24. Vom Zwei- zum Eink¨ orperproblem

Institut f¨ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨at zu K¨oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

7. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Dienstag, 5. Juni 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

23. Wasserstoffatom

4+6+10=20 Punkte

Wie aus der Vorlesung bekannt, wird das Wasserstoffatom durch die Quantenzahlenn,`und m charakterisiert. Die zugeh¨origen orthonormalen Eigenzust¨ande seien durch |n, `, mi bezeichnet.

Betrachten Sie im Folgenden ein Wasserstoffatom im Zustand

|ψi=N(|1,0,0i+ 3|4,1,0i −i|4,1,−1i+ 4|5,2,1i).

a) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird

i) bei einer Energiemessung die Grundzustandsenergie

ii) bei einer Messung des Betragsquadrats des Drehimpulses 2~² iii) bei einer Messung der z-Komponente des Drehimpulses ~ gemessen?

c) Betrachten Sie nun ein Wasserstoffatom im Grundzustand. Die entsprechende Wellenfunk- tion lautet

φ_1,0,0(r, ϑ, ϕ) = s 1

πr³₀e^−r/r0.

Bestimmen Sie die Erwartungswerte hri und hr²i sowie das Schwankungsquadrat ∆r² als Vielfache vom Bohrschen Radius r₀ bzw.r₀².

Hinweis: F¨urn∈Ngilt: R∞

0 xⁿe^−x dx=n! = 1·2· · ·(n−1)·n.

24. Vom Zwei- zum Eink¨ orperproblem

Pr¨asenz¨ubung Ein wasserstoff¨ahnliches Atom besteht aus einem Elektron der Massem_ein Wechselwirkung mit einem Kern der Massem_nund LadungZe. Der Hamilton-Operator dieses Zweiteilchen-Systems lautet

Hˆ = ~p_e² 2me

+ p~_n² 2mn

− Ze²

4π0|~re−~rn|, (1) wobei~p_e bzw.p~_n den Impuls vom Elektron bzw. dem Kern und~r_e bzw.~r_n den Ort der entspre- chenden Teilchen bezeichnet. Um das Zweiteilchen- auf ein Einteilchenproblem zu reduzieren, f¨uhren wir die SchwerpunktskoordinatenP~ =~pe+~pn und R~ = (me~re+mn~rn)/(me+mn) sowie die Relativkoordinaten~r =~r_e−~r_n und ~p= (m_n~p_e−m_e~p_n)/(m_e+m_n) ein.

a) Zeigen Sie, dass die Komponenten der Schwerpunkts- und Relativkoordinaten die Vertau- schungsrelationen

[ ˆRa,Pˆb] = [ˆra,pˆb] =i~δab und [ ˆRa,pˆb] = [ˆra,Pˆb] = 0 f¨ur a, b∈ {x, y, z} (2) erf¨ullen.

b) Zeigen Sie, dass der Hamilton-Operator aus Gleichung (1) in den neuen Koordinaten die Form

Hˆ = ~p² 2µ+ P~²

2M − Ze²

4π₀|~r| (3)

annimmt, wobei M =me+mn die Gesamtmasse und µ= memn/M die reduzierte Masse ist.

c) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen von Gleichung (3) von der Produktform U(~r, ~R) =u(~r)φ(R) sind, wobei~ φ(R) die freie Bewegung des Schwerpunktes beschreibt und~ u(~r) die in der Vorlesung behandelte Einteilchen-Schr¨odingergleichung l¨ost.

25. Radialsymmetrisches Potential

10+10=20 Punkte a) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einem beliebigen radialsymmetrischem Potential

V(~r) =V(r). Wir suchen station¨are L¨osungen mit dem Ansatz u(~r) = 1

rχ_{`</sub>(r)Y<sub>`m}(ϑ, ϕ),

wobeiY<sub>`m</sub>(ϑ, ϕ) Kugelfl¨achenfunktionen sind, also die Eigenfunktionen zum Drehimpulsope- ratorL~<sup>2</sup><sub>op</sub> zum Eigenwert ~<sup>2</sup>`(`+ 1). Leiten Sie die aus der Vorlesung bekannte Schr¨odinger- gleichung

−~²

2mχ⁰⁰_{`</sub>(r) +V<sub>eff</sub>(r)χ<sub>`}(r) =Eχ<sub>`</sub>(r) (4) f¨urχ` her, wobei

V_eff(r) =~²`(`+ 1)

2mr² +V(r).

Hinweis: Verwenden Sie den Impuls-Operator in Kugelkoordinaten:~p_op² =−~^{2 1}_r ^∂

2

∂r²r+^L~

2op

r² . b) Betrachten Sie nun ein Teilchen in einem kugelf¨ormigen Hohlraum mit Radius R. Das ent-

sprechende Potential lautet

V(r) =

(0 f¨ur 0≤r≤R ,

∞ f¨urr > R .

L¨osen Sie Gleichung (4) f¨ur `= 0 und bestimmen Sie dabei insbesondere die Energieeigen- werteE_n.

Hinweis: Gehen Sie vor wie beim eindimensionalen Kastenpotential und achten Sie auf die Randbedingung bei r =R. Welchen Wert muss χ0(r) bei r= 0 annehmen?