Diskrete Optimierung 9. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SoSe 2013
Prof. Dr. Stefan Ulbrich 11. und 13. Juni 2013
Dipl.-Math. Madeline Lips
Gruppenübung Aufgabe G1 (TDI)
Beweisen Sie folgende Aussage aus der Vorlesung:
SeiP=P(A,b)mitAganzzahlig undAx≤bTDI. Sei fernerF={x|Ax≤b,a x=β}mitaganzzahlig undβ∈Zeine Seite vonP. Dann istAx≤b,a x=βTDI.
Aufgabe G2 (Gültige Ungleichungen)
(a) SeiP1={(x,y)∈R+×Z|x+y≥b}undf =b− bbc. Zeigen Sie, dass die Ungleichung x≥f ·(dbe −y)
gültig fürP1ist.
(b) SeiP2={(x,y)∈R+×Z|y≤b+x}undf =b− bbc. Zeigen Sie, dass die Ungleichung
y≤ bbc+ x 1−f
gültig fürP2ist.
Aufgabe G3 (Chvátal) SeiP={x∈Rn|Ax≤b}mit
A=
1 0
0 1
−1 0
0 −1
2 2
und b=
1 1 0 0 3
.
(a) Skizzieren Sie das PolyederP.
(b) Bestimmen Sie P1, . . . ,Pt (siehe Vorlesung), sodass Pt = PI gilt, und zeichnen Sie die Polyeder P1, . . . ,Pt in die Skizze ein.
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Hausübung
Aufgabe H1 (Gültige Ungleichungen) (5 Punkte)
SeiP={(x,y)∈R+×Z2+|a1y1+a2y2≤b+x}mita1,a2,b∈Rundb∈/Z. Sei weiterhin f =b− bbcund fi=ai− baic füri=1, 2.
Zeigen Sie, dass die Ungleichung
ba1cy1+
ba2c+ f2−f 1−f
y2≤ bbc+ x 1−f
gültig fürPist.
Aufgabe H2 (Chvátal) (5 Punkte)
Gegeben sei die Familie ganzzahliger Programme mitk∈N:
max x2
s.t. k x1 + x2 ≤ k
−k x1 + x2 ≤ 0 x1,x2 ≥ 0 x1,x2 ∈ Z
mit den zugehörigen PolyedernPk.
(a) Zeigen Sie, dassPk1durch das folgende System beschrieben wird:
max x2
s.t. (k−1)x1 + x2 ≤ k−1
−(k−1)x1 + x2 ≤ 0 x1,x2 ≥ 0 x1,x2 ∈ Z.
(b) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Teil (a), um zu zeigen, dass in diesem Beispiel die Zahltmitt=mins∈NPks= (Pk)I
exponentiell in der Kodierungslänge der Eingabe(A,b)ist.
Aufgabe H3 (Modellierung) (5 Punkte)
Betrachten Sie das bekannte Puzzle SUDOKU: SUDOKU
Instanz: m∈N,n = m2 und das(n×n)-Sudoku-Feld, welches in Teil- felder der Größe m×munterteilt ist, sowie eine Vorbelegung einiger Einträge des Sudoku-Feldes mit Werten aus{1, 2, . . . ,n}.
Frage: Gibt es zu der gegebenen Vorbelegung eine Vervollständigung des Sudoku-Feldes mit den Werten von1bis n, so dass in kei- ner Zeile, keiner Spalte und keinem der nTeilfelder ein Wert mehrfach vorkommt?
Formulieren Sie SUDOKUals ganzzahliges lineares Programm (bzw. binäres Programm).
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