ein Flatlander lebt am „Südpol“. Wo ist er am weitesten von zu Hause entfernt,
am weitesten von zu Hause entfernt, wenn er immer gerade aus geht?
wenn er immer gerade aus geht?
3.3. Die Flatlander wollen 2 (bzw. 3) Die Flatlander wollen 2 (bzw. 3)
Feuerwehrhäuser bauen. Wo sollen sie Feuerwehrhäuser bauen. Wo sollen sie
gebaut werden, um die beste gebaut werden, um die beste
Flächendeckung zu erbauen Flächendeckung zu erbauen
§7 Die Boy‘sche Fläche
§7 Die Boy‘sche Fläche
Die Boy‘sche Fläche Die Boy‘sche Fläche entsteht, synthetisch entsteht, synthetisch so:so:
Ich nähe ein Stück Ich nähe ein Stück
Stoff, das nur einen, Stoff, das nur einen,
stetigen Rand besitzt, stetigen Rand besitzt,
auf ein Möbiusband:
auf ein Möbiusband:
Auf dieser Fläche befinden Auf dieser Fläche befinden
sich sehr viele Möbius sich sehr viele Möbius
Bänder:
Bänder:
Mehr dazu kann man unter:
Mehr dazu kann man unter:
http://www.hu-berlin.de/rz/mstat/avs/
http://www.hu-berlin.de/rz/mstat/avs/
