Flächen zwischen zwei Kurven: Aufgaben 2024

(1)

Flächen zwischen zwei Kurven: Aufgaben 2024

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

8E

(2)

Flächen:

Flächen: Aufgaben 2024 Aufgaben 2024

Aufgabe 21:

f x = 4 sin²



⁴^x



^, ^g ^^x^{ = −}¹ ^ ¹⁵ ^sin ^⁴ ^x^

I = [ 0, 4  ] Aufgabe 22:

f x = 5 sin



^x4



^, ^g ^^x^{ =} ^{3 sin} ³ ^x ^⋅^cos ^{x ,} ^I ^{= [} ^{0, 4} ^{ ]}

Aufgabe 23:

f x = sin x⋅e ^cos ^x  2, g x = 1

5 sin 4 x − 1 a ) I = [ 0,  ] , b ) I = [ −2 , 2 ]

Aufgabe 24:

Aufgabe 20: f x = 2 sin



²^x



^ ^2, ^g ^^x^{ =} ^cos ^{x ,} ^I ⁼

[

⁻ ^² ^, ⁵²^

]

Bestimmen Sie die Fläche, die im Intervall I von den Kurven mit den Gleichungen y = f (x) und y = g (x) begrenzt werden:

f x = 4 sin²



4^x



^, ^g ^^x^{ =} 20¹ x x − 4 , I = [ 0, 4 ]

8A

(3)

Fläche der

Fläche der Aufgabe 20 Aufgabe 20

Abb. L20: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x)

f x = 2 sin



2^x



^ ^2, ^g ^^x^{ =} ^cos ^{x ,} ^I ⁼

[

⁻ ^2 , 5 2

]

81a

(4)

Fläche:

Fläche: Lösung 20 Lösung 20

f x = 2 sin



²^x



^ ^2, ^g ^^x^{ =} ^cos ^{x ,} ^I ⁼

[

⁻ ^² ^, ⁵²^

]

∫

^sin ^^{a x}^ ^dx ^{= −} ^cos^_a^{a x}^ ^, ^I₁ ⁼ ²

∫

− /2 5/2

sin



^x²



^dx ⁼ ⁴

^

²

A =

∫

− /2 5/2

 f x − g x dx =

∫

−/2 5 /2



^{2 sin}

^

^x²

^

^ ² ⁻ ^cos ^x



^dx ⁼

= 4



² ⁻ ² ^ ⁶ ^^FE

81b

(5)

f x = 4 sin²



⁴^x



^, ^g ^^x^{ =} ²⁰¹ ^x ^^x ⁻ ⁴^ ^, ^I ^{= [} ^{0, 4}^{ ]}

Fläche der

Fläche der Aufgabe 21 Aufgabe 21

82a

(6)

∫

^sin²^^{a x}^ ^dx ^{= −} ₂¹_a ^cos ^^{a x}^ ^sin ^^{a x}^{ } ₂^x ^{= −} ^sin ^₄²_a^{a x}^ ^ ^x₂

A =

∫

0 4

 f x − g xdx =

∫

0 4



^{4 sin}²

^

⁴^x

^

⁻ ²⁰^x ^^x ⁻ ⁴^



^dx ⁼

I₁ =

∫

0 4

sin²



^x⁴



^dx ⁼

[

^−sin

^

²^x

^

^ ²^x

]

⁰⁴^ ⁼ ²^

I₂ =

∫

0 4

x x − 4dx =

= 4 I₁ − 1

20 I₂ = ? FE

f x = 4 sin²



⁴^x



^, ^g ^^x^{ =} ²⁰¹ ^x ^^x ⁻ ⁴^ ^, ^I ^{= [} ^{0, 4}^{ ]}

Fläche:

Fläche: Lösung 21 Lösung 21

82b

(7)

f x = 4 sin²



⁴^x



^, ^g ^^x^{ = −}¹ ^ ¹⁵ ^sin ^⁴ ^x^ ^, ^I ^{= [} ^{0, 4} ^{ ]}

Fläche der

Fläche der Aufgabe 22 Aufgabe 22

83a

(8)

f x = 4 sin²



⁴^x



^, ^g ^^x^{ = −}¹ ^ ¹⁵ ^sin ^⁴ ^x^ ^, ^I ^{= [} ^{0, 4}^{ ]}

I₁ =

∫

0 4

sin²



^x⁴



^dx ⁼

[

^−sin

^

²^x

^

^ ²^x

]

⁰⁴^ ⁼ ²^

I₂ =

∫

0 4

sin 4 xdx = 0

A =

∫

0 4

 f x − g xdx =

∫

0 4



^{4 sin}²

^

⁴^x

^

^ ¹ ⁻ ¹⁵ ^sin ^⁴ ^x^



^dx ⁼

= 4 I₁ − 1

5 I₂  4 = 12  FE

Fläche:

Fläche: Lösung 22 Lösung 22

83b

(9)

f x = 5 sin



^x⁴



^, ^g ^^x^{ =} ^{3 sin}³ ^x ^⋅^cos ^{x ,} ^I ^{= [} ^{0, 4} ^{ ]}

Abb. L23: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x

Fläche der

Fläche der Aufgabe 23 Aufgabe 23

84a

(10)

I₁ =

∫

0 4

sin



4^x



^dx ⁼

[

^{−4 cos}

^

⁴^x

^ ]

0 4

= 8

∫

^sin³ ^x^⋅^cos ^{x dx} ⁼ ^sin₄⁴ ^x ^, ^I₂ ⁼

∫

0 4

sin³ x ⋅cos x dx = 0

A =

∫

0 4

 f x − g x dx =

∫

0 4



^{5 sin}

^

⁴^x

^

⁻ ^{3 sin}³ ^x^⋅^cos ^x



^dx ⁼

= 5 I₁ − 3 I₂ = 40 FE

Fläche:

Fläche: Lösung 23 Lösung 23

84b

(11)

f x = sin x⋅e ^cos ^x  2, g x = 1

5 sin4 x − 1, I = [0,  ]

Abb. L24a: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x)

Fläche der

Fläche der Aufgabe 24a Aufgabe 24a

85a

(12)

f x = sin x⋅e ^cos ^x  2, g x = 1

5 sin 4 x − 1, I = [0,  ]

∫

^sin ^x^⋅ê ^cos ^x ^dx ^{= −}ê ^cos ^x ^, Î₁ ⁼

∫

0



sin x⋅e ^cos^x dx = e − 1 e

I₂ =

∫

0



sin 4 xdx = 0

A =

∫

0



 f x − g x dx =

∫

0





^sin ^{x e} ^cos ^x ^ ² ⁻ ¹5 sin 4 x  1



^dx ⁼

= I₁ − 1

5 I₂  3 x∣₀^ =



^e ⁻ ¹^e ^ ³^



^FE

Fläche:

Fläche: Lösung 24a Lösung 24a

85b

(13)

f x = sin x ⋅e ^cos ^x  2, g x = 1

5 sin 4 x − 1, I = [ −2 , 2 ]

Abb. L24b: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x)

Fläche der

Fläche der Aufgabe 24b Aufgabe 24b

86a

(14)

f x = sin x⋅e ^cos^x  2, g x = 1

5 sin 4 x − 1, I = [ −2 , 2 ]

∫

^sin ^x ^⋅ê ^cos ^x ^dx ^{= −}ê ^cos^x ^, Î₁ ⁼

∫

−2 2

sin x ⋅e ^cos ^x dx = 0

I₂ =

∫

0 4

sin 4 xdx = 0

A =

∫

−2 2

 f x − g x dx =

∫

−2 2



^sin ^{x e}^cos ^x ^ ² ⁻ ¹⁵ ^sin ^⁴ ^x^{ } ¹



^dx ⁼

= I₁ − 1

5 I₂  3 x ∣₋₂²^_ = 12 FE

Fläche:

Fläche: Lösung 24b Lösung 24b

86b

Flächen zwischen zwei Kurven: Aufgaben 20­24