i =∞ 1 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Statistik

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Grundlagen der Statistik

Übungsblatt 2

Aufgabe 1:

Es sei ( Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. A und B seien Ereignisse, für die gilt : P (A) = p; P (B) = q; P (A ∪ B) = r.

Man drücke mithilfe der Zahlen p, q und r die folgenden Wahescheinlichkeiten aus:

a) P (A ∩ B) b) P (A ∩ B^c) c) P (A^c ∩ B) d) P (A^c ∩ B^c) e) P (A ∪ B^c) f) P (A^c ∪ B) g) P (A \ B) h) P (B \ A).

Aufgabe 2:

Es sei ( Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

( )

und ( )

seien zwei Folgen von Ereignissen mit :

( ) ( )

:

=

i und B

i B

i i IN

Man zeige i P A i

i i

P Ai ii P B

i i

P Bi

i

⊆ + ⊇ + ∀ ∈

 ∞









 =

→ ∞











 =

=

∞

1 1

1 1

.

)

lim )

lim .

Aufgabe 3:

Sei ( Ω,

) ein meßbarer Raum und ω

∈ Ω. Man zeige : Die Abbildung δω ₀ ^:

^{→ IR} mit

δω ( ) ω

0 ω

1 0

0 0

A

A

A für

:

,

=

,

∉







A

ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω. δω ₀ heißt das auf ω

konzentrierte

.

Gegeben seien ein Parallelrechner mit 5 Prozessoren und 3 voneinander nicht unterscheidbaren Jobs.

a) Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, diese Jobs auf die einzelnen Prozessoren zu verteilen, wenn jedem Prozessor höchstens ein Job zugeteilt werden darf ?

b) Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, daß die ersten drei Prozessoren bei der obigen Zuteilung insgesamt 2 Jobs und die restlichen beiden einen Job erhalten ?

c) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das in b) beschriebene Ereignis bei einer zufälligen Verteilung der Jobs auftritt ?

Aufgabe 5:

Gegeben seien ein Parallelrechner mit n > 1 Prozessoren und k ∈ IN voneinander nicht unterscheidbare Jobs.

a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, diese Jobs auf die einzelnen Prozessoren zu verteilen,

wenn jedem Prozessor auch mehrere Jobs zugeteilt werden dürfen ?

b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß

i) der erste Prozessor keinen ii) jeder Prozessor mindestens einen iii) mindestens ein Prozessor keinen iv) genau ein Prozessor keinen Job zugeteilt bekommt.

c) Nun seien n = 4 und k = 10. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der erste Prozessor 3, der zweite 4, der dritte 2 und der vierte 1 Job(s) zugeteilt bekommt.

Aufgabe 6:

Zur Bearbeitung von 6 Jobs J

, ... , J

auf einer Workstation stehen zwei Verfahren zur Auswahl:

a) Im Einprogrammbetrieb werden die Jobs zunächst in zufälliger Reihenfolge in eine Tabelle eingetragen und anschließend gemäß der Tabellenposition nacheinander bearbeitet.

Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß J

und J

in der Tabelle zufällig nebeneinander angeordnet werden.

b) Im Mehrprogrammbetrieb werden die Jobs zunächst in zufälliger Reigenfolge hintereinander angeordnet und anschließend nacheinander jeweils eine vorgegebene Zeitdauer lang bearbeitet. Die Bearbeitung wird solange zyklisch fortgesetzt, bis alle Jobs abgearbeitet sind (sog. Zeitscheibenverfahren).

Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß J

und J

auf der Zeitscheibe zufällig nebeneinander angeordnet werden.

Aufgabe 7:

Es sei {Ω,

, P} ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ferner sei eine Folge (A

)

von Ereignissen gegeben, die nicht notwendig unvereinbar sind.

Man zeige für k

∈

a)

i

i i

( )

=

∞

=

 ∞

 

 ≤

∑

1 1

U ⁽

)

b)

i k

i c i

k

(

=1 =1



I

 

 ≥

¹

∑ ) (

)

c)

i k

c c c c

k c

( = ( ) + ( ) + ( ) + + ( k

U

Aufgabe 8:

In einem Hörsaal befinden sich n Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß i) mindestens zwei am selben Tag bzw.

ii) genau zwei am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, wenn Schaltjahre nicht berücksichtigt werden ?

Zusatzfrage

(für Spezialisten) : Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit in i), wenn

Schaltjahre berücksichtigt werden ?

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Übungsblatt 3

Aufgabe 1:

Eine Urne U₁ enthält 4 weiße und 6 rote Kugeln, eine andere Urne U₂ enthält 6 weiße und x rote. Eine der beiden Urnen werde zufällig ausgewählt und daraus eine Kugel gezogen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die gezogene Kugel rot ist ?

b) Eine rote Kugel wurde gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstammt sie U₁ ? c) Die 16 + x Kugeln beider Urnen werden zusammengelegt. Wie groß ist die

Wahrscheinlichkeit dafür, daraus eine rote Kugel zu ziehen ?

d) Wie groß muß x sein, damit die in c) ermittelte Wahrscheinlichkeit gleich der Wahrscheinlichkeit, aus U₁ eine rote Kugel zu ziehen, ist ?

Aufgabe 2:

Eine Firma produziert Fernsehapparate. Mit Wahrscheinlichkeit 0.04 ist ein produziertes Gerät fehlerhaft. Bei der Endprüfung zeigt das Prüfgerät bei fehlerhaften Fernsehapparaten mit Wahrscheinlichkeit 0.8 und bei einwandfreien mit Wahrscheinlichkeit 0.1 einen Ausschlag. Ein zufällig ausgewählter Apparat werde geprüft, wobei das Prüfgerät nichts anzeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Apparat fehlerhaft bzw. fehlerfrei ?

Aufgabe 3: ( Ziegenproblem )

Man nehme an, daß in einer Spielshow im Fernsehen zum Schluß nur noch ein Kandidat übrig ist, der eine von drei geschlossenen Türen auswählen soll. Hinter einer Tür wartet der Hauptpreis, ein Auto, hinter den beiden anderen Türen stehen Ziegen. Der Kandidat zeigt auf eine Tür, sagen wir Nummer 1. Sie bleibt vorerst verschlossen. Der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, öffnet eine andere Tür, z. B. Nummer 3, und eine Ziege schaut ins Publikum. Der Kandidat erhält nun die Möglichkeit, bei seiner ursprünglich gewählten Tür zu bleiben oder zu Tür 2 zu wechseln. Wie soll er sich entscheiden ? Oder anders ausgedrückt : Gibt es aus stochastischer Sicht berechtigte Gründe, bei der gewählten Tür zu bleiben bzw. die Tür zu wechseln, oder sind die Wahrscheinlichkeiten, den Preis hinter Tür 1 bzw. 2 zu finden, nach wie vor identisch ?

Aufgabe 4:

60 % einer Bevölkerung seien Frauen, 40 % Männer. 5 % der Männer und 1 % der Frauen leiden an Diabetes.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig aus dieser Bevölkerung ausgewählte Person an Diabetes erkrankt ist ?

b) Sind die Ereignisse ″eine Person ist an Diabetes erkrankt″ und ″eine Person ist weiblich″ stochastisch unabhängig ?

c) Eine zufällig ausgewählte Person sei an Diabetes erkrankt. Mit welcher Wahrscheinlich- keit ist diese Person männlich bzw. weiblich ?

Aufgabe 5:

Man nehme an, daß 1 % aller Menschen an einer bestimmten Krankheit leiden. Ein diagnostischer Test besitze die Eigenschaft, daß er bei Kranken mit Wahrscheinlichkeit 0.95 und bei Gesunden mit Wahrscheinlichkeit 0.999 die richtige Diagnose stellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person, bei der auf Grund des Tests eine Krankheit (nicht) diagnostiziert wird, auch tatsächlich an dieser Krankheit (nicht) leidet ?

Aufgabe 6:

Ein Gerät bestehe aus zwei Bauteilen T₁ und T₂, die in Reihe angeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Bauteil T₁ bzw. T₂ während einer bestimmten Zeitdauer intakt bleibt, sei p₁ bzw. p₂. Die Zuverlässigkeit des Systems soll durch das Hinzuschalten gleichartiger Bauteile T₁’ bzw. T₂’ erhöht werden. Dafür kommen zwei verschiedene Methoden in Frage, die miteinander verglichen werden sollen:

Methode I: Zu dem System wird ein identisches System als Reserve parallelgeschaltet:

T₁ T₂

T₁´ T₂´

Methode II: Zu jedem Bauteil wird ein identisches Bauteil als Reserve parallelgeschaltet:

T₁ T₂

T₁´ T₂´

Man vergleiche die beiden Methoden, indem man unter geeigneten Annahmen die Wahrscheinlichkeiten P_I bzw. P_II dafür berechnet, daß das nach der Methode I bzw. Methode II veränderte Gerät während der festgelegten Zeitdauer intakt bleibt.

Aufgabe 7:

Bei der Übertragung auf einem binären Kanal kommen die Zeichen O und L im Verhältnis 3 : 4 vor.

Ein O wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.2 fehlerhaft übermittelt (d.h. als L empfangen), ein L mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 (d.h. als O empfangen).

a) Man gebe eine geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω, A, P ) an

b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei der Übertragung eines Zeichens ein Fehler auftritt

c) Man berechne mithilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein O empfangen wird, und veranschauliche den Rechenweg durch ein Baumdia- gramm

d) Man berechne mithilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit dafür, daß tatsäch lich i) ein O gesendet wurde, wenn ein O empfangen wird bzw.

ii) ein L gesendet wurde, wenn ein L empfangen wird.

Zusatzfrage : Man nehme nun an, daß der Kanal aus drei Relais R₁, R₂ und R₃ bestehe, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von α∈ (0, 1) ein ankommendes O in ein L bzw. mit einer Wahrscheinlichkeit von β ∈ (0, 1) ein ankommendes L in ein O verwandeln :

O L







 ^{→→→→ R1 →→→→ R2 →→→→ R3 →→→→}

O L









Man bestimme α und β so, daß wieder die obigen Fehlerwahrscheinlichkeiten bei der gesamten Übertragung vorliegen.

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Übungsblatt 4

Aufgabe 1:

Bei einem Gesellschaftsspiel werden 10 Personen in zufälliger Reihenfolge aufgestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht Herr Meier neben seiner Gattin ?

Aufgabe 2:

Bei einer Feier stößt jeder der 8 Teilnehmer mit dem Weinglas mit jedem Teilnehmer an. Wie oft klingen dabei die Gläser ?

Aufgabe 3:

Ein Mann kommt im angetrunkenen Zustand nach Hause. Er hat N ähnliche Schlüssel in seiner Tasche und versucht, die Haustür folgendermaßen zu öffnen: Er wählt zufällig einen Schlüssel aus.

Wenn der Schlüssel nicht paßt, legt er ihn wieder zu den anderen Schlüsseln zurück. Dieses Experiment wiederholt er so lange, bis der entsprechende Schlüssel paßt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt er höchstens M Versuche, um die Tür zu öffnen ? Dabei handele es sich um ein Bernoulli-Experiment.

Aufgabe 4:

Die Wahrscheinlichkeit, daß eine an einer bestimmten Krankheit leidende Person durch ein bestimmtes Medikament geheilt werde, sei 0.8. Das Medikament werde 10 Patienten verabreicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 8 der 10 Patienten geheilt ? Dabei sei vorausgesetzt, daß die Heilerfolge voneinander unabhängig sind und die Heilungswahrscheinlichkeit bei allen Patienten gleich 0.8 ist.

Aufgabe 5:

Es seien { Ω, A, P } ein Wahrscheinlichkeitsraum, A₁, A₂, A₃∈ A und G_i∈ { A_i , A_i^c } für i = 1, 2, 3.

Man zeige: { A₁, A₂, A₃ } unabhängig ⇒⇒⇒⇒ { G₁, G₂, G₃ } unabhängig.

Aufgabe 6:

Eine Münze mit den Seiten ‘Wappen’ und ‘Zahl’ werde dreimal geworfen. Man untersuche, ob unter der Laplace-Annahme die Ereignisse A, B, C mit

A : " Gleiche Seiten bei den beiden letzten Würfen "

B : " Gleiche Seiten beim 1. und 3. Wurf "

C : " Gleiche Seiten bei den beiden ersten Würfen ".

a) paarweise stochastisch unabhängig bzw.

b) vollständig stochastisch unabhängig sind.

Aufgabe 7:

Wie oft muß man einen Laplace-Würfel unabhängig werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 wenigstens einmal Augenzahl 6 zu werfen ?

Aufgabe 8:

Nach Einnahme eines bestimmten Medikamentes treten bei einer Person mit Wahrscheinlichkeit p = 0.04 Nebenwirkungen auf. Das Medikament werde n = 5 Personen verabreicht. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl derjenigen unter den 5 Personen, bei denen die Nebenwirkung auftritt. Unter der Voraussetzung, daß es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt, bestimme man P( X = k ) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Aufgabe 9:

Man zeige: Sind X ~ BIN(n₁, p) und Y ~ BIN(n₂, p) unabhängige binomialverteilte Zu- fallsvariablen, so ist X + Y ebenfalls binomialverteilt mit X + Y ~ BIN (n₁ + n₂, p).

Hinweis: Man berechne P(X + Y = k) für k ∈ {0, 1, ... , n₁ + n₂} unter Verwendung der Identität

+

1 2 1 2

n i

n k i

n n

i k

k 





 ⋅

−







 = 





= 

∑

0

( Vandermondesche Faltungsformel )

Aufgabe 10:

Leiten Sie eine entsprechende Aussage wie in der vorigen Aufgabe für zwei unabhängige, Poisson- verteilte Zufallsvariable X ∼ POI (λ₁) und Y ∼ POI (λ₂) her.

Aufgabe 11:

Rutherford und Geiger beobachteten in n = 2608 Zeitabschnitten zu je 7.5 s Dauer die Anzahl der emittierten α-Teilchen eines radioaktiven Präparates. Das Ergebnis der Beobachtungen zeigt folgende Tabelle :

x_i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n_i 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16

Unter der Annahme, daß die Zufallsvariable X = „Anzahl der emittierten α-Teilchen pro Zeitintervall“ einer Poisson-Verteilung genügt, vergleiche man die beobachteten relativen Häufigkeiten mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 12:

Das Ergebnis eines Roulette-Spieles ist eine der Zahlen 1 bis 36 und die 0, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Man kann bei einfacher Gewinnchance auf die geraden Zahlen {2, 4, ... , 36} oder die ungeraden {1, 3, ... , 35} setzen. Ein Spieler setze immer auf die geraden Zahlen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er bei 10 Spielen genau zwei- bzw. dreimal Erfolg hat ?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p_k dafür, daß der Spieler beim k-ten Spiel (k ∈ IN) zum ersten Erfolg kommt für k = 1, 2, 3 und 10 ?

c) Das Einsatzlimit betrage DM 5.000. Der Spieler beginnt mit einem Einsatz von DM 5 und nimmt sich vor, bei Verlust seinen Einsatz im jeweils nächsten Spiel zu verdoppeln und bei Gewinn aufzuhören. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er wegen Überschreitung des Limits aufhören muß, bevor er einen Gewinn realisieren kann ?

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Übungsblatt 5

Aufgabe 1:

Ein idealer Würfel werde so lange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. Man betrachte die folgende Zufallsvariable X:

X

: = 0 , falls mehr als 3 Wü rfe erforderlich sind

, falls k Würfe mit k 3 erforderlich sind.

10





Man bestimme den Erwartungswert E(X) und die Varianz VAR(X) von X.

Aufgabe 2:

Eine Schachtel enthält 10 Geräte, von denen 3 defekt sind. Ein Gerät wird zufällig aus der Schachtel genommen und geprüft. Ist es defekt, so wird es weggeworfen, und das nächste Gerät wird aus der Schachtel genommen und geprüft. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis ein Gerät gefunden wird, das in Ordnung ist. Man berechne Erwartungswert und Streuung der Zufallsvariablen X, welche die Anzahl der Geräte beschreibt, die geprüft werden müssen, bis ein brauchbares gefunden wird.

Aufgabe 3:

Beim Werfen einer idealen Münze spielt ein Spieler folgendermaßen: Er setzt sein Geld immer auf

"Zahl", und falls "Wappen" erscheint, spielt er beim nächsten Mal mit doppelter Summe wie beim vorigen Wurf, sonst hört er auf und kassiert den Gewinn, der gleich dem doppelten Einsatz für das betreffende Teilspiel ist. Man berechne den Erwartungswert und die Varianz der Gewinnvariablen X, falls

a) der Spieler über beliebig viel Kapital verfügt bzw.

b) der Spieler pro Serie höchstens 31 Einheiten einsetzen kann.

Aufgabe 4:

Die Funktion f_c sei gegeben durch

f x c x x

sonst

c( ) : = + , , .

1

2 0 1

0

⋅ ≤ ≤







a) Man bestimme c ∈ IR so, daß f_c eine Dichte ist.

b) Man bestimme für das geeignete c die Verteilungsfunktion F_X (x) = P ( X ≤ x ) und zeichne sowohl f_c als auch F_X .

Aufgabe 5:

Ein Teilchen bewege sich entlang einer Ursprungsgeraden, wobei der Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse θ sei. Ein Zufallsexperiment bestehe darin, daß der Winkel θ zufällig aus dem Intervall (- π/2, π/2) gewählt wird. Das Teilchen starte im Ursprung des Koordinatensystems.

Definiert man die Zufallsvariable X durch X (θ) := a ⋅ tan (θ), so ist X (θ) gleich dem Ordinatenwert des Schnittpunktes des Teilchens mit der vertikalen Geraden x = a.

Man berechne die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion f der Zufallsvariablen X.

x = a ⋅ tan (θ)

X(θ) θ

0 a

Aufgabe 6:

Die Zufallsvariable X besitze die Dichte f_c(x) := c ⋅ exp (- α⋅| x | ), α > 0.

a) Man bestimme die Konstante c ∈ IR b) Man bestimme die Verteilungsfunktion F_X c) Man berechne E(X) und VAR(X).

Aufgabe 7:

Die Dichte f der Zufallsvariablen X sei gegeben durch:

f x

x x

x x

sonst

( ) : =

1

4

⋅ ≤ ≤

− ⋅ ≤ ≤















, ,

, .

0 2

1 1

4 2 4

0

Man begründe, daß f eine Dichtefunktion ist und zeige, daß f symmetrisch ist und bestimme die Symmetrieachse. Ferner bestimme man E(X) und VAR(X) einer Zufallsvariablen, die durch f gegeben ist.

Aufgabe 8:

Die diskrete Zufallsvariable X besitze die folgende Verteilung:

xi -3 0 1 2 3

P (X = x_i ) 0.1 0.15 0.1 0.25 0.4

Man bestimme

a) Die Verteilungsfunktion F_X b) P (X > 0)

c) E(X) d) VAR(X).

Aufgabe 9:

Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich W(X) = {x₁, x₂, ... } ⊆ IN und E(X) <

∞.

Man zeige: E X P X i

i

( ) = ( > )

=

∑

.

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Übungsblatt 6

Aufgabe 1:

Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) besitze die folgende Verteilung:

y_j x_i

1 2 3

1 0.1 0.2 0.3

2 0 0.2 0.2

a) Man berechne E(X), E(Y), VAR(X) und VAR(Y). Sind X und Y unabhängig ? b) Man bestimme die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Variablen X+Y.

c) Man bestimme die Verteilung und den Erwartungswert der Variablen X · Y.

Aufgabe 2:

Man ergänze die Werte der Verteilung der zweidimensionalen Zufallsvariablen (X, Y) in der folgenden Tabelle unter der Annahme, daß X und Y unabhängig sind :

Y X

1 2 3 p_{i •}

-1 0.06

0 0.03

1 0.50

p_{• j}

0.30

Man bestimme ferner E (X · Y) und untersuche, ob X und Y unkorreliert sind.

Aufgabe 3:

Die Zufallsvariablen X und Y seien diskret verteilt mit den Werten 1, 2, 3, 4 bzw. 0, 1, 2, 3.

Y sei BIN(3, 0.5)-verteilt. Die folgende Tabelle enthält die bedingten Wahrscheinlichkeiten P( X = i | Y = k ) für i = 1, 2, 3, 4 und k = 0, 1, 2, 3:

i

k 1 2 3 4

0 ¼ ¼ ½ 0 1 ¼ ¼ ¼ ¼ 2 ¼ ¼ 0 ½ 3 0 ¼ ½ ¼ a) Man berechne die Wahrscheinlichkeiten P ( X = i, Y = k ) für i = 1, 2, 3, 4 und k = 0, 1, 2, 3.

b) Man berechne die Erwartungswerte und die Varianzen der Zufallsvariablen X und Y.

c) Welchen Wert besitzt die Kovarianz COV(X, Y) ?

d) Man berechne die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Z = X + Y.

Aufgabe 4:

2 % einer Bevölkerung seien Alkoholiker. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter 100 zufällig ausgewählten Personen mindestens 3 Alkoholiker sind, und zwar

a) mit Hilfe der Binomialverteilung b) mit Hilfe der Poisson-Verteilung.

Aufgabe 5:

Ein Automat produziere Schrauben. Im Durchschnitt seien 10 % der Produktion unbrauchbar. Aus der Produktion werden 400 Schrauben zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter diesen 400 Schrauben

a) mindestens 30, aber höchstens 50 unbrauchbare bzw.

b) mindestens 55 unbrauchbare sind ?

( Hinweis : Φ(1.75) = 0.96, Φ(2.42) = 0.992 ) Aufgabe 6:

Wie oft muß eine ideale Münze mindestens geworfen werden, damit mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 die Zufallsvariable der relativen Häufigkeit für das Ergebnis ‘Wappen’ von p = 0.5 um höchstens

a) 0.01 b) 0.001 abweicht ?

Aufgabe 7:

Es seien X₁, ... , X₁₀₀₀ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable mit der Verteilung

x_i 1 3 6 11

P ( X = x_i ) 0.2 0.25 0.4 0.15

Man bestimme unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zufallsvariable

S X_i

i 1000

1 1000

:=

∑

Werte zwischen 4820 und 5180 annimmt.

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Übungsblatt 6

Aufgabe 1:

Bei der Messung der Körpergröße (in cm) von n = 20 männlichen Schülern ergaben sich die folgenden Meßwerte :

149 147 158 165 153 153 168 158 163 159 177 175 163 170 162 162 170 153 147 157

Man skizziere die empirische Verteilungsfunktion der angegebenen Meßreihe und zeiche ein Histogramm, wobei folgende Klasseneinteilung zu wählen ist :

( 145, 150 ], ( 150, 155 ], ... , ( 175, 180 ].

Ferner berechne man zu der oben angegebenen Meßreihe die folgenden statistischen Maßzahlen:

a) empirischer Mittelwert b) empirischer Median c) empirische Varianz und Streuung d) Quartilabstand.

Aufgabe 2:

Bei der jährlichen Messung des Wasserverbrauches (in m³) von n = 18 Haushalten ergaben sich die folgenden Werte :

121 140 216 84 70 104 119 208 181

137 92 142 111 96 150 99 127 131

Zur angegebenen Meßreihe berechne man a) den empirischen Mittelwert b) den empirischen Median c) die Spannweite

d) die empirische Varianz und die Standardabweichung e) das 0.1-Quantil

f) den Quartilabstand.

Aufgabe 3:

Es sei x₁, ... , x_n eine Meßreihe und x der zugehörige empirische Mittelwert.

a) Man zeige: Transformiert man die Meßwerte linear, d.h. gemäß y_i := a + b⋅x_i , so gilt für den empirischen Mittelwert y der transformierten Werte:

y = a + b⋅x

b) Auf einer Tropeninsel wurden in den letzten beiden Juliwochen jeweils morgens zur gleichen Zeit die folgenden Lufttemperaturen (in ° Farenheit) gemessen :

78 82 81 82 80 83 77 81 79 79 83 78 78 79

Man berechne die Durchschnittstemperatur, d.h. den arithmetischen Mittelwert der gemessenen Werte, und zwar in ° Farenheit und in ° Celsius.

( Hinweis : x [ ° C ] = 5/9 ⋅ ( x - 32 ) [ ° F ] )

Aufgabe 4:

Gegeben sei eine Meßreihe x₁, ... , x_n mit dem arithmetischen Mittelwertx und dem Median x^~. Die Funktionen f : IR → IR und g : IR → IR seien definiert durch :

( )

f x _i x und g x x x

i n

i i

n

( ) : = x − ( ) : = −

= =

∑

∑

1 1

Man zeige: a) f hat bei x =x ein absolutes Minimum.

b) g hat bei x = x^~ ein absolutes Minimum.

Aufgabe 5:

In einer Versuchsserie zur Prüfung der Bremsen von Fahrzeugen wurden die Momentan- geschwindigkeit (in km/h) zum Zeitpunkt des Bremsbeginns und der Bremsweg (in m) gemessen.

Man erhielt folgende Meßreihe (v₁, s₁), ... , (v_n, s_n) :

(49.2, 30.8) (51.0, 33.9) (52.4, 35.3) (48.2, 29.9) (51.6, 34.6) (48.5, 30.6) (49.8, 31.4) (51.3, 33.8) (48.9, 31.2) (49.5, 32.1) (50.9, 32.8) (51.4, 34.1) (51.1, 33.3) (48.6, 30.4) (49.4, 31.4) (52.8, 35.7) (52.1, 34.6) (50.7, 33.1) (50.3, 32.3) (50.4, 32.9) i) Man stelle die Meßergebnisse sowohl als Punktewolke als auch in einer

Kontingenztafel dar, und zwar mit der Klasseneinteilung (48.0, 49.0], ... , (52.0, 53.0] für das Merkmal Momentangeschwindigkeit und entsprechend beim Merkmal Bremsweg mit der Klasseneinteilung (29.0, 30.0], ... , (35.0, 36.0].

ii) Man berechne die empirische Kovarianz und den empirischen Korrelationskoeffizien- ten.