Übungen zur Vorlesung

(1)

Prof. Dr. P. M. Wirtz Übungen zur Vorlesung SS 2001 Grundlagen der Statistik

(- 1 -) 1. Aufgabe:

Man zeige: ( A∩B^c)∪( A^c∩B )∪( A∩B ) = A∪B.

2. Aufgabe : Man zeige:

( )

[ ] ( )

( ) [( ) ( )]

A A B B A B

A B A B A B B A

\ \ \

∪ =

∩ = ∪ ∪

3. Aufgabe:

Es seienΩeine Menge und A, B∈P(Ω). Man zeige für diesymmetrische Differenz A∆B := ( A \ B )∪( B \ A )

a) A∆B = ( A∩B^c)∪(A^c∩B) = ( A∪B) \ ( A∩B ) b) A∆B = A^c∆B^c

c) ( A∆B )^c = ( A \ B^c)∪( B^c\ A ) = ( A∩B )∪( A^c∩B^c)

d) A∆B bedeutet, daßgenau einesder beiden Ereignisse A und B eintritt. Nun sei zusätzlich noch C∈P(Ω) gegeben. Bedeutet dann

A∆B∆C := ( A∆B )∆C = A∆( B∆C ) daß genau eines der drei Ereignisse A, B und C eintritt ?

Bem.: InBoolschen Algebrenwird die symmetrische Differenz auch alsausschließendes Oderbzw.Antivalenzbezeichnet.

4. Aufgabe:

Ein Elementarereignis bestehe im Auftreten eines Wortes mit vier Buchstaben. Es bedeute:

Ereignis A : "Die ersten beiden Buchstaben des Wortes sind Konsonanten"

Ereignis B : "Die drei letzten Buchstaben des Wortes sind Konsonanten".

Man drücke die Ereignisse A^c, A∩B, A^c∩B und A^c∪B^c verbal aus.

5. Aufgabe:

Beim Werfen eines weißen und eines roten Würfels stelle man folgende Ereignisse dar:

A: "Die Augenzahl des roten Würfels ist größer als die des weißen"

B: "Die Augensumme ist gerade"

C: "Das Produkt der beiden Augenzahlen ist < 5".

6. Aufgabe:

Gegeben seien Ω:=[0, 4]×[0, 4], A := {ω= (x, y)∈IR²|y≤x }, B := {ω= (x, y)∈IR²|y≤4 - ½x } und C := {ω= (x, y)∈IR²|y≥½x }.

Man stelle das Ereignis A∩B∩C graphisch dar.

7. Aufgabe:

Von den drei Ereignissen A, B und C trete

a) nur A e) genau zwei

b) genau eines f) mindestens zwei

c) höchstens eines g) mindestens eines nicht d) mindestens eines h) mindestens zwei nicht.

Man stelle diese Ereignisse mit Hilfe der Ereignisoperationen durch die Ereignisse A, B, C dar.

8. Aufgabe:

Man zeige:

(A∩B∩C^c)∪(A∩B^c∩C)∪(A^c∩B∩C)∪(A∩B∩C) = (A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C) 9. Aufgabe:

Bei einer Stellenausschreibung werden nach Möglichkeit englische, französische und russische Sprachkenntnisse verlangt. Von insgesamt 190 Bewerbern können 70 nur Englisch, 45 nur Französisch, 40 nur Russisch, 10 können Englisch und Russisch aber kein Französisch, 8 Englisch und Französisch aber kein Russisch, 5 Französisch und Russisch aber kein Englisch.

Wieviele Bewerber beherrschen alle drei Sprachen ? 10. Aufgabe:

Von 25 Studenten studiert jeder wenigstens eines der Fächer Biologie, Geographie, Chemie.

Biologie studieren insgesamt 14, Geographie 10. Genau 2 Studenten haben alle Fächer, genau 8 mindestens 2 der genannten Fächer belegt. Wieviele Studenten studieren Chemie ?

11. Aufgabe:

Es sei Ω:= {1, 2, 3}. Man gebe Beispiele fürσ-Algebren A auf Ω mit 2 <|A|< 8.

12. Aufgabe:

Man zeige, daß der Durchschnitt beliebig vielerσ-Algebren wieder eineσ-Algebra auf Ω ist.

13. Aufgabe:

Es sei Ω := {1, 2, 3, 4 , 5, 6}. Man konstruiere die kleinsteσ-Algebra auf Ω, welche von den Ereignissen {1} und {3, 5} erzeugt wird.

14. Aufgabe:

Die Ereignisse A und B aus einem Ergebnisraum Ω seien unvereinbar.

a) Man zeige: Die Menge S := {∅,Ω, A, A^c, B, B^c, A∪B, A^c∩B^c} bildet eine σ-Algebra A auf Ω.

b) Wie lautet A für A^c= B ?

(2)

(- 2 -) 1. Aufgabe:

Es sei {Ω,A, P} ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ferner sei eine Folge (A

n)_{n IN}_∈ von Ereignissen gegeben, die nicht notwendig unvereinbar sind.

Man zeige für k∈IN:

a) P A_i P A

i

i i

( )

=

∞

=

 ∞





 ≤ ∑

1 1

U (Boolsche Ungleichung)

b) P A_i P A

i k

ic i

k

(

=1 =1

I





 ≥ ¹ − ∑ ⁾ (Bonferronis Ungleichung)

c) P A_i P A P A A P A A A P A A A

i

k c c c c

k c

( = ( ) + ( ) + ( ) + + ( k

=1

U ⁾ 1 1 ∩ 2 1 ∩ 2 ∩ 3 ⋅⋅⋅ 1 ∩^... ∩ ₋1 ∩ ⁾

2. Aufgabe:

Es sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. A und B seien Ereignisse, für die gilt : P(A) = p; P(B) = q; P(A∪B) = r.

Man drücke mithilfe der Zahlen p, q und r die folgenden Wahescheinlichkeiten aus:

a) P(A∩B) b) P(A∩B^c) c) P(A^c∩B) d) P(A^c∩B^c) e) P(A∪B^c) f) P(A^c∪B) g) P(A \ B) h) P(B \ A).

3. Aufgabe:

Es sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

( )

Ai i IN∈ und

( )

Bi i IN∈ seien zwei Folgen von Ereignissen mit :

( ) ( )

:

=

Ai Ai und Bi Bi i IN

Man zeige i P A

i i i

P Ai ii P B

i i

P Bi

i

⊆ + ⊇ + ∀ ∈

 ∞









 =

→ ∞











 =

= → ∞

∞

1 1

.

) U lim ) I lim .

4. Aufgabe:

Sei (Ω,A) ein meßbarer Raum und ω₀∈ Ω. Man zeige: Die Abbildung δω0: A → IR mit δω ( ) ω

0 ω

1 0

0 0

A A

A für :

,

= , ∈

∉







A∈A

ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω. δω0 heißt das auf ω₀ konzentrierteDirac-Maß.

5. Aufgabe:

Gegeben seien ein Parallelrechner mit 5 Prozessoren und 3 voneinander nicht unterscheidbaren Jobs.

a) Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, diese Jobs auf die einzelnen Prozessoren zu verteilen, wenn jedem Prozessor höchstens ein Job zugeteilt werden darf ? b) Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, daß die ersten drei Prozessoren bei der obigen

Zuteilung insgesamt 2 Jobs und die restlichen beiden einen Job erhalten ?

c) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das in b) beschriebene Ereignis bei einer zufälligen Verteilung der Jobs auftritt ?

6. Aufgabe:

Gegeben seien ein Parallelrechner mit n > 1 Prozessoren und k∈ IN voneinander nicht unterscheidbare Jobs.

a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, diese Jobs auf die einzelnen Prozessoren zu verteilen, wenn jedem Prozessor auch mehrere Jobs zugeteilt werden dürfen ?

b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß

i) der erste Prozessor keinen ii) jeder Prozessor mindestens einen iii) mindestens ein Prozessor keinen iv) genau ein Prozessor keinen Job zugeteilt bekommt.

c) Nun seien n = 4 und k = 10. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der erste Prozessor 3, der zweite 4, der dritte 2 und der vierte 1 Job(s) zugeteilt bekommt.

7. Aufgabe:

In einem Hörsaal befinden sich n Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß i) mindestens zwei am selben Tag bzw.

ii) genau zwei am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, wenn Schaltjahre nicht berücksichtigt werden ?

Zusatzfrage(für Spezialisten) : Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit in i), wenn Schalt- jahre berücksichtigt werden ?

8. Aufgabe:

Eine Urne U₁enthält 4 weiße und 6 rote Kugeln, eine andere Urne U₂enthält 6 weiße und x rote.

Eine der beiden Urnen werde zufällig ausgewählt und daraus eine Kugel gezogen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die gezogene Kugel rot ist ? b) Eine rote Kugel wurde gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstammt sie U

1? c) Die 16 + x Kugeln beider Urnen werden zusammengelegt. Wie groß ist die

Wahrscheinlichkeit dafür, daraus eine rote Kugel zu ziehen ?

d) Wie groß muß x sein, damit die in c) ermittelte Wahrscheinlichkeit gleich der Wahrscheinlichkeit, aus U

1 eine rote Kugel zu ziehen, ist ?

(3)

(- 3 -) 1. Aufgabe:

Eine Firma produziert Fernsehapparate. Mit Wahrscheinlichkeit 0.04 ist ein produziertes Gerät fehlerhaft. Bei der Endprüfung zeigt das Prüfgerät bei fehlerhaften Fernsehapparaten mit Wahrscheinlichkeit 0.8 und bei einwandfreien mit Wahrscheinlichkeit 0.1 einen Ausschlag. Ein zufällig ausgewählter Apparat werde geprüft, wobei das Prüfgerät nichts anzeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Apparat fehlerhaft bzw. fehlerfrei ?

2. Aufgabe: (Ziegenproblem)

Man nehme an, daß in einer Spielshow im Fernsehen zum Schluß nur noch ein Kandidat übrig ist, der eine von drei geschlossenen Türen auswählen soll. Hinter einer Tür wartet der Hauptpreis, ein Auto, hinter den beiden anderen Türen stehen Ziegen. Der Kandidat zeigt auf eine Tür, sagen wir Nummer 1. Sie bleibt vorerst verschlossen. Der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, öffnet eine andere Tür, z. B. Nummer 3, und eine Ziege schaut ins Publikum. Der Kandidat erhält nun die Möglichkeit, bei seiner ursprünglich gewählten Tür zu bleiben oder zu Tür 2 zu wechseln. Wie soll er sich entscheiden ? Oder anders ausgedrückt : Gibt es aus stochastischer Sicht berechtigte Gründe, bei der gewählten Tür zu bleiben bzw. die Tür zu wechseln, oder sind die Wahrscheinlichkeiten, den Preis hinter Tür 1 bzw. 2 zu finden, nach wie vor identisch ?

3. Aufgabe:

60 % einer Bevölkerung seien Frauen, 40 % Männer. 5 % der Männer und 1 % der Frauen leiden an Diabetes.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig aus dieser Bevölkerung ausgewählte Person an Diabetes erkrankt ist ?

b) Sind die Ereignisse″eine Person ist an Diabetes erkrankt″und″eine Person ist weiblich″

stochastisch unabhängig ?

c) Eine zufällig ausgewählte Person sei an Diabetes erkrankt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person männlich bzw. weiblich ? 4. Aufgabe:

Man nehme an, daß 1 % aller Menschen an einer bestimmten Krankheit leiden. Ein diagnostischer Test besitze die Eigenschaft, daß er bei Kranken mit Wahrscheinlichkeit 0.95 und bei Gesunden mit Wahrscheinlichkeit 0.999 die richtige Diagnose stellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person, bei der auf Grund des Tests eine Krankheit (nicht) diagnostiziert wird, auch tatsächlich an dieser Krankheit (nicht) leidet ?

5. Aufgabe:

Ein Gerät bestehe aus zwei Bauteilen T₁ und T₂, die in Reihe angeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Bauteil T₁bzw. T₂während einer bestimmten Zeitdauer intakt bleibt, sei p₁bzw. p₂. Die Zuverlässigkeit des Systems soll durch das Hinzuschalten gleichartiger Bauteile T₁’ bzw. T₂’ erhöht werden. Dafür kommen zwei verschiedene Methoden in Frage, die miteinander verglichen werden sollen:

Methode I: Zu dem System wird ein identisches System als Reserve parallelgeschaltet:

T₁ T₂

T₁´ T₂´

Methode II: Zu jedem Bauteil wird ein identisches Bauteil als Reserve parallelgeschaltet:

T₁ T₂

T₁´ T₂´

Man vergleiche die beiden Methoden, indem man unter geeigneten Annahmen die Wahrscheinlichkeiten P_Ibzw. P_IIdafür berechnet, daß das nach der Methode I bzw. Methode II veränderte Gerät während der festgelegten Zeitdauer intakt bleibt.

6. Aufgabe:

Bei der Übertragung auf einem binären Kanal kommen die ZeichenOundLim Verhältnis 3 : 4 vor. Ein O wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.2 fehlerhaft übermittelt (d.h. als L empfangen), einLmit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 (d.h. alsOempfangen).

a) Man gebe eine geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P ) an

b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei der Übertragung eines Zeichens ein Fehler auftritt

c) Man berechne mithilfe desSatzes von der totalen Wahrscheinlichkeitdie Wahrschein- lichkeit dafür, daß einOempfangen wird, und veranschauliche den Rechenweg durch einBaumdiagramm

d) Man berechne mithilfe desSatzes von Bayesdie Wahrscheinlichkeit dafür, daß tatsächlich

i) einOgesendet wurde, wenn einOempfangen wird bzw.

ii) einLgesendet wurde, wenn einLempfangen wird.

Zusatzfrage : Man nehme nun an, daß der Kanal aus drei Relais R₁, R₂ und R₃ bestehe, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von α ∈(0, 1) ein ankommendesOin einLbzw. mit einer Wahrscheinlichkeit von β ∈(0, 1) ein ankommendesL in einOverwandeln :

O L







 →→ R₁ →→ R₂ →→ R₃ →→ O L







 Man bestimme α und β so, daß wieder die obigen

Fehlerwahrscheinlichkeiten bei der gesamten Übertragung vorliegen.

(4)

(- 4 -) 1. Aufgabe:

Bei einem Gesellschaftsspiel werden 10 Personen in zufälliger Reihenfolge aufgestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht Herr Meier neben seiner Gattin ?

2. Aufgabe:

Bei einer Feier stößt jeder der 8 Teilnehmer mit dem Weinglas mit jedem Teilnehmer an. Wie oft klingen dabei die Gläser ?

3. Aufgabe:

Ein Mann kommt im angetrunkenen Zustand nach Hause. Er hat N ähnliche Schlüssel in seiner Tasche und versucht, die Haustür folgendermaßen zu öffnen: Er wählt zufällig einen Schlüssel aus. Wenn der Schlüssel nicht paßt, legt er ihn wieder zu den anderen Schlüsseln zurück. Dieses Experiment wiederholt er so lange, bis der entsprechende Schlüssel paßt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt er höchstens M Versuche, um die Tür zu öffnen ? Dabei handele es sich um ein Bernoulli-Experiment.

4. Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit, daß eine an einer bestimmten Krankheit leidende Person durch ein bestimmtes Medikament geheilt werde, sei 0.8. Das Medikament werde 10 Patienten verabreicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 8 der 10 Patienten geheilt ? Dabei sei vorausgesetzt, daß die Heilerfolge voneinander unabhängig sind und die Heilungswahrscheinlichkeit bei allen Patienten gleich 0.8 ist.

5. Aufgabe:

Wie oft muß man einen Laplace-Würfel unabhängig werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 wenigstens einmal Augenzahl 6 zu werfen ?

6. Aufgabe:

Nach Einnahme eines bestimmten Medikamentes treten bei einer Person mit Wahrscheinlichkeit p = 0.04 Nebenwirkungen auf. Das Medikament werde n = 5 Personen verabreicht. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl derjenigen unter den 5 Personen, bei denen die Nebenwirkung auftritt. Unter der Voraussetzung, daß es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt, bestimme man P( X = k ) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

7. Aufgabe:

Man zeige:Sind X ~ BIN(n₁, p) und Y ~ BIN(n₂, p) unabhängige binomialverteilte Zufallsvaria- blen, so ist X + Y ebenfalls binomialverteilt mit X + Y ~ BIN (n₁+ n₂, p).

Hinweis: Man berechne P(X + Y = k) für k∈{0, 1, ... , n₁+ n₂} unter Verwendung der Identität

1 2 1 + 2

n i

n

k i

n n

i k

k 

 

 ⋅

−



 

 = 

 

= 

∑0

(Vandermondesche Faltungsformel)

8. Aufgabe:

Leiten Sie eine entsprechende Aussage wie in der vorigen Aufgabe für zweiunabhängige, Poisson- verteilte Zufallsvariable X ∼ POI (λ₁) und Y ∼ POI (λ₂) her.

9. Aufgabe:

RutherfordundGeigerbeobachteten in n = 2608 Zeitabschnitten zu je 7.5 s Dauer die Anzahl der emittiertenα-Teilchen eines radioaktiven Präparates. Das Ergebnis der Beobachtungen zeigt folgende Tabelle :

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ni 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16

Unter der Annahme, daß die Zufallsvariable X = " Anzahl der emittiertenα-Teilchen pro Zeit

intervall " einerPoisson-Verteilunggenügt, vergleiche man die beobachteten relativen Häufigkeiten mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

10. Aufgabe:

Das Ergebnis eines Roulette-Spieles ist eine der Zahlen 1 bis 36 und die 0, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Man kann bei einfacher Gewinnchance auf die geraden Zahlen {2, 4, ... , 36} oder die ungeraden {1, 3, ... , 35} setzen. Ein Spieler setze immer auf die geraden Zahlen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er bei 10 Spielen genau zwei- bzw. dreimal Erfolg hat ?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p_kdafür, daß der Spieler beim k-ten Spiel (k∈IN) zum ersten Erfolg kommt für k = 1, 2, 3 und 10 ?

c) Das Einsatzlimit betrage DM 5.000. Der Spieler beginnt mit einem Einsatz von DM 5 und nimmt sich vor, bei Verlust seinen Einsatz im jeweils nächsten Spiel zu verdoppeln und bei Gewinn aufzuhören. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er wegen Überschreitung des Limits aufhören muß,bevorer einen Gewinn realisieren kann ?

(5)

Prof. Dr. P. M. Wirtz Übungen zur Vorlesung SS 2001

Grundlagen der Statistik

(- 5 -) Aufgabe:

Ein idealer Würfel werde so lange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. Man betrac hte die folgende Zufallsvariable X:

X: = 0 _k , falls mehr als 3 Wü rfe erforderlich sin d , falls k Würfe mit k 3 erforder lich sind.

10⁴⁻ ≤





Man bestimme den Erwartungswert E(X) und die Varianz VAR(X) von X.

Aufgabe:

Eine Schachtel enthält 10 Geräte, von denen 3 defekt sind. Ein Gerät wird zufällig aus der Schachtel genommen und geprüft. Ist es defekt, so wird es weggeworfen, und das nächste Gerät wird aus der Schachtel genommen und geprüft. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis ein Gerät gefunden wird, das in Ordnung ist. Man berechne Erwartungswert und Streuung der Zufallsvariablen X, welche die Anzahl der Geräte beschreibt, die geprüft werden müssen, bis ein brauchbares gefunden wird.

Aufgabe:

Beim Werfen einer idealen Münze spielt ein Spieler folgendermaßen: Er setzt sein Geld immer auf "Zahl", und falls "Wappen" erscheint, spielt er beim nächsten Mal mit doppelter Summe wie beim vorigen Wurf, sonst hört er auf und kassiert den Gewinn, der gleich dem doppelten Einsatz für das betreffende Teilspiel ist.

Man berechne den Erwartungswert und die Varianz der Gewinnvariablen X, falls a) der Spieler über beliebig viel Kapital verfügt bzw.

b) der Spieler pro Serie höchstens 31 Einheiten einsetzen kann.

Aufgabe:

Die Funktion f_c sei gegeben durch

f x c x x

sonst

c( ) : = + ,

, .

1

2 0 1

0

⋅ ≤ ≤







a) Man bestimme c∈IR so, daß f_c eine Dichte ist.

b) Man bestimme für das geeignete c die Verteilungsfunktion F

X(x) =P(X≤x) und zeichne sowohl f

c als auch F

X. Aufgabe:

Ein Teilchen bewege sich entlang einer Ursprungsgeraden, wobei der Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse θ sei. Ein Zufallsexperiment bestehe darin, daß der Winkel θ zufällig aus dem Intervall (-π/2, π/2) gewählt wird. Das Teilchen starte im Ursprung des Koordinatensystems. Definiert man die Zufallsvariable X durch X (θ) := a⋅tan (θ), so ist X (θ) gleich dem Ordinatenwert des Schnittpunktes des Teilchens mit der vertikalen Geraden x = a.

Man berechne die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion f der Zufallsvariablen X.

x = a⋅tan (θ)

X(θ) θ

0

a Aufgabe:

Die Dichtef der Zufallsvariablen X sei gegeben durch:

f x

x x

sonst ( ) : =

1

4⋅ ≤ ≤

− ⋅ ≤ ≤













, ,

, .

0 2

1 1

4 2 4

0

Man begründe, daß f eine Dichtefunktion ist und zeige, daß f symmetrisch ist und bestimme die Symmetrieachse. Ferner bestimme man E(X) und VAR(X) einer Zufallsvariablen, die durch f gegeben ist.

Aufgabe:

Die diskrete Zufallsvariable X besitze die folgende Verteilung:

x_i -3 0 1 2 3

P(X=x_i) 0.1 0.15 0.1 0.25 0.4

Man bestimme

a) Die Verteilungsfunktion F_X b) P(X > 0)

c) E(X) d) VAR(X).

Aufgabe:

Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich W(X) = {x

1, x

2, ... } = IN und E(X) < ∞.

Man zeige: E X P X i

i

( ) = ( > )

=

∑∞ 0

.

Aufgabe:

Es sei X ∼N (3, 0.25). Man berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten : a) P( 2.5 < X≤4 ) b) P( | X | > 3 )

c) P( | X - 2 |≤1 ) d) P( | X - 3 | < 0.5 ).

Aufgabe:

Die Körpergröße erwachsener Männer kann als eine N (180, 49)-verteilte Zufallsgröße angesehen werden.

Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufällig ausgewählter Mann i) höchstens 190 cm groß ist

ii) mindestens 175 cm groß ist

iii) zwischen 175 cm und 185 cm groß ist.

(6)

Prof. Dr. P. M. Wirtz Übungen zur Vorlesung SS 2001 Grundlagender Statistik

(- 6 -) Aufgabe :

Die ausfallfreie Betriebszeit X (in Jahren) von Bauelementen einer bestimmten Sorte habe die Dichtefunktion

f x x x x

( ) := ( ) , x>

0 , .

⋅ −

≤





exp 0

0

a) Man bestimme die mittlere ausfallfreie Betriebszeit eines solchen Bauelementes.

b) Ein Gerät enthält zwei derartige Bauelemente, dieunabhängigvoneinander arbeiten.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens eines der Bauelemente mindestens ein halbes Jahr ausfallfrei arbeitet ?

Aufgabe:

Zur Bearbeitung von n voneinanderunabhängigenJobs in einem Parallelrechner werden diese auf n freie Knoten verteilt, wobei die Bearbeitungszeit X

i von Job i als EXP(λ_i)-verteilt angenommen wird.

a) Man bestimme die Verteilungsfunktion der gesamten Bearbeitungszeit X X

i n i

: max= _{≤ ≤}

1 ,

wenn die Bearbeitung beendet wird, sobaldalleJobs vollständig abgearbeitet sind.

b) Man bestimme die Verteilungsfunktion der gesamten Bearbeitungszeit Y X

i n i

:=min

≤ ≤

1 ,

wenn die Bearbeitung beendet wird, sobaldeinJob abgearbeitet ist.

c) Wie groß ist die mittlere Bearbeitungszeit E(Y) ?

d) Wie groß ist die mittlere Bearbeitungszeit E(X) im Spezialfall λ₁=λ₂= ... =λ_n? e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Gesamtzeit X (bzw. Y)

i) zwischen 15 und 25 [ms] ii) unter 15 [ms] iii) unter 10 [ms]

wenn n = 5 Jobs zur Bearbeitung anstehen und die mittlere Bearbeitungszeit pro Job auf 20 [ms] geschätzt wird ?

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X besitze die Dichte

[ ]

f x x c x x

x

c( ) := ,

, ,

1

2 0 4

0 0 4

⋅ − ⋅ ≤ ≤

∉





 .

Man bestimme

a) die Konstante c∈IR b) die Verteilungsfunktion F

X sowie die Wahrscheinlichkeit P(1≤ X ≤ 2) c) E(X) und VAR(X).

Aufgabe:

Bei einer Jahrmarktslotterie kann man auf eine der Zahlen 1, 2, ... , 6 setzen. Falls beim Wurf dreier Würfel die gewählte Zahl genau k mal erscheint (k = 1, 2, 3), so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich das k-fache seines Einsatzes. Erscheint die gewählte Zahl nicht, so ist der Einsatz verloren. Man berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns.

Aufgabe:

Die Verteilung einer Zufallsvariablen X sei gegeben durch

P X( = i) = c i ,i IN mit c = ( i ) = 6 .

i=1

⋅ ⁻² ∈ ∑^∞ ⁻² -¹ ⋅^π⁻²

Man zeige, daß X einen Erwartungswert, aberkeineVarianz besitzt.

Aufgabe:

Es sei X eine Zufallsvariable mit dem Wertebereich W(X) ⊆ [0, 12] und dem Erwartungs- wert E(X) = 10 und der Varianz VAR(X) = 0.45. Man schätze P ( X≤7 ) nach oben ab.

Aufgabe :

Die Lebensdauer X elektrischer Bauteile einer bestimmten Sorte (in Stunden) seiexponen- tialverteilt mit Parameter λ= 1/500, d.h. also X ∼ EXP( 1/500).

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t

0= 200 nichtausfällt ?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t₁= 100 ausfällt ?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Bauteil zwischen den Zeitpunkten t2= 200 und t

3= 300 ausfällt ? d) Welchen Zeitpunkt t

4 überlebt ein Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 ? Aufgabe:

Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) besitze die folgende Verteilung:

yj

xi

1 2 3

1 0.1 0.2 0.3

2 0 0.2 0.2

a) Man berechne E(X), E(Y), VAR(X) und VAR(Y). Sind X und Yunabhängig? b) Man bestimme die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Variablen

X+Y.

c) Man bestimme die Verteilung und den Erwartungswert der Variablen X · Y.

(7)

(- 7 -) Aufgabe:

Man ergänze die Werte der Verteilung der zweidimensionalen Zufallsvariablen (X, Y) in der folgenden Tabelle unter der Annahme, daß X und Y unabhängigsind :

Y 1 2 3 p_{i •}

X

-1 0.06

0 0.03

1 0.50

p_{• j} 0.30

Man bestimme ferner E (X · Y) und untersuche, ob X und Y unkorreliert sind.

Aufgabe:

Zwei Spieler A und B ziehen (unabhängigvoneinander) aus einem gut durchmischten Skatspiel (32 verschiedene Karten, eine davon ein Herz-As, eine zweite ein Karo-As) abwechselnd eine Karte ohne Zurücklegen. Spieler A beginnt. Wer zuerst das Herz-As oder das Karo-As zieht, hat gewonnen. Ist nach dem Ziehen der 5. Karte noch kein Sieger ermittelt, so wird das Spiel beendet.

a) Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der in einem Spiel gezogenen Karten. Man bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen X und skizziere ihre Verteilungsfunktion.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p_Abzw. p_B, daß Spieler A bzw. Spieler B gewinnt ? Aufgabe:

Die Zufallsvariablen X und Y seien diskret verteilt mit den Werten 1, 2, 3, 4 bzw. 0, 1, 2, 3.

Y sei BIN(3, 0.5)-verteilt. Die folgende Tabelle enthält diebedingtenWahrscheinlichkeiten P( X = i | Y = k ) für i = 1, 2, 3, 4 und k = 0, 1, 2, 3 :

i 1 2 3 4

k

0 ¼ ¼ ½ 0

1 ¼ ¼ ¼ ¼

2 ¼ ¼ 0 ½

3 0 ¼ ½ ¼

a) Man berechne die Wahrscheinlichkeiten P( X = i, Y = k ) für i = 1, 2, 3, 4 und k = 0, 1, 2, 3.

b) Man berechne die Erwartungswerte und die Varianzen der Zufallsvariablen X und Y.

c) Welchen Wert besitzt die Kovarianz COV(X, Y) ?

d) Man berechne die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Z = X + Y.

Aufgabe:

Zwei Züge, X und Y, treffenunabhängigvoneinander zu einem auf dem Zeitintervall zwischen 0:00 Uhr und 0:20 Uhr gleichverteilten Zeitpunkt in einem Bahnhof ein. Zug X hält 5 Minuten, und Zug Y hält 4 Minuten im Bahnhof an.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Zug X vorZug Y im Bahnhof eintrifft ? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich die Züge im Bahnhof treffen ? c) Unter der Annahme, daß sich die beiden Züge treffen, bestimme man die Wahrschein-

lichkeit dafür, daß Zug X vor Z ug Y eintrifft.

Aufgabe:

Ein Automat produziere Schrauben. Im Durchschnitt seien 10 % der Produktion unbrauchbar. Aus der Produktion werden 400 Schrauben zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter diesen 400 Schrauben

a) mindestens 30, aber höchstens 50 unbrauchbare bzw.

b) mindestens 55 unbrauchbare sind ? (Hinweis:Φ(1.75) = 0.96, Φ(2.42) = 0.992 ) Aufgabe:

Wie oft muß eine ideale Münzemindestens geworfen werden, damit mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 die Zufallsvariable der relativen Häufigkeit für das Ergebnis ‘Wappen’

von p = 0.5 um höchstens

a) 0.01 b) 0.001 abweicht ?

Aufgabe:

Es seien X

1, ... , X

1000unabhängige,identisch verteilteZufallsvariable mit der Verteilung

x_i 1 3 6 11

P( X =x_i) 0.2 0.25 0.4 0.15

Man bestimme unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß die Zufallsvariable

S Xi

i 1000

1 1000

:=

∑=

Werte zwischen 4820 und 5180 annimmt.

Aufgabe:

Bei der Messung der Körpergröße (in cm) von n = 20 männlichen Schülern ergaben sich die folgenden Meßwerte :

149 147 158 165 153 153 168 158 163 159

177 175 163 170 162 162 170 153 147 157

Man skizziere die empirische Verteilungsfunktion der angegebenen Meßreihe und zeiche ein Histogramm, wobei folgende Klasseneinteilung zu wählen ist :

( 145, 150 ], ( 150, 155 ], ... , ( 175, 180 ].

Ferner berechne man zu der oben angegebenen Meßreihe die folgenden statistischen Maßzahlen:

a) empirischer Mittelwert b) empirischer Median c) empirische Varianz und Streuung d) Quartilabstand.

(8)

(- 8 -) 1. Aufgabe:

Bei der jährlichen Messung des Wasserverbrauches (in m³) von n = 18 Haushalten ergaben sich die folgenden Werte :

121 140 216 84 70 104 119 208 181

137 92 142 111 96 150 99 127 131

Zur angegebenen Meßreihe berechne man a) den empirischen Mittelwert b) den empirischen Median c) die Spannweite

d) die empirische Varianz und die Standardabweichung e) das 0.1-Quantil

f) den Quartilabstand.

2. Aufgabe:

Es sei x₁, ... , x_n eine Meßreihe undx der zugehörige empirische Mittelwert.

a) Man zeige: Transformiert man die Meßwerte linear, d.h. gemäß y_i:= a + b⋅x_i, so gilt für den empirischen Mittelwerty der transformierten Werte:

y = a + b⋅x

b) Auf einer Tropeninsel wurden in den letzten beiden Juliwochen jeweils morgens zur gleichen Zeit die folgenden Lufttemperaturen (in°Farenheit) gemessen :

78 82 81 82 80 83 77

81 79 79 83 78 78 79

Man berechne die Durchschnittstemperatur, d.h. den arithmetischen Mittelwert der gemessenen Werte, und zwar in°Farenheit und in°Celsius.

(Hinweis: x [°C ] = 5/9⋅( x - 32 ) [°F ] ) 3. Aufgabe:

Gegeben sei eine Meßreihe x₁, ... , x_nmit dem arithmetischen Mittelwertx und dem Median x^~. Die Funktionen f: IR→ IR und g: IR → IR seien definiert durch :

( )

f x _i x und g x x x

i n

i i

n

( ) : = x − ( ) : = −

= =

∑ ² ∑

1 1

Man zeige: a) f hat bei x =x ein absolutes Minimum.

b) ghat bei x = x^~ ein absolutes Minimum.

4. Aufgabe:

Es soll die Anzahl N der Fische in einem See geschätzt werden. Hierzu wird folgendermaßen vorgegangen:

i) Es werden 1000 Fische gefangen. Jeder gefangene Fisch wird markiert und anschließend wieder im See ausgesetzt.

ii) Nach einiger Zeit werden aus dem See 500 Fische gefangen, unter denen sich 50 mar- kierte befinden.

Man bestimme aufgrund dieses Ergebnisses einen Schätzwert für N ? 5. Aufgabe:

Ein Fahrkartenkontrolleur überprüft täglich auf unterschiedlichen Regensburger Buslinien die Fahrkarten der Fahrgäste. Er überprüft jeweils so lange, bis er einen Schwarzfahrer erwischt. Nach dem Kassieren des fälligen Bußgeldes beginnt er nach einer Pause mit einer erneuten Überprüfung.

Die folgenden Zahlen geben an, wieviele Fahrgäste bei insgesamt 10 solchen Überprüfungen jeweils kontolliert wurden, bis ein Bußgeld verhängt wurde :

42 50 40 64 30 36 68 42 46 48

Ist X die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die kontrolliert werden, bis ein Schwarzfahrer angetroffen wird, so kann angenommen werden, daß

( ) ( )

P Xθ = n = 1− θⁿ⁻¹⋅θ

gilt, wobeiθ ⋅100 % als prozentualer Anteil der Schwarzfahrer unter allen Fahrgästen interpre-tiert werden kann.

Man bestimme aufgrund der konkreten Stichprobe einenMaximum-Likelihood-Schätzer fürθ.

6. Aufgabe:

Ein Anthropologe untersucht einen bestimmten Volksstamm. Er vermutet, daß die Männer die-ses Stammes aufgrund der Zivilisationseinflüsse jetzt größer werden als früher. Ältere Untersu-

chungen ergaben, daß die Körpergröße annähernd normalverteilt ist mit σ₀= 15 (cm).

a) Man berechne unter der Annahme, daß die Streuung gleich geblieben ist, wieviele Männer mindestens gemessen werden müssen, damit die Länge des Konfidenzinter- valles zum Niveau 1 -α= 0.95 für µ höchstens 2 cm beträgt.

b) 1000 zufällig ausgewählte Männer besitzen eine mittlere Körpergröße von 172.5 cm.

Man berechne hieraus ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 -α= 0.95 für µ.

7. Aufgabe:

12 landwirtschaftliche Versuchsflächen wurden mit einer neuen Weizensorte bestellt. Diese Flächen erbrachten folgende Hektarerträge (in dz) :

35.6 33.7 37.8 31.2 37.2 34.1 35.8 36.6 37.1 34.9 35.6 34.0 Unter der Annahme, daß die Hektarerträge als eine Realisierung unabhängiger, N(µ, 3.24)-ver- teilter Zufallsvariablen angesehen werden können, bestimme man ein konkretes Schätzintervall für den unbekannten Parameterµ zum Konfidenzniveau 0.95.

(9)

Prof. Dr. P. M. Wirtz

Übungen zur Vorlesung

WS 2000/2001

Grundlagen der Statistik

Übungsblatt 2

Aufgabe 1:

Es sei ( Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. A und B seien Ereignisse, für die gilt : P (A) = p; P (B) = q; P (A ∪ B) = r.

Man drücke mithilfe der Zahlen p, q und r die folgenden Wahescheinlichkeiten aus:

a) P (A ∩ B) b) P (A ∩ B^c) c) P (A^c ∩ B) d) P (A^c ∩ B^c) e) P (A ∪ B^c) f) P (A^c ∪ B) g) P (A \ B) h) P (B \ A).

Aufgabe 2:

Es sei ( Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

( )

^Ai i ∈IN und

( )

^Bi i ∈IN seien zwei Folgen von Ereignissen mit :

( ) ( )

:

=

Ai A

i und B

i B

i i IN

Man zeige i P A i

i i

P Ai ii P B

i i

P Bi

i

⊆ + ⊇ + ∀ ∈

 ∞









 =

→ ∞











 =

=

→ ∞

∞

1 1

1

.

) _U lim ) _I lim .

Aufgabe 3:

Sei ( Ω, A ) ein meßbarer Raum und ω₀ ∈ Ω. Man zeige : Die Abbildung δω₀^:^A^{→ IR} mit

δω

( )

ω

0 ω

1 0

0 0

A

A für

:

,

= , ∈

∉







A ∈A

ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω. δω₀ heißt das auf ω₀ konzentrierte Dirac-Maß. Aufgabe 4:

Gegeben seien ein Parallelrechner mit 5 Prozessoren und 3 voneinander nicht unterscheidbaren Jobs.

a) Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, diese Jobs auf die einzelnen Prozessoren zu verteilen, wenn jedem Prozessor höchstens ein Job zugeteilt werden darf ?

b) Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, daß die ersten drei Prozessoren bei der obigen Zuteilung insgesamt 2 Jobs und die restlichen beiden einen Job erhalten ?

c) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das in b) beschriebene Ereignis bei einer zufälligen Verteilung der Jobs auftritt ?

Aufgabe 5:

Gegeben seien ein Parallelrechner mit n > 1 Prozessoren und k ∈ IN voneinander nicht unterscheidbare Jobs.

a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, diese Jobs auf die einzelnen Prozessoren zu verteilen, wenn jedem Prozessor auch mehrere Jobs zugeteilt werden dürfen ?

(10)

b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß

i) der erste Prozessor keinen ii) jeder Prozessor mindestens einen iii) mindestens ein Prozessor keinen iv) genau ein Prozessor keinen Job zugeteilt bekommt.

c) Nun seien n = 4 und k = 10. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der erste Prozessor 3, der zweite 4, der dritte 2 und der vierte 1 Job(s) zugeteilt bekommt.

Aufgabe 6:

Zur Bearbeitung von 6 Jobs J₁, ... , J₆ auf einer Workstation stehen zwei Verfahren zur Auswahl:

a) Im Einprogrammbetrieb werden die Jobs zunächst in zufälliger Reihenfolge in eine Tabelle eingetragen und anschließend gemäß der Tabellenposition nacheinander bearbeitet.

Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß J₃ und J₅ in der Tabelle zufällig nebeneinander angeordnet werden.

b) Im Mehrprogrammbetrieb werden die Jobs zunächst in zufälliger Reigenfolge hintereinander angeordnet und anschließend nacheinander jeweils eine vorgegebene Zeitdauer lang bearbeitet. Die Bearbeitung wird solange zyklisch fortgesetzt, bis alle Jobs abgearbeitet sind (sog. Zeitscheibenverfahren).

Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß J₃ und J₅ auf der Zeitscheibe zufällig nebeneinander angeordnet werden.

Aufgabe 7:

Es sei {Ω, A, P} ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ferner sei eine Folge (A_n)_{n IN}_∈ von Ereignissen gegeben, die nicht notwendig unvereinbar sind.

Man zeige für k ∈^IN:

a) P A_i P A

i

i i

( )

=

∞

=

 ∞

 

 ≤

∑

1 1

U

⁽Boolsche Ungleichung)

b) P A_i P A

i k

i c i

k

(

=1 =1



I

 

 ≥ ¹ −

∑

) (Bonferronis Ungleichung)

c) P A_i P A P A A P A A A P A A A

i k

c c c c

k c

( = ( ) + ( ) + ( ) + + ( k

U

=1 ⁾ ¹ ¹ ^∩ ² ¹ ^∩ ² ^∩ ³ ^⋅⋅⋅ ¹ ^∩ ^... ^∩ ⁻¹ ^∩ ⁾

Aufgabe 8:

In einem Hörsaal befinden sich n Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß i) mindestens zwei am selben Tag bzw.

ii) genau zwei am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, wenn Schaltjahre nicht berücksichtigt werden ?

Zusatzfrage (für Spezialisten) : Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit in i), wenn Schaltjahre berücksichtigt werden ?