(b) Aus der Definition des Kommutators erfolgt sofort, dass [Ji, Jj

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Klassische Theoretische Physik I WS 2018/2019

Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 12

M. Hecker, E. Kiselev und Dr. R. Willa L¨osungsvorschlag

1. Drehmatrizen Teil 2 (25 Punkte)

(a) Durch komponentenweises Ableiten findet man J_x= dR_x

dα 0

=





0 0 0 0 0 -1 0 1 0



, J_y = dR_y dα

0

=





0 0 1 0 0 0 -1 0 0



, J_z = dR_z dα

0

=





0 -1 0

1 0 0

0 0 0





(b) Aus der Definition des Kommutators erfolgt sofort, dass [J_i, J_j] = −[J_j, J_i] und somit insbesondere [J_i, J_i] = 0 gilt. Es gen¨ugt also zu zeigen, dass [J_i, J_j] =J_k, f¨ur (i, j, k) = (x, y, z) und ebenso f¨ur zyklische Permutationen. Wir finden





0 0 0 0 0 -1 0 1 0









0 0 1 0 0 0 -1 0 0



−





0 0 1 0 0 0 -1 0 0









0 0 0 0 0 -1 0 1 0



=





0 0 0 1 0 0 0 0 0



−





0 1 0 0 0 0 0 0 0



=Jz





0 0 1 0 0 0 -1 0 0









0 -1 0

1 0 0

0 0 0



−





0 -1 0

1 0 0

0 0 0









0 0 1 0 0 0 -1 0 0



=





0 0 0 0 0 0 0 1 0



−





0 0 0 0 0 1 0 0 0



=Jx





0 -1 0

1 0 0

0 0 0









0 0 0 0 0 -1 0 1 0



−





0 0 0 0 0 -1 0 1 0









0 -1 0 1 0 0 0 0 0



=





0 0 1 0 0 0 0 0 0



−





0 0 0 0 0 0 1 0 0



=Jy

Weiter finden wir J_x² =−





0 0 0 0 1 0 0 0 1



 J_y² =−





1 0 0 0 0 0 0 0 1



 J_z² =−





1 0 0 0 1 0 0 0 0



 (1) (c) Zur Berechnung von exp(αJi) (hier f¨uri=z) nutzen wir (Jz)³=−J_z und finden

∞

X

n=0

(αJ_i)ⁿ n! =1+

∞

X

k=0

α^2k+1

(2k+ 1)!(J_z)^2k+1+

∞

X

k=1

α^2k

(2k)!(J_z)^2k (2)

=1+J_z

∞

X

k=0

α^2k+1

(2k+ 1)!(−1)^k−(J_z)²

∞

X

k=1

α^2k

(2k)!(−1)^k (3)

= [1+ (J_z)²] + sin(α)J_z−cos(α)(J_z)²=R_z(α) (4) (d) Wir schreiben R_ω = exp(ωJ_zt) und es l¨asst sich leicht zeigen, dass f¨ur die Zeita- bleitung gilt: ˙Rω =ωJzexp(ωJzt). Achtung:Diese Beziehung ist immer noch als Matrix-Produkt zwischenJ_z und dem Matrixexponential zu verstehen. Wir finden R_ωR˙_ω =e^ωJzt(ωJ_z)e^ωJzt= (ωJ_z)e^ωJzte^ωJzt= (ωJ_z)e^2ωJzt= (ωJ_z)R_2ω = ˙R_2ω/2 (5) R^T_ωR˙_ω =e^ω(Jz)Tt(ωJ_z)e^ωJzt=e^−ωJzt(ωJ_z)e^ωJzt= (ωJ_z)e^−ωJzte^ωJzt=ωJ_z (6) ( ˙Rω)^TR˙ω =

(ωJz)e^ωJztT

(ωJz)e^ωJzt=e^−ωJzt(−ωJ_z)(ωJz)e^ωJzt=−(ωJ_z)² (7)

Abbildung 1: Erde-Gestirn-System (Gestirn = Mond oder Sonne). Zu Illustrationszwecken wurden keine realistischen Massst¨abe verwendet.

2. Die Gezeiten - Zweck (40 Punkte)

(a) Der Massenschwerpunkt liegt bei (m1/M)r1 + (m2/M)r2 = R. Zusammen mit r₀ =r₂−r₁ folgen die gew¨unschten Beziehungen sofort.

(b) Das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass f¨ur die Periode T = 2π/ω die Beziehung T²/r³₀ = 4π²/GM gilt. Daraus finden wir auch eine Beziehung f¨ur die Kreisfrequenz.

(c) Es gilt r = R_ωr⁰ und die zeitliche Ableitung folgt aus der Kettenregel, d.h. ˙r = R˙ωr⁰+Rωr˙⁰. Zur Berechnung der kinetischen Energie schreiben wir

r˙² =

r^0T( ˙Rω)^T + ˙r^0TR^T_ωR˙ωr⁰+Rωr˙⁰

(8)

=r^0T( ˙Rω)^TR˙ωr⁰+ ˙r^0TR^T_ωR˙ωr⁰+r^0T( ˙Rω)^TRωr˙⁰+ ˙r^0TR_ω^TRωr˙⁰ (9)

=−ω²r^0T(Jz)²r⁰+ωr˙^0TJzr⁰−ωr^0TJzr˙⁰+ ˙r^0Tr˙⁰ (10)

= (ω×r⁰)²+ 2ω·(r⁰×r˙⁰) + ( ˙r⁰)², (11) wobeiJ_z=_{0 -1 0}

1 0 0 0 0 0

die Erzeugende der Drehung um die z-Achse ist.

Im zweiten Term von Gleichung (11) steckt genau der Drehimpuls. Im sich rotie- renden System wurde der Drehimpuls wegtransformiert da ˙r⁰ = 0. Somit bleibt von der kinetischen Energie nur ein zeitunabh¨angiger Term, der als Scheinpotential interpretiert werden kann. In der Tat kann Mittles L=T−V der kinetische Term (mit umgedrehtem Vorzeichen) als PotentialV_ω aufgefasst werden.

Hinweis: Beachten Sie, dass der Coriolis-Term nicht als Potential aufgefasst werden kann. In den Euler-Lagrange-Gleichungen tr¨agt dieser Term zwei identische Terme m(ω×r˙⁰) bei.

(d) Entwickelt man das Potential f¨urρr0, gilt V(r)≈ −Gmm₁

ρ −Gmm₂ r0

h 1 + ρ

r0

cos(ϕ) + ρ²

2r²₀{3 cos²(ϕ)−1}i

(12)

− Gmm₂ r0

hm₂ 2M − ρ

r0

cos(ϕ) + ρ² 2r²₀

i− Gmm₁ r0

ρ² 2r₀²

Der letzte Term, kann als −(Gmm₁/ρ)(ρ/r₀)³/2 geschrieben werden wodurch er eine Korrektur zum ersten Term von der Ordnung (ρ/r0)³ ist und deshalb ver- nachl¨assigt werden kann. Diese Aussage kann zu erheblicher Irritation f¨uhren; vor

allem wenn man den letzten Term direkt mit dem Term ∝Gmm2ρ²/r₀³ vergleicht.

Insbesondere w¨urde man vermuten, dass f¨urm₁/m₂ 1 der vernachl¨assigte Term durchaus wichtig sein sollte. Es stellt sich aber heraus, dass dieser Term tats¨achlich keinen nennenswerten Einfluss auf die Modulation der Meeresoberfl¨ache hat. Der Vollst¨andigkeit halber wird der Term im folgenden in rot mitgef¨uhrt. Die Terme

∝cos(ϕ) heben sich gegenseitig auf und wir finden die gew¨unschte Beziehung.

(e) Entwickelt man das Potential in δρfindet man

−3m₂ρ²₁

2r³₀ cos²(ϕ) +δρ hm1

ρ²₁ −m1

ρ²₁ ρ³₁

r³₀ −3m2ρ1

r³₀ cos²(ϕ) i

= const (13) Die Vermutungδρ∼cos(2ϕ) veranlasst uns anzunehmen, dass der mittlere Abstand ρ1 bei ϕ=π/4 realisiert wird. Dort gilt dann δρ(π/4) = 0 und die Konstante auf der rechten Seite nimmt den Wert−3m₂ρ²₁cos²(π/4)/2r³₀ an. Alternativ kann man obige Entwicklung auch um den minimalen Abstand ρ_min bei ϕ = π/2 verstehen wobei wir nunδρ_min(π/2) = 0 fordern m¨ussen. Dann verschwindet die Konstante auf der rechten Seite. Im ersten Fall erh¨alt man f¨ur die ¨Aquipotentialline die Beziehung

δρ(ϕ) =ρ1

3m2ρ³₁cos(2ϕ)

2[m₁r₀³−m₁ρ³₁−3m₂ρ³₁cos²(ϕ)] ≈ρ1

3m2ρ³₁

2m₁r³₀ cos(2ϕ). (14) Im zweiten Fall gilt

δρ_min(ϕ) =ρ_min 3m2ρ³_mincos²(ϕ)

2[m1r₀³−m₁ρ³_min−3m2ρ³_mincos²(ϕ)] ≈ρ_min3m2ρ³_min

2m1r³₀ cos²(ϕ). (15) Im letzten Schritt wurde jeweils angenommen, dass κ = (m₂ρ³₁/m₁r₀³) klein ist.

Interessanterweise kann die Gr¨osse κals das Verh¨altnis zweier Dichten interpretiert werden: Erstens, die Dichtem2/(4πr³₀/3) welche daraus resultiert die Massem2 auf die Sph¨are mit Radius r₀ zu verd¨unnen und zweitens die Dichte von K¨orper 1, d.h.

m₁/(4πρ³₁/3).

(f) Wir finden f¨ur das Erd-Mond-Paar κ = 5×10⁻⁸ und f¨ur das Erd-Sonne-Paar κ= 2×10⁻⁸, also vergleichsweise ¨ahnliche Werte, und dies obwohl die L¨angen- und Massenskalen um Gr¨ossenordnungen verschieden sind. Die maximale Gezeitenst¨arke δρ(0) = 0.5m und 0.2m ist f¨ur beide F¨alle dementsprechend ¨ahnlich.

3. Zweiatomiges Molek¨ul - Teil 2 (35 Punkte)

(a) Da das Potential nur vom Abstand zwischen den beiden Massenpunkten abh¨angt gilt, dass der Schwerpunkt R = (m1/M)r1 + (m2/M)r2 (M = m1 +m2) sich kr¨aftefrei bewegt, d.h. ¨R= 0. Die Relativkoordinate r=r₁−r₂ gen¨ugt der Bewe- gungsgleichung

m¨r=−∇V(|r|) (16)

mitm= (m⁻¹₁ +m⁻¹₂ )⁻¹ der reduzierten Masse.

(b) Der DrehimpulsL=r×pist erhalten weil die Kraft nur entlang der Verbindungs- linie r wirkt. Dies ist so weil das Potential nicht von der Richtung von r sondern nur von dessen Betrag abh¨angt. F¨ur den Drehimpuls giltdL/dt=r×F = 0. Dar- aus folgt sofort, dass sich die Bewegung auf eine Ebene beschr¨ankt. Wir schreiben r=rer, ˙r= ˙rer+rϕe˙ ϕ, und ¨r= (¨r−rϕ˙²)er+ (2 ˙rϕ˙+rϕ)e¨ ϕ

(c) Wegen der Impulserhaltung gilt, dass der Kraftterm entlangeϕ verschwinden muss.

Daraus folgt, dassr²ϕ= const und wir finden nach kurzer Umformung mr²ϕ=L.

Daraufhin folgt

m¨r− L²

mr³ =−∂_rV(r) (17)

(d) Das Minimum des Lennard-Jones Potential liegt bei`<sub>0</sub>= 2<sup>1/6</sup>σ und dessen Tiefe ist VLJ(`0) =−ε. Die Kr¨ummung ermittelt sich ausV_LJ⁰⁰(`0) = 36·2<sup>2/3</sup>(ε/σ<sup>2</sup>) = 72ε/`²₀.

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1 0 1 2 3 4

1.05 1.10 1.15 1.20 -1.00

-0.95 -0.90

Abbildung 2: Lennard-Jones Potential (rot) und harmonische N¨aherung (blau). Die N¨aherung bricht zusammen weil das Potential sehr hohe Potenzen enth¨alt.σ=ε= 1.

(e) Aus Dimensionsbetrachtung, oder durch geschicktes hinschauen folgt aus der Kraft F = L²

mr³ −k(r−`<sub>0</sub>) (18) dass die Vergleichsgr¨osse f¨ur den DrehimpulsL0 =`²₀√

kmist (bis auf numerische).

F¨ur L L0 finden wir dass das Potentialminimum nach ˜`0 = [1 + (L/L0)<sup>2</sup>]`0

verschoben wird und die Kr¨ummung ver¨andert sich zu ˜k = [1 + 3(L/L₀)²]k. F¨ur LL0 gilt ˜`0 =`0

pL/L0 und ˜k= 4k.