Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis
Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz
WS 2018/2019 07.02.2019
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
15. Übungsblatt
Aufgabe 85 (Übung)
a) Die lineare Abbildungφ:R3→R3sei gegeben durch
φ(e3) = 2e1+ 3e2+ 5e3, φ(e2+e3) =e1, φ(e1+e2+e3) =e2−e3.
Bestimmen Sie die DarstellungsmatrizenABBundABB00 vonφbezüglich der StandardbasisB desR3sowie bezüglich der BasisB0={e3, e2+e3, e1+e2+e3}.
b) Die lineare AbbildungP :R2×2→R2×2sei gegeben durchP(A) = 12(A+AT) (sieheAufgabe 83). Geben Sie die AbbildungsmatrixABBvonP bezüglich der BasisB={
1 00 0
,
0 10 0
,
0 01 0
, 0 0
0 1
}an.
Aufgabe 86 (Übung)
InR4×4bzw.R3×3seien die folgenden Matrizen gegeben.
A=
0 3 −1 1
1 −3 1 −1
−5 1 0 0
0 6 −2 3
, B=
−1 1 0 −1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
, C=
1 3 1
4 4 2
2 −2 0
.
Überprüfen Sie, ob diese Matrizen regulär sind. Berechnen Sie, wenn möglich,A−1,B−1,C−1 und (AB)−1.
Aufgabe 87 (Übung)
a) Zeigen Sie, dass fürn, m∈Ndurch die Abbildung
(· | ·)F:Kn×m×Kn×m→K, ((ajk),(bjk))7→
Xn
j=1
Xm
k=1
ajkbjk
ein Skalarprodukt aufKn×mdefiniert wird (das sogenannte Frobenius-Skalarprodukt).
b) Sei`1:={(an)∈KN| P∞
n=1|an|<∞}. Zeigen Sie, dass durch k · k1:`1→R,(an)7→P∞ n=1|an| eine Norm auf`1definiert wird. Weisen Sie nach, dass es kein Skalarprodukt (· | ·) auf`1 geben kann mit (a|a) =kak2
1für allea= (an)∈KN. Erinnerung
• DieModulprüfungfindet am21.02.2019von8 bis 10 Uhrstatt.Anmeldeschlussist der10.02.2019
• Anmeldung zur Prüfungunterhttps://campus.studium.kit.edu/exams/registration.php
• Hörsaalverteilungab dem13.02.2019am schwarzen Brett neben Zimmer 2.027 im Allianzgebäude
• Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei beidseitig handbeschriebene DIN-A4-Blätter
• DieEinsichtfindet am25.04.2019von16 bis 18 UhrimMesstechnik-Hörsaal(Geb. 30.33) statt
HM1PHYS–15 07.02.2019
