Benutzen wir jetzt die Eigenwerte λ1 und λ2 Tr ˆAN =λN1 +λN2 , det Aˆ−λˆ1 = 0 ⇒ λ1(2) =eJ/T coshµH T ± r e2J/T sinh2 µH T +e−2J/T Jetzt die Korrelationsfuntion: hσiσi+ni= 1 ZTr

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 11

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 11

Dr. B. Narozhny 8.7.2011

1. Ising-Modell

Benutzen wir die folgenden Matrizen (wir schreiben σ statt σ^z):

Aσ1σ2 = exp J

Tσ1σ2 +µH

2T (σ1+σ2)

=

e^J/Te^µH/T e^−J/T e^−J/T e^J/Te^−µH/T

.

Dann die Zustandssumme ist Z =X

{σⁱ}

A_σ1σ²A_σ2σ³. . . A_σNσ¹ = Tr ˆA^N.

Benutzen wir jetzt die Eigenwerte λ₁ und λ₂

Tr ˆA^N =λ^N₁ +λ^N₂ ,

det

Aˆ−λˆ1

= 0 ⇒ λ1(2) =e^J/T coshµH T ±

r

e^2J/T sinh² µH

T +e^−2J/T Jetzt die Korrelationsfuntion:

hσ_iσ_i+ni= 1 ZTr







z }| {i−1

A . . .ˆ Aˆ

z }| {n

B . . .ˆ Bˆ

N−i−n+1

z }| { A . . .ˆ Aˆ





= 1 ZTrn

BˆⁿAˆ^N−no ,

wobei

Bσ1σ2 =σ1Aσ1σ2σ2. Schreiben jetzt explizit:

Aˆ=a+b+σ, Bˆ =a+b−σ, a=e^J/Tcosh µH

T , b±=

±e^−J/T,0, e^J/TsinhµH T

.

Die folgende Relationen sind hilfbar:

F (a+bσ) = 1

2[F(a+b) +F(a−b)] + 1

2b[F(a+b)−F(a−b)]bσ, Tr[(aσ) (bσ)] = 2 (ab).

Wir finden dann

Aˆ^N−n = 1

2 λ^N−n₁ +λ^N−n₂ + 1

2b+

λ^N−n₁ −λ^N−n₂ b₊σ,

Bˆⁿ = 1

2(λⁿ₁ +λⁿ₂) + 1 2b−

(λⁿ₁ −λⁿ₂)b₋σ,

Weil |λ1/λ2| = |(a+b+)/(a−b+)| > 1, vernachlassigen wir die Glieder λ^N₂ /λ^N₁ und finden

hσiσi+ni= 1 2

1 + λⁿ₂ λⁿ₁ +

1− λⁿ₂ λⁿ₁

b₊b₋ b²₊

= 1

sinh^{2 µH}_T +e^−4J/T

sinh² µH T +λⁿ₂

λⁿ₁e^−4J/T

F¨ur n→ ∞ haben wir λⁿ₂/λⁿ₁ →0. Deswegen hσ_iσ_i+ni

n→∞ → hσ_ii² = sinh^{2 µH}_T sinh^{2 µH}_T +e^−4J/T. Letztendlich

g(n) = (λⁿ₂/λⁿ₁)e^−4J/T sinh^{2 µH}_T +e^−4J/T.

2. Zweite Quantisierung.

Im Rahmen der thermodynamischen St¨orungstheorie ist die Korrektur zum großkano- nischen Potential durch den Mittelwert gegeben:

δΩ =hΨ₀|Ub|Ψ₀i.

Ψ0 ist die Wellenfunktion des Grundzustandes.

Dr¨ucken wir jetzt das Wechselwirkungspotential durch die Operatoren ˆa und ˆa^†: Ub = 1

2 X

σ¹σ²

X

k¹,k2,k3,k4

U_k1k²,k3k⁴aˆ^†_k3,σ1ˆa^†_k4,σ2aˆ_k2,σ2ˆa_k1,σ1.

Hier

U_k1k²,k3k⁴ = 1 V²

Z

d³r1d³r2U(r1−r₂)e^{i(k1−k3)r1+i(k2−k4)r2} = U0

V δ_k1+k2,k3+k4. Das δ-Symbol gibt die Impulserhaltung wieder.

Wir m¨ussen jetzt die folgende Mittelwerte berechnen:

hΨ0|δ_k1+k2,k3+k4ˆa^†_k3,σ1ˆa^†_k4,σ2ˆa_k2,σ2ˆa_k1,σ1|Ψ0i.

Nur die folgende Mittelwerte ungleich null sind:

k₁ =k₃,k₂ =k₄, oder

k₁ =k₄,k₂ =k₃, Deswegen

δΩ = U0

2V hΨ0|X

σ¹σ²

X

k¹,k2

aˆ^†_k1,σ1aˆ^†_k2,σ2 + ˆa^†_k2,σ1ˆa^†_k1,σ2 ˆ

a_k2,σ²aˆ_k1,σ¹|Ψ0i.

Wenn σ1 =σ2

ˆ

a^†_k1,σˆa^†_k2,σ+ ˆa^†_k2,σˆa^†_k1,σ ={ˆa^†_k1,σ,ˆa^†_k2,σ}= 0 ⇒ δΩ = 0.

Wennσ1 6=σ2

δΩ = U0

2V hΨ₀| X

σ¹6=σ²

X

k¹,k²

ˆ

n_k2,σ²nˆ_k1,σ¹|Ψ₀i.

Dann benutzen wir

hΨ0|X

k

ˆ

nk,σ|Ψ0i= N 2 , und (σ1 6=σ2)

hΨ0|X

k

ˆ

nk,σ1ˆnk,σ2|Ψ0i= N 2. (sehen Sie auch die ¨Ubung 6).

Deswegen

δΩ = 1 4U₀N²

V .