Mit den Eigenzust¨anden zu den Impulsen px und pz reduziert sich die Dimensionalit¨at des Problems und wir erhalten: χ′′+2m ~2

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 12

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 8: L¨osungen

Dr. Igor Gornyi Besprechung 15.06.2012

1. Landauscher Diamagnetismus:

Die grundlegende Idee dieser Aufgabe ist es den Diamagnetismus, der mit der (Kreis-) Bahnbewegung der Elektronen einhergeht zu beschreiben.

Zu diesem Zweck betrachten wir den Hamilton-Operator eines freien Teilchens im Ma- gnetfeld.

(a) Die Schr¨odinger-Gleichung zur Beschreibung eines solchen Teilchens ist gegeben durch:

1 2m

[(

ˆ

p_x+eH c y

)2

+ ˆp²_y + ˆp²_z ]

ψ =Eψ.

(b) Der Hamilton-Operator in “Landau-Eichung“ ist eine Komposition der Operatoren ˆ

px,pˆy,y,ˆ pˆz. Mit den Eigenzust¨anden zu den Impulsen px und pz reduziert sich die Dimensionalit¨at des Problems und wir erhalten:

χ^′′+2m

~² [(

E− p²_z 2m

)

−m

2ω²_H(y−y₀)² ]

χ= 0.

(c) Hierbei benutzten wir bereits die Definition der Eigenfrequenz:

ωH = |e|H mc und der des Zentrums der Schwingung:

y₀ =−cp_x eH.

Wir erkennen das es sich hierbei um den quantenmechanischen harmonischen Os- zillator handelst und erhalten daher die Energieniveaus:

E− p²_z

2m =E^′ =~ω_H (

n+ 1 2

) .

(d) Damit erhalten wir auch die Landau-Niveaus:

E_n,pz =~ω_H (

n+ 1 2

) + p²_z

2m. (e) Die Entartung: die Landau-Niveaus sind unabh¨angig von p_x!

Die L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung sind in x-Richtung ebene Wellen. Damit erhalten wir im endlichen System Quantisierungsbedingungen:

• f¨ur die Impulse p_x = ^2π_L^~

xk mit k∈Z,

• und wegen ihrer Definition sind damit auch die Schwingungszentren quantisiert:

y₀ =− c eH

2π~ L_x k.

Iny-Richtung formt das System einen harmonischen Oszillator der um die Schwin- gungszentren y₀ oszilliert und impliziert damit f¨ur ein endliches System, dass y₀ ∈ [0, L_y]: der Mittelpunkty₀ muss innerhalb von der Fl¨acheL_xL_y liegen:

06y₀ 6L_y.

Deswegen, diep_x-Werte geh¨oren zu einem begrenzten Interval

∆p_x= eH c L_y. Die Zahl der m¨oglichen Werte im Interval ∆p_x ist

Npx = L_x 2π~∆p_x. Damit ergibt sich die Entartung

N = |e|HS

2π~c , S =L_xL_y, aus:

0≤ |k| ≤ N = |e|HLxLy

2π~c

was der intuitiven Idee entspricht, dass mit gr¨oßerer Querschnittsfl¨ache auch die Anzahl an Landau-Niveaus anw¨achst. Des weiteren steigt die Anzahl an Zust¨anden mit dem Magnetfeld H da sich die effektive Fl¨ache 2π~c/(|e|H) f¨ur ein Landau- Niveau reduziert.

(f) Da die Landau-Niveaus nicht miteinander wechselwirken ist das großkanonische Potential gegeben durch:

Ω =−T ∑

λ

ln(

1 +e^β(µ−Eλ))

wobei ¨uber die Zust¨ande λ = p_z, n summiert wird. Inklusive der Entartung der Landau-Niveaus ergibt sich:

∑

λ

→n_sN L_z 2π~

∑

n

∫ dp_z

hierbei ist der Faktorn_s = 2 eine m¨ogliche Spinentartung falls es zu keiner Zeeman- Aufspaltung kommt. Damit erhalten wir (V =SLz =LxLyLz):

Ω =−Tn_seHV (2π~)²c

∑∞ n=0

∫∞

−∞

dp_zln (

1 + exp [

β (

µ− p²_z 2m −

( n+1

2 )

ω_H )])

.

(g) Mit der Definition f¨urµ_B folgt:

ω_H = |e|H

mc = 2µ_BH/~.

Umschreiben des großkanonischen Potentials in die gew¨unschte Form Ω =n_sµ_BH

∑∞ n=0

f[µ−(2n+ 1)µ_BH], µ_B = |e|~

2mc, impliziert die Funktion

f(µ) =−T mV 2π²~³

∫∞

−∞

dpzln (

1 + exp [

β (

µ− p²_z 2m

)]) .

Intermezzo: Die Euler-McLaurin-Formel

Wir betrachten eine glatte langsam variierende Funktionf. Im Folgenden wollen wir die explizite Integration der Funktion ¨uber das Intervall [0,1] approximieren.

Dazu f¨uhren wir eine partielle Integration durch, bei der als Stammfunktion von 1 die Funktion x+c verwendet wird.

∫ ₁

0

f(x)dx= [(x+c)f(x)]¹₀−

∫ ₁

0

(x+c)f^′(x)dx

Ist die Funktion sehr langsam variierend, ist es sinnvoll die Konstante c so zu

w¨ahlen, dass ∫ 1

0

(x+c)dx= 0

gilt. Denn f^′(x) sollte nahezu Konstant sein. F¨ur c = −1/2 ist dann eine gu- te Approximation gefunden. Falls erst f^′′(x) diese Bedingung erf¨ullt, kann die urspr¨ungliche Idee der partiellen Integration erneut angewandt werden:

∫ ₁

0

(x+c)f^′(x)dx= [(x²

2 − x 2 +c₂

) f^′(x)

]1 0

−

∫ ₁

0

(x² 2 − x

2 +c₂ )

f^′′(x)dx.

Die Konstantec₂ l¨asst sich zu 1/12 bestimmen.

Mit Außnahme der Funktionx−1/2 sind alle weiteren so definierten Funktionen symmetrisch umx= 1/2. Außerdem sind sie Vielfache der Bernoulli-Polynome, was f¨ur all jene interessant ist die eine geschlossene exakte Form suchen.

Unser urspr¨ungliches Integral l¨asst sich also wie folgt absch¨atzen:

∫ ₁

0

f(x)dx≈ 1

2[f(0) +f(1)]− 1

12[f^′(1)−f^′(0)]. Betrachten wir nun eine gr¨oßeres Intervall (m∈N) so folgt:

∫ _a+m

a

f(x)dx≈

∑m n=0

f(a+n)− 1

2[f(a) +f(a+m)]− 1

12[f^′(a+m)−f^′(a)]. Da die oben bestimmten Konstanten sich nicht durch Translation des Intervalls

¨andern.

(h) Zuerst werden wir uns die Euler-McLaurin-Formel f¨ur unsere Bed¨urfnisse anpassen.

∑∞ n=0

F (

n+1 2

)

≈

∫∞

0

dxF(x)−

1

∫2

0

dxF(x) + 1 2F

(1 2

)

− 1 12F^′

(1 2

)

≈

∫∞

0

dxF(x) +F^′(0) (1

4 −1 8 − 1

12 )

=

∫∞

0

dxF(x) + 1 24F^′(0) wobei wir folgende Absch¨atzungen verwendet haben:

F(x)≈F(0) +xF^′(0) ⇒ F(1/2)≈F(0) +F^′(0)/2, F^′(1/2)≈F^′(0).

Verwenden wir nun diesen Ausdruck f¨ur das großkanonische Potential, so erhalten wir:

Ω =n₂µ_BH

∫∞

0

dxf(µ−2µ_BHx) + n_sµ_BH 24

∂

∂nf(µ−2µ_BHn) n=0

= n_s 2

∫µ

−∞

dxf(x)− n_s(µ_BH)² 12

∂f(µ)

∂µ .

Das erste Glied ist unabh¨angig vom Magnetfeld. Deswegen erhalten wir:

Ω = n₂

2 Ω₀(µ)− n_s

12µ²_BH²∂²Ω₀

∂µ² .

(i) Die magnetische Suszeptibilit¨at ist gegeben durch:

χ=χ_dia =−∂²Ω

∂H² = n_sµ²_B 6

∂²Ω₀

∂µ² <0

Das System ist also diamagnetisch wenn keine Zeeman-Aufspaltung eintritt.

Wird jedoch die Zeeman-Aufspaltung ber¨ucksichtigt erhalten wir einen zus¨atzlichen Beitrag der Pauli-Suszeptibilit¨at. Wir erhalten in f¨uhrender Ordnung in H:

Ω = 1

2[Ω₀(µ+µ_BH) + Ω₀(µ−µ_BH)]

− 1 12µ²_BH²

(∂²Ω0(µ+µBH)

∂µ² +∂²Ω0(µ−µBH)

∂µ²

)

≈Ω₀(µ) + 1

2µ²_BH²∂²Ω₀

∂µ² − 1

6µ²_BH²∂²Ω₀

∂µ² Bemerken Sie, dass

N =− (∂Ω

∂µ )

T,V

.

Es folgt:

χ_dia =−1 3χ_P, wobei

χ_P =µ²_B (∂N

∂µ )

T,V

die Pauli-Suszeptibilit¨at ist.

Der Anteil der Pauli-Suszeptibilit¨at zusammen mit dem urspr¨unglichen Landau- schen Diamagnetismus verrechnen sich zu:

χ=−∂²Ω

∂H² =χ_P +χ_dia = 2

3χ_P =−2µ²_B 3

∂²Ω₀

∂µ² >0 Was ein paramagnetisches Verhalten des Gases bedeutet.

2. Anharmonischer Oszillator:

Im Wesentlichen wird in dieser Aufgabe gezeigt, dass Korrekturen zur harmonischen Oszillator-N¨aherung der Form αˆx³ in der Lage sind, dass Ph¨anomen der thermische Ausdehnung zu beschreiben.

(a) Im ungest¨orten System gilt: Hˆ₀ = pˆ²

2m + 1

2mω₀²xˆ² =~ω₀(ˆa^†ˆa+ 1 2), und damit auch:

Z₀ =

∑∞ n=0

e^−βEn , E_n=~ω₀(n+ ¹₂) , Z₀ = e^−β~ω0/2

1−e^−β~ω0 = 1 2 sinh(_~ω0β

2

)

und F₀ =−kT ln(Z₀) = ~ω₀

2 +kTln(1−e^−β~ω0).

Intermezzo: St¨orungstheorie f¨ur thermodynamische Observablen Die Zustandssumme ist gegeben durch:

Z =

∑∞ n=0

⟨n|e^{−β( ˆH0+ ˆV)}|n⟩.

Wir k¨onnen die Exponentialfunktion als Zeitentwicklungsoperator in imagin¨arer Zeit auffassen. Damit l¨asst sich die Zustandssumme in das ¨Aquivalent des Wech- selwirkungsbilds transformieren:

Z =

∑∞ n=0

⟨n(β)|e^−βHˆ0T_τe^{−∫0βdτ VI(τ)}|n(β)⟩ mit V_I(τ) = e^τHˆ0V e^−τHˆ0.

F¨ur kleine St¨orungen ergibt sich damit in erster Ordnung in ˆV: Z =

∑∞ n=0

⟨n|e^−βHˆ0 (

1−

∫ _β

0

dτ V_I(τ) )

|n⟩

=Z₀ (

1− 1 Z₀

∑∞ n=0

⟨n|e^−βEn

∫ β 0

dτ e^{τ En}V e^{−τ En}|n⟩ )

=Z₀(1−β⟨Vˆ⟩₀).

Die freie Energie in dieser Ordnung St¨orungstheorie ist also F =F₀+⟨Vˆ⟩₀. F¨ur thermische Mittelwerte von Observablen ergibt sich:

⟨Aˆ⟩=

∑∞ n=0

⟨n| 1

Z₀(1−β⟨Vˆ⟩₀)e^−βHˆ0 (

1−

∫ _β

0

dτ V_I(τ) )

Aˆ|n⟩

=⟨Aˆ⟩₀−∑^∞

n=0

⟨n| 1 Z₀e^−βHˆ0

(∫ β 0

dτ V_I(τ)−β⟨Vˆ⟩₀ )

Aˆ|n⟩.

Einfluss der St¨orung: die freie Energie in 1. Ordnung ergibt sich durch:

F₁ = Tr( ˆW₀Vˆ) = 1 Z₀

∑∞ n=0

e^−βEn⟨n|Vˆ|n⟩

Indem wir ˆx durch ˆa,ˆa^† ausdr¨ucken via ˆx= ( ~

2mω0

)1/2

(ˆa+ ˆa^†) folgt f¨ur ˆx³ ∝Vˆ: ˆ

x³ = ( ~

2mω₀ )3/2(

ˆ

a^†3+ ˆa^†2ˆa+ ˆa^†aˆˆa^†+ ˆaˆa^†2+ ˆa³+ ˆa^†ˆa² + ˆaˆa^†ˆa+ ˆa²ˆa^†) .

Die Wirkung der ˆa,ˆa^† ist bekannt:

ˆ

a|n⟩ = √

n|n−1⟩, ˆ

a^†|n⟩ = √

n+ 1|n+ 1⟩ .

Wird der Ausdruck f¨ur ˆx³ in ⟨n|Vˆ|n⟩ = α⟨n|xˆ³|n⟩ eingesetzt, so ergeben sich eine Reihe von Termen, aber in keinem dieser Terme wird der Ausgangszustand|n⟩ wieder hergestellt und wir erhalten:

⟨n|xˆ³|n⟩= 0 ⇒ ⟨Vˆ⟩1 =F₁ = 0.

Man muss also mindestens bis zur 2. Ordnung gehen, um eine nicht triviale Kor- rektur zuF₀ zu bekommen.

(b) Wir bestimmen im weiteren die mittlere Ausdehnung ⟨x⟩ des Systems.

Im ungest¨orten System gilt:

⟨xˆ⟩0 = Tr( ˆW₀x) =ˆ 1 Z₀

∑∞ n=0

e^−βEn ( ~

2mω0

)1/2

⟨n|ˆa+ ˆa^†|n⟩

| {z }

= 0

= 0

Der harmonische Oszillator hat im Mittel keine Auslenkung aus der Ruhelage. In harmonischer N¨aherung kann daher keine thermische Ausdehnung beschrieben wer- den.

Korrekturen zum ungest¨orten System

Die Korrektur zum ungest¨orten System ist in f¨uhrender Ordnung beschrieben durch:

⟨xˆ⟩1 = Tr( ˆW₁x) =ˆ −

∫β

0

dτ 1 Z₀

∑∞ n=0

⟨n|e^−βHˆ0[e^τHˆ0V eˆ ^−τHˆ0− ⟨|{z}Vˆ⟩0

=0

] ˆx|n⟩.

Durch einschieben einer ˆ1 vor dem ˆx und dem Anwenden der e^···Hˆ0 auf die |n⟩- Zust¨ande erhalten wir:

⟨xˆ⟩1 =− 1 Z₀

∑∞ n=0

∑∞ m=0

e^−βEn

∫β

0

dτ e^τ(En−Em)⟨n|Vˆ|m⟩⟨m|xˆ|n⟩.

Integrieren liefert:

⟨xˆ⟩1 = 1 Z₀

∑∞ n,m=0

e^−βEn −e^−βEm

E_n−E_m ⟨n|Vˆ|m⟩⟨m|xˆ|n⟩.

Das Umbenennen der Variablen n ↔ m im 1. Term ∼e^−βEm f¨uhrt dazu, dass nur noch Re (⟨n|Vˆ|m⟩⟨m|xˆ|n⟩) ben¨otigt wird:

⟨xˆ⟩1 = 1 Z₀

∑∞ n,m=0

e^−βEn

E_n−E_m[⟨m|Vˆ|n⟩⟨n|xˆ|m⟩+ ⟨|n|Vˆ|m{z⟩⟨m|xˆ|n}⟩

= (⟨m|Vˆ|n⟩⟨n|xˆ|m⟩)^∗ ]

Wir vereinfachen im Weiteren die Summen mit Hilfe des Matrixelements ⟨n|xˆ|m⟩.

⟨n|xˆ|m⟩= ( ~

2mω0

)1/2

⟨n|ˆa+ˆa^†|m⟩= ( ~

2mω0

)1/2(

⟨n|m−1⟩√

m+⟨n|m+ 1⟩√ m+ 1

)

Damit wird die Summe ¨ubern ausgef¨uhrt und es bleibt:

⟨xˆ⟩1 =

√~/2mω₀ Z₀

[ _∞

∑

m=1

√m e^−βEm−1

E_m−1−E_m⟨m|Vˆ|m−1⟩ +

∑∞ m=0

√m+ 1 e^−βEm+1

Em+1−Em⟨m|Vˆ|m+ 1⟩ ]

+ komplex konj.

In der ersten Zeile ersetzen wir die Summationsvariable durch ¯m = m−1 , ¯m = 0,1,2, . . .und nennen diese dann wiederm, um die beiden Summen in gleiche Form zu bringen. Außerdem kannE_m+1 =E_m+~ω₀ verwendet werden, was es uns erlaubt

⟨xˆ⟩1 =

( ~ 2mω₀

)1/2

α

~ω₀ 1 Z₀

∑∞ m=0

e^−βEm+1√

m+ 1[

⟨m|xˆ³|m+ 1⟩ − ⟨m+ 1|xˆ³|m⟩e^β~ω0] +komp.konj.

zu schreiben. Von den Termen in ˆx³ tragen nur wenige zum Matrixelement

⟨m+ 1|xˆ³|m⟩= ( ~

2mω₀ )3/2

⟨m+ 1|ˆa^†2ˆa+ ˆa^†ˆaˆa^†+ ˆaˆa^†2|m⟩

| {z }

3⟨m+ 1|m+ 1⟩√

m+ 1(m+ 1) bei. Damit ergibt sich f¨ur die Korrektur zur Auslenkung:

⟨xˆ⟩1 =−12 ( ~

2mω₀ )2

α

~ω₀

sinh(β~ω₀/2) Z₀

∑∞ m=0

(m+ 1)²e^{−β~ω0(m+1)}.

Diese Summe kann ¨uber den Ableitungstrick ausgef¨uhrt werden: mit x ≡ −β~ω₀ gilt:

∑∞ m=0

(m+ 1)²e^{−β~ω0(m+1)}

=

∑∞ n=0

(n)²e^−β~ω0n= ∂²

∂x² ( _∞

∑

n=0

e^{x n} )

= ∂²

∂x² ( 1

1−e^x )

= e^x(1 +e^x) (1−e^x)³ . Ber¨ucksichtigen wir noch Z₀ = e^x/2

1−e^x erhalten wir:

1 Z₀

∑∞ n=0

n²e^{x n} = e^x/2(1 +e^x)

(1−e^x)² = 2 cosh(x/2)

4 sinh²(x/2) = coth(x/2) 2 sinh(x/2). Das Ergebnis lautet schlussendlich:

⟨xˆ⟩=⟨xˆ⟩1 =−6 ( ~

2mω₀ )2

α

~ω₀ coth(~ω₀ 2kT).

Wenn man das anharmonische Potential ¹₂mω₀x²+αx³f¨urα <0 auftr¨agt, wird klar, daß sich der Nullpunkt der Schwingung nach rechts (positivex) verlagern sollte. In der Tat ist in diesem Fall ⟨xˆ⟩>0 .

Man beachte: Obige Rechnung gilt nur, solange ⟨xˆ⟩ ≪1 erf¨ullt ist.

Interpretiert man obiges Ergebnis als thermische Ausdehnung eines Kristalls, so sehen wir:

• ⟨xˆ⟩ ∝αallein die Anharmonizit¨at generiert eine Abweichung aus der Ruhelage.

• Bei kleinen Temperaturen ist⟨xˆ⟩ ∝T die thermische Ausdehnung verschwindet f¨urT →0.