Hans Walser, [20130622]
Anregung: H. M.-S., V.
Verallgemeinerung des Pythagoras 1 Die Verallgemeinerung
Wir gehen aus von zwei gegebenen Punkte A und B und unterteilen die Strecke AB mit dem Teilpunkt S im Verhältnis 1 :λ. Auf dem verallgemeinerten Thaleskreis mit Zent- rum S durch A wählen wir den Punkt C.
Im Dreieck ABC gilt dann:
a2+λb2 =c2 Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt.
A B
S C b a
c
Abb. 1: Verallgemeinerung des Pythagoras Für λ=1 ergibt sich der gewöhnliche Pythagoras.
Hans Walser: Verallgemeinerung des Pythagoras 2/3
2 Beweis
Wir arbeiten im Koordinatensystem der Abbildung 2.
A(–1,0) S(0,0) B( ,0)
C(cos(t), sin(t)) b a
c x
y
1 t
Abb. 2: Bezeichnungen Es ist:
a=
(
λ −cos( )
t)
2+sin2( )
tb=
(
1+cos( )
t)
2+sin2( )
tc=1+λ Somit ist:
a2+λb2 =
(
λ −cos( )
t)
2+sin2( )
t +λ( (1+cos( )
t )
2+sin2( )
t )
=λ2−2λcos
( )
t +cos2( )
t +sin2( )
t +λ+2λcos( )
t +λcos2( )
t +λsin2( )
t=λ2+2λ+1=
(
λ+1)
2 =c2Hans Walser: Verallgemeinerung des Pythagoras 3/3
3 Konstruktion
Die Abbildung 3 zeigt die Konstruktion. Das Teilverhältnis wird auf die Gerade AC übertragen.
A B
S C
D E
b a
c
Abb. 3: Konstruktion 4 Offene Fragen
Analoga zu Kathetensatz und Höhensatz?
