Relation zwischen Suszeptibilit¨at und Korrelatoren im Ising-Modell: (a) H =−J∑ ⟨ij⟩ SiSj−µB∑ i Si, Z = Tr [ e−kB TH ] M =kBT ∂ ∂B lnZ = µ ZTr

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 12

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 9: L¨osungen

Dr. Igor Gornyi Besprechung 22.06.2012

1. Relation zwischen Suszeptibilit¨at und Korrelatoren im Ising-Modell:

(a)

H =−J∑

⟨ij⟩

S_iS_j−µB∑

i

S_i, Z = Tr [

e^{−kB TH} ]

M =k_BT ∂

∂B lnZ = µ ZTr

[∑

i

S_ie^{−kB TH} ]

χ = ∂M

∂B = µ Z

∂

∂B {

Tr [∑

i

S_ie^{−kB TH} ]}

− µ Z²

∂Z

∂BTr [∑

i

S_ie^{−kB TH} ]

= µ² k_BT ZTr

[∑

ij

S_iS_je⁻

H kB T

]

− µ² k_BT Z²

[ Tr

(∑

i

S_ie⁻

H kB T

)]2

χ= µ² kBT

[∑

ij

⟨ S_iS_j

⟩−⟨ ∑

i

S_i

⟩2]

(b) Benutzen wir die folgenden Matrizen (Skript, Kapitel 6.4.1):

T_SiSi+1 =⟨S_i|Tˆ|S_i+1⟩= exp {

βJ S_iS_i+1+ βµB

2 (S_i+S_i+1) }

wobei

Tˆ=

(e^β(J+µB) e^−βJ e^−βJ e^β(J−µB)

) .

Dann die Zustandssumme ist

Z = ∑

{S1=±1}

. . . ∑

{SN=±1}

T_S1S2T_S2S3. . . T_SNS1 = ∑

{S1=±1}

⟨S₁|Tˆ^N|S₁⟩= Tr ˆT^N.

Benutzen wir jetzt die Eigenwerte λ₊ und λ₋ Tr ˆT^N =λ^N₊ +λ^N₋, det

(Tˆ−λˆ1 )

= 0 ⇒ λ_± =e^βJcosh(βµB)±√

e^2βJsinh²(βµB) +e^−2βJ

Jetzt die Korrelationsfuntion:

⟨S_iS_i+n⟩= 1 ZTr







i−1

z }| { T . . .ˆ Tˆ

z }| {n

t . . .ˆ tˆ

N−i−n+1

z }| { T . . .ˆ Tˆ





= 1 ZTr

{tˆⁿTˆ^N−n }

,

wobei

t_SiSi+1 =S_iT_SiSi+1S_i+1. Schreiben wir jetzt explizit:

Tˆ=a+b₊σ, ˆt=a+b₋σ, a=e^βJcosh(βµB), b_± =(

±e^−βJ,0, e^βJsinh(βµB)) wobeiσ= (σ_x, σ_y, σ_z) und

σ_x= (0 1

1 0 )

, σ_y =

(0 −i i 0

)

, σ_z =

(1 0 0 −1

)

die Pauli-Matrizen sind.

Die folgende Relationen sind hilfbar:

F (a+bσ) = 1

2[F(a+b) +F(a−b)] + 1

2b[F(a+b)−F(a−b)]bσ, Tr[(aσ) (bσ)] = 2 (ab).

Wir finden dann

Tˆ^N−n= 1 2

(λ^N₊⁻ⁿ+λ^N₋⁻ⁿ) + 1

2b₊

(λ^N₊⁻ⁿ−λ^N₋⁻ⁿ) b₊σ,

ˆtⁿ = 1 2

(λⁿ₊+λⁿ₋) + 1

2b₋

(λⁿ₊−λⁿ₋) b₋σ,

Weil|λ₊/λ₋|=|(a+b₊)/(a−b₊)|>1, vernachlassigen wir die Gliederλ^N₋/λ^N₊ und finden

⟨S_iS_i+n⟩= 1 2

[

1 + λⁿ₋ λⁿ₊ +

(

1− λⁿ₋ λⁿ₊

)b+b₋ b²₊

]

= 1

sinh²(βµB) +e^−4βJ [

sinh²(βµB) + λⁿ₋ λⁿ₊e^−4βJ

]

F¨ur n→ ∞ haben wirλⁿ₋/λⁿ₊ →0. Deswegen

⟨S_iS_i+n⟩

n→∞ → ⟨S_i⟩² = sinh²(βµB) sinh²(βµB) +e^−4βJ. Letztendlich

g(n) = (λⁿ₋/λⁿ₊)e^−4βJ sinh²(βµB) +e^−4βJ. 2. Molekularfeld-N¨aherung f¨ur das Ising-Modell:

In der Molekularfeld-N¨aherung sieht jeder Spin ein Molekularfeld:

B_eff =B+zJ µ ⟨S⟩.

Der Mittelwert von S_j kann nun leicht wie beim Paramagnetismus bestimmt werden:

⟨S⟩= tanh [β(µB+J₀⟨S⟩)], J₀ =zJ, (1) wo z die Zahl der n¨achsten Nachbarn ist.

Die Gibbs’sche freie Energie wird nun (in Molekularfeld-N¨aherung) F(T, B) =−kBT lnZ =N kBT{−ln 2−ln cosh[β(B+J0⟨S⟩)]}+ 1

2N J0⟨S⟩². Von (1):

cosh[β(B+J0⟨S⟩)] = 1

√1− ⟨S⟩². Damit gilt

F(T, B) =N k_BT {

−ln 2 +1 2ln(

1− ⟨S⟩²)}

+1

2N k_BT_c⟨S⟩², k_BT_c=J₀. Die W¨armekapazit¨at bei festem Feld ist

C_B =−T

(∂²F(T, B)

∂T² )

B

.

F¨ur T > Tc

T > T_c ⇒ ⟨S⟩= 0 ⇒ C_B = 0.

F¨ur T < T_c C_B = N k_BT

1− ⟨S⟩² [

∂

∂T⟨S⟩²+1 2

T 1− ⟨S⟩²

( ∂

∂T⟨S⟩² )2

+ 1 2T ∂²

∂T²⟨S⟩² ]

+1

2N k_BT_c ∂²

∂T²⟨S⟩².

Die Ableitung∂⟨σ⟩/∂T bekommen wir von der Selbstkonsistenzgleichung:

⟨S⟩= tanh(βµB) + tanh(βJ₀⟨S⟩)

1 + tanh(βµB) tanh(βJ0⟨S⟩) ⇒ tanh(βµB) = ⟨S⟩ −tanh(βJ₀⟨S⟩) 1− ⟨S⟩tanh(βJ0⟨S⟩). Verwenden wir jetzt die Relation:

x= 1

2ln1 + tanhx 1−tanhx. Dann

βµB = 1

2ln1 + tanh(βµB) 1−tanh(βµB) = 1

2ln1 +⟨S⟩ 1− ⟨S⟩ +1

2ln1−tanh(βJ0⟨S⟩) 1 + tanh(βJ₀⟨S⟩)

= 1

2ln1 +⟨S⟩ 1− ⟨S⟩ − T_c

T ⟨S⟩.

In der N¨ahe des Phasen¨ubergangs entwickeln wir die Relation zwischen B und ⟨S⟩f¨ur kleine ⟨S⟩:

βµB ≈ ⟨S⟩ (

1−T_c T

) +1

3⟨S⟩³+. . . .

Deswegen erhalten wir f¨urB = 0, T < T_c

⟨S⟩² =−3ϵ, ϵ= T −T_c

T ≈ T −T_c Tc

. Dann:

∂

∂T⟨S⟩² =−3

T_c, ∂²

∂T²⟨S⟩² = 0.

Letztendlich (hier T ≈Tc+O(ϵ)) C_B =

{ 0, T > T_c,

3

2N k_B+O(ϵ), T < T_c .

Die W¨armekapazit¨at hat einen Sprung bei T_c. Wir haben hier kein Potenzgesetz und zwar die kritische Exponente:

α=α^′ = 0.

3. Magnetischer Phasen¨ubergang

Benutzen wir die Relation zwischen der W¨armekapazit¨at und der Entropie:

C =TdS dT.

Die ¨Anderung der Entropie als man die Temperatur von T = 0 bisT > T₀ erh¨oht:

∆S =

∫T 0

dTC

T =C_max(1−ln 2).

Benutzen wir jetzt die Boltzmannsche Formel S =k_BlnW,

wo W das statistische Gewicht (oder die Zahl der Zust¨ande) ist, und bestimmen ∆S.

Bei T = 0 ist das System ferromagnetisch und die Symmetrie ist zerbrochen. Es gibt nur einen einzigen Zustand und

T = 0 ⇒ W = 1 ⇒ S(T = 0) = 0.

Bei T > T₀ haben wir C = 0. Das heißt, unser System nimmt keine W¨arme auf, deswegen die Entropie maximal ist:

T < T₀ ⇒ W = 2^N ⇒ S(T > T₀) = N k_Bln 2.

Jetzt bestimmen wir

∆S =N k_Bln 2, und letztendlich

C_max = N k_Bln 2 1−ln 2