Etwa mehr zu Exponential- und Logarithmusfunktion

Etwa mehr zu Exponential- und Logarithmusfunktion

Will man einen Logarithmus definieren, so liegt es nahe, diesen als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zu definieren. Solch eine kann es aber nicht geben, da exp gerade 2π-periodisch ist, also exp(z+ 2kπi) = exp(z) für alle z ∈C. Jedoch gilt:

für beliebigesa ∈R ist

exp : S_a :={z ∈C|a≤Im(z)< a+ 2π} −→C\{0}

bijektiv (und damit biholomorph). Ich erhalte also nur in einem solchen Streifen die Injektivität von exp und dann lässt sich die Umkehrfunktion definieren.

Re(z) Im(z)

a a+ 2π

exp

Re(z) Im(z)

R+·e^ia a+ 2π

Definition: Die Abbildung

Log_(a) := (exp|_Sa)⁻¹ : (C\{0})\R+e^ia −→int(S_a) heißt der durcha bestimmte Logarithmuszweig. Es ist dann

Log_(a)(z) = ln|z|+Arg(z)

für z ∈ C mit Arg(z) ∈ (a, a + 2π). Für a = −π erhält man den Hauptzweig Log = Log_(−π) des Logarithmus.

Ist G⊆C ein Gebiet und f :G→C holomorph, so heißt eine holomorphe Funk- tiong ein Logarithmus zur Funktionf, fallse^g =f gilt. Dann schreiben wir logf.

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Der Logarithmus ist, wie oben gesehen, also nicht eindeutig. In anderen Vorlesun- gen, Lehrbüchern usw. wird manchmal auch die Definition verallgemeinert: dann lässt man diese Umkehrfunktions-eigenschaft zur gewöhnlichen Exponentialfunk- tion fallen. Dann sagt man beispielsweise: Die holomorphe Funktion g heißt ein Logarithmus, fallsg⁰(z) = ¹_z gilt. Im Gegensatz zur Exonentialfunktion lassen sich Log oder die Potenzfunktionen nicht stetig auf ganz C definieren!

Lemma: (Eigenschaften) Sei G⊆Cein Gebiet und f eine holomorphe Funk- tion auf G sowieg :G→Cstetig. Dann sind äquivalent:

(i) g ist ein Logarithmus von f (ii) e^g =f

(iii) g ist holomorph, g⁰ = ^f_f⁰ und es gibt ein z₀ ∈G mit e^g(z0)=f(z₀).

Notwendig für die Existenz eines Logarithmus vonf, also einer holomorphen Funk- tion g mit e^g = f, ist, dass f(z) 6= 0 für alle z ∈ G gilt. Diese Voraussetzung ist jedoch nicht hinreichend:

Übungsaufgabe 1: Zeige, dass f : G → C mit G = C\0 und f(z) = z keinen Logarithmus auf G besitzt.

Lösung: Angenommen, es gibt einen Logarithmus g von f. Dann erfüllt dieser die Gleichung

g⁰(z) = f⁰(z) f(z) = 1

z für alle z ∈G.

Das heißt, die Funktion ¹_z hat eine Stammfunktion auf G. Insbesondere wäre das Integral von dieser Funktion über jede geschlossene Kurve in G Null. Das wider- spricht aber der Identität

Z

∂B1(0)

1

zdz = 2πi.

Also kann es keinen Logarithmus vonf aufGgeben.

Man beachte dringend, dass im Allgemeinen logf mit beliebigem Logarithmus von f nicht dasselbe ist wie Log◦f mit dem Hauptzweig Log. nur fallsf(G)⊆C⁻ gilt, ist Log◦f ein Logarithmus vonf.

Übungsaufgabe 2: Sei G:=C\R^≤0 und sei f :G→ C definiert durch f(z) :=

zⁿ mit n ∈N.

(a) Bestimme einen Logarithmus logf von f, der auf R >0 mit Log◦f über- einstimmt.

(b) Zeige, dass für n≥2 gilt: (logf)(−i)6= Log(f(−i)).

Lösung: (a) Wir setzeng(z) :=n·Logz. Dann ist g holomorph aufG und es gilt e^g(z) =e^n·Logz =zⁿ für alle z ∈G.

Folglich ist logf = g ein Logarithmus von f und offenbar gilt g(z) = Logzⁿ für alle z ∈R>0, d.h. logf stimmt dort mit Log◦f überein.

(b) Für n≥2 gilt

(logf)(−i) =n·Log(−i) =n· −iπ

2 6= Log((−i)ⁿ), denn es gilt Log((−i)ⁿ)∈ⁿ0,±^iπ₂, iπ^o.

Satz: (hinreichendes Kriterium) Sei G⊆C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f :G→Cholomorph mitf(z)6= 0 für alle z ∈G. Dann existiert ein Logarithmus g = logf von f.

Beweis: Sei hdie Stammfunktion von ^f_f⁰. Diese existiert, da Geinfach zusammen- hängend und wegen f holomorph und f 6= 0 auch ^f_f⁰ holomorph ist. Dann folgt mit Eigenschaft (ii) oben

e^h f

!0

= 0,

d.h. es gibt eine Konstantec6= 0 mite^h =c·f. Wählt man nun ein α∈Cderart, dass e^α =cgilt, so ist g :=h−α ein Logarithmus von f.

Um noch einmal zu betonen, dass die gewohnten Rechenregeln aus dem Reel- len nicht einfach übernommen werden können, betrachten wir nocheinmal Log : C\{0} →(−π, π] (also den unstetigen Hauptzweig des Logarithmus - ich kann ihn ja immer definieren, wie ich es will, nur wenn ich Holomorphie oder Stetigkeit will oder brauche, muss ich aufpassen).

Dann lautet die Funktionalgleichung für w, z∈C:

Logw+ Logz = Logzw+ 2πβi mit β :=







1 für arg(z) +arg(w)> π,

0 für −π < arg(z) +arg(w)≤π,

−1 für arg(z) +arg(w)≤ −π Beispiel: Seien v = 1 +i = √

2e^iπ4, w = −1−i = √

2e^−i3π4 und z = −2 = 2e^iπ. Dann ergeben sich die Produkte

vw= 2e^iπ4 e^−i3π4 = 2e^−iπ2 =−2i vz = 2√

2e^i5π4 =−2−2i.

Damit berechnen sich die Hauptwerte des Log über die (reelle!) Funktionalglei- chung als

Logv+ Logw=

log√ 2 +iπ

4

+

log√

2−i3π 4

= log 2−iπ 4

= Logvw.

Logv+ Logz =

log√ 2 +iπ

4

+ (log 2 +iπ)

= log 2√

2 +i5π 4

= log 2√ 2 +

−i3π 4

+ 2πi

= Logvz+ 2πi.

Also: Um den Hauptwert des Arguments von wz zu erhalten, muss die Addition bzw. Subtraktion von 2π von der Winkelsumme erfolgen.

Beim Logarithmus gibt es neben dem Hauptzweig noch eine diskrete Menge an Nebenzweigen. Beim Graphen erkennt man diese als nach oben und unten ange- fügte Schraubenflächen an den Hauptzweig. Der Haupt- und Nebenzweiggedanke überträgt sich auch auf die Definition der allgemeinen Potenz.

Definition: Der Hauptwert der allgemeinen Potenz wird definiert als a^z :=e^zLoga für a∈C\0, z ∈Cund als 0^z := 0 für z 6= 0.

Beispiel: Für den Hauptzweig des Logarithmus Log gilt (−1)¹² =e^12Log(−1) =e^{12(log 1+iπ)}=e^iπ2 =i.

Für den Nebenzweig Log +2πigilt dagegen (−1)¹² =e¹²(Log(−1)+2πi)

=e¹²(log 1+iπ+2πi) =e^3iπ2 =−i.

Das heißt, die Definition der Wurzelfunktion kann auch nicht eindeutig sein. Das erscheint auch plausibel, da beispielsweise eine Gleichung der Bauartz² =wgenau zwei Lösungen hat. Hier erhielten wir entsprechend je nach Definition des Logarith-

mus eine der beiden Lösungen von z² =−1.

Übungsaufgabe 3: Sei G ⊆ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f : G → C holomorph mit f(z) 6= 0 für alle z ∈ G. Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Wurzel von f gibt, d.h. eine holomorphe Funktion h : G → C mit h² =f.

Lösung: Nach Voraussetzung existiert ein Logarithmus logf von f auf G. Dann isth:=e^12logf ebenfalls holomorph aufGund es gilth² =e^logf =f. Wir wollen die Definition der Wurzelfunktion erläutern. Bedenkt man die Situati- on im Reellen, so kannz 7→z² nicht injektiv auf ganzCsein. Im Reellen haben wir daher f(x) = x² auf R^≥0 eingeschränkt, um f⁻¹(x) = √

x zu definieren. Analog erfolgt dies nun im Komplexen: f(z) =z² ist nicht injektiv auf C, aber surjektiv, denn zu jeder komplexen Zahl w existiert eine komplexe Zahl z mit z² =w nach Fundamentalsatz der Algebra. Ist dieseszeindeutig, so haben wir einen geeigneten Definitionsbereich für die Umkehrfunktion gefunden. Dadurch ergeben sich aber wieder verschiedene Zweige der Funktion.

Die Funktion z² verdoppelt die Winkel und quadriert die Beträge. Die Wurzel- funktion sollte also genau diese Operationen umkehren. Wir definieren daher den Hauptzweig auf D := {z = x +iy ∈ C|x > 0 oder (x = 0, y ≥ 0}. Dann ist z 7→z²|_D bijektiv.

Definition: Wir definieren den Hauptzweig der Wurzelfunktion als √

.:C→D mit w 7→^q|w|e^iArg(w)2 =e^12Logw. Der einzige Nebenzweig −√

. ist gegeben durch

−√

w:=^q|w|e^{iArg(w)2 +π}

Als leichte Übungsaufgabe kann man beispielsweise zeigen, dass Im(w) > 0 ⇒ Im(√

w) > 0 gilt. Die Wurzelfunktion ist wieder unstetig, doch ich kann eine holomorphe Wurzelfunktion, wie im Reellen durch Herausnehmen des Nullpunktes, definieren durch

g :C⁻→ {Re(z)>0} mit g(w) :=√

w und g⁰(w) = 1 2g(w) nach Ableitungsregel für die Umkehrfunktion im Komplexen.

Übungsaufgabe 4: Bestimmen Sie eine konforme Abbildung, die die längs der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene C auf das Innere des Einheitskreises D=D₁(0) abbildet.

Lösung: folgt in den Übungen!

Für die Berechnung einiger Integrale ist die Definition von Wurzel-, Logarithmus- funktionen usw., also Funktionen, die als Integrand mit Verzweigungssingularität auftreten, wichtig (siehe auch Übungsserie 10, Aufgabe 3). Zum Wiederholen und Üben daher die folgende Aufgabe:

Übungsaufgabe 5:

Z ∞ 0

1 (x+ 1)√

xdx= ?

Lösung: Selbstständig oder ggf. in den Übungen. (Wert des Integrals =π.)