Flächen,  die  wir  beobachten

Flächen,  die  wir  beobachten

1­E2

“ “ Flächeninhalt” Flächeninhalt”

“ “ Flächeninhalt” Flächeninhalt”

1­1

Abb.  1­1:  Haus  (Fragment),  Mönckebergstraße,  Hamburg

Beispiel  1

Beispiel  1

Darstellung  der  Fläche:  

Darstellung  der  Fläche:   Beispiel  1 Beispiel  1

Abb.  1­2:  Die  gesuchte  Fläche  A

A

f  x  = e

x

4

 1, y = 0, x = 0, x = 6

A = ∫

x=0 6

∫

y=0 1e

x 4

dy dx = ∫

0

6

 ^{1  e}

 ^{dx =} [ ^{4 e}

^{ x} ]

= 2  ^{1  2 e}

 ^{= 19.9 FE}

Beispiel  1:  

Beispiel  1:   Flächeninhalt Flächeninhalt

1­3

A

Abb.  1­3:  Die  Darstellung  der  Fläche  durch  Funktionen

Beispiel  2 Beispiel  2

Abb.  2­1:  Haus  (Fragment),  Lüneburg

Beispiel  2:  

Beispiel  2:   Flächeninhalt Flächeninhalt

Abb.  2­2:  Die  Fläche  zwischen  der  Funktion  y = f (x)  und  x­Achse

f  x  = 5 − e ∣

∣

 1

2 ∣ ^{sin  2 x } ∣ ^{, y = 0, a = 3.4}

2­2

g  x  = 1

2 ∣ ^{sin  2 x } ∣

Die  gesuchte  Fläche  ist  symmetrisch  zur  y­Achse.  Deshalb  kann  die Integration  über  x  dadurch   vereinfacht   werden,   dass   nur  über  den positiven  x­Bereich  integriert  wird

∫

x=−a a

f  x  dx = 2 ∫

x=0 a

f  x  dx

Die  Funktion  f (x)  hat  zwei  Betragsterme:

f  x  = 5 − e ∣

∣

 1

2 ∣ ^{sin  2 x } ∣ ^.

x  0 : e ∣

∣

= e

x 2

Den  ersten  Betragsterm  kann  man  in  diesem  Bereich  ohne  Betragszei­

chen  schreiben

Der  zweite  Betragsterm  darf  nur  dann  ohne  Betragszeichen  geschrieben werden,  wenn  die  sin­Funktion  im  Bereich  [0, a]  positive  Funktionswer­

te  hat,  was  in  der  Tat  der  Fall  ist  (siehe  Abb. 2­2):

x ∈ [ 0, a] : ∣ ^{sin  x } ∣ ^{= sin  x }

Beispiel  2:  

Beispiel  2:   Flächeninhalt Flächeninhalt

Beispiel  2:  

Beispiel  2:   Flächeninhalt Flächeninhalt

2­4

A = ∫

x=−a a

∫

y=0 f x

dy dx = 2 ∫

x=0 a

∫

y=0 f x

dy dx = 2 ∫

0 a

f  x  dx = f  x  = 5 − e ∣

∣

 1

2 ∣ ^{sin  2 x } ∣

= 2 ∫

0

a

 ^{5 − e}

^{ 1 2 sin  x 2 }  ^{dx =}

= 2 [ ^{5 x − 2 e}

^{− cos  2 x } ]

^{= 2} [ ^{3  5 a − 2 e}

^{− cos  a 2 } ]

x ∈ [ 0, a] : f  x  = 5 − e

x

2

 1

2 sin  2 ^x 

Beispiel  3 Beispiel  3

Abb.  3­1:  Haus  (Fragment),  Lüneburg

Darstellung  der  Fläche:  

Darstellung  der  Fläche:   Beispiel  3 Beispiel  3

3­2

Abb.  3­2:  Die  gesuchte  Fläche  A

A

Beispiel  3:  

Beispiel  3:   Flächeninhalt Flächeninhalt

Abb.  3­3:  Die  Fläche  zwischen  den  Funktionen  y = f (x)  und  y = g (x)

f  x  = 5 − e ∣

∣

 1

∣ ^{sin  x } ∣ ^{, g  x  = 1 − x}

^{, a = 3.4}

Beispiel  3:  

Beispiel  3:   Flächeninhalt Flächeninhalt

3­4

f  x  = 5 − e ∣

∣

 1

2 ∣ ^{sin  2 x } ∣ ^{, g  x  = 1 −} _a ^x

x ∈ [ 0, a ] : f  x  = 5 − e

x

2

 1

2 sin  2 ^x 

A = ∫

x=−a a

∫

y=gx

f x

dy dx = 2 ∫

x=0 a

∫

y=g x f x

dy dx = 2 ∫

0 a

 f  x  − g  x  dx =

= 2 ∫

0

a

 ^{4 − e}

^{ 1 2 sin  2 x   a x}

 ^{dx =}

= 2 [ ^{4 x − 2 e}

^{− cos  2 x   3 x a}

]

=

= 2  ^{3  13 3 a − 2 e}

^{− cos  a 2 }  ^FE

Beispiel  4 Beispiel  4

Abb.  4­1:  St­Petri  Kirche,  Hamburg

Darstellung  der  Fläche:  

Darstellung  der  Fläche:   Beispiel  4 Beispiel  4

Abb.  4­2:  Die  gesuchte  Fläche  A

4­2

A

Abb.  4­3:  Integration  durch  Subtraktion  der  Fläche  unter  der  Funktion  g(x)  von  der  Dreiecksfläche 

A

f  x  = 7 − 3

2 ∣ x ∣ , g  x  = 6 − e ∣

∣

Beispiel  4:  

Beispiel  4:   Flächeninhalt Flächeninhalt

f  x  = 0 ⇔ x  0 : 7 − 3

2 x = 0 ⇒ B =  ^{14 3 , 0} 

x  0 : 7  3

2 x = 0 ⇒ A =  ^{− 14 3 , 0} 

g  x  = 0 ⇔ x  0 : 6 − e

x

2

= 0, 6 = e

x

2

, ln 6 = x 2

x = 2 ln 6 ⇒ S

=  2 ln 6, 0 , S

= −2 ln 6, 0

A = ∣ OC ∣ ⋅ ∣ OB ∣ − ∫

x=−2 ln 6 2 ln 6

∫

y=0 6 − e^∣x/2∣

dy dx = 7 ⋅ 14

3 − 2 ∫

x=0 2 ln 6

∫

y=0 6 − e ^x/2

dy dx =

= 7 ⋅ 14

3 − 2 ∫

0 2 ln 6

 ^{6 − e}

 ^{dx = 7⋅ 14}

3 − 2 [ 6 x − 2 e

x

2

]

=

= 7⋅ 14

3  20 − 24 ln 6 = 9.66 FE

4­4