Skript
Nah VorlesungenvonProf.Dr.Herb ertMüther:
Quantenmehanik I, im Wintersemester 1997/98
Quantenmehanik II, im Sommersemester 1998
Vorlesungsmitshriebevon
SusanneUhl
SvenGanzenmüller
FrankHeuser
ErgänztdurhdienihtinKreidegesetztenWortevon
SvenGanzenmüller
FrankHeuser
MitL A
T
E
XundA
M S-L
A
T
E
X inSzenegesetzt,b earb eitetundergänztvon
SvenGanzenmüller
FrankHeuser
KorrigierteFassungvom5.8.1999
Vorwort xv
Danksagung xvi
QM I - Wintersemester 1997/98 1
0 Einleitung 3
0.1 Vorb emerkung . . . 3
0.2 WarumistdieQuantenmehanikso revolutionär?. . . 4
Bewegungsb eshreibungdesSystems . . . 4
WeltbildderWellenundTeilhen . . . 4
Messwerte. . . 4
EinussdesExp erimentsaufdasSystem . . . 4
0.3 KlassisheUntersheidungvonTeilhenundWelle . . . 5
0.3.1 Gedankenexp eriment:DerDopp elspalt. . . 5
0.3.2 VersuhmitmakroskopishenKugeln . . . 5
Versuhsablauf . . . 5
ErgebnisfürmakroskopisheTeilhen . . . 6
0.3.3 VersuhmitLihtwellen . . . 6
Versuhsablauf . . . 6
ErgebnisfürWellen . . . 7
0.3.4 FazitunseresGedankenexp eriments . . . 7
0.4 QuantenmehanisherDualismus . . . 8
0.4.1 TeilheneigenshaftendesLihts . . . 8
Energiequanten . . . 8
Fazit . . . 8
0.4.2 WelleneigenshaftenvonTeilhen . . . 8
InterferenzenvonTeilhen . . . 8
0.4.3 QuantenmehanisheDeutungdesDopp elspalts. . . 9
KohärenteÜb erlagerung . . . 9
InkohärenteÜb erlagerung . . . 10
0.4.4 Welle-Teilhen-Dualismus . . . 10
Teilhen inderQuantenmehanik. . . 10
WelleninderQuantenmehanik . . . 10
Zusammenfassung . . . 11
WosinddiemakroskopishenQuanten? . . . 11
Gröÿenordnungsvergleih . . . 11
0.4.5 HistorisheHinweisezurDualität. . . 12
WelleneigenshaftenvonTeilhen . . . 12
TeilheneigenshaftenvonWellen . . . 12
1 Wellenmehanik eindimensionalerSysteme 15 1.1 LokalisierungvonWellenundErwartungswerte . . . 15
1.1.1 Vorb emerkungen . . . 15
Einstein-de-Broglie-Beziehungen . . . 15
1.1.2 Eb ene Wellen . . . 16
Wahrsheinlihkeit . . . 16
1.1.3 Observable . . . 18
1.1.4 Erwartungswert. . . 18
BeispielefürErwartungswerte. . . 19
1.1.5 AbweihungvomMittelwert. . . 21
1.1.6 Die Dira'sheDeltafunktion . . . 23
EigenshaftenderÆ-Funktion . . . 23
FouriertransformationundÆ-Funktion . . . 24
1.1.7 WellenpaketeundImpulsverteilung. . . 25
Impulsverteilung . . . 26
WahrsheinlihkeitsdihtedesImpulses. . . 28
1.1.8 Die Heisenb erg'sheUnshärferelation . . . 29
ZusammenfassungamverwendetenBeispiel . . . 29
KonsequenzfürdenExp erimentator . . . 30
AllgemeingültigkeitderUnshärfe . . . 30
1.1.9 BerehnungvonErwartungswertendesImpulses . . . 31
DerImpulsop erator . . . 31
Op eratorreihenfolge . . . 33
1.1.10 Zusammenfassung . . . 33
Zustand einesSystems . . . 33
DerWahrsheinlihkeitsb egri . . . 34
WellenfunktionundWahrsheinlihkeit . . . 34
Dihte einerWahrsheinlihkeit . . . 35
Op eratorenfürOrtundImpuls . . . 35
BerehnungvonErwartungswerten . . . 35
Zeitverhalten . . . 36
HerleitungderQuantenmehanik . . . 36
1.2 Shrö dinger-GleihungundKlassisheMehanik . . . 37
1.2.1 Poisson-Klammern . . . 37
1.2.2 EntwiklungvonObservablen . . . 37
Ortsentwiklung . . . 37
Zeitentwiklung . . . 38
1.2.3 Die zeitabhängigeShrö dinger-Gleihung . . . 39
Hamilton-Op eratorundBewegungsgleihung . . . 39
Sp ezialfälle . . . 40
1.2.4 Ehrenfest'shesTheorem. . . 41
Fazit . . . 44
1.3 Kontinuitätsgleihung . . . 45
1.3.1 Vorb emerkungen . . . 45
1.3.2 Kontinuitätsgleihung . . . 45
1.3.4 Beispieldereb enenWelle . . . 48
1.4 ZeitunabhängigeShrö dinger-Gleihung . . . 50
1.4.1 Shrö dinger-GleihungundZeitunabhängigkeit . . . 50
1.4.2 Energie . . . 52
ErwartungswertdesHamilton-Op erators. . . 52
EigenshaftenderEnergie . . . 52
1.4.3 EnergieundBewegung. . . 53
1.4.4 Beispiele. . . 54
KonstantesPotential . . . 54
StükweisekonstantesPotential. . . 56
Kastenp otentialmit unendlihhohenWänden . . . 57
1.4.5 Zusammenfassung . . . 59
1.5 HarmonisherOszillatorI . . . 62
1.5.1 DerklassisheHarmonisheOszillator . . . 62
1.5.2 HarmonisherOszillatorinderQuantenmehanik. . . 62
1.5.3 LösungderzeitunabhängigenShrö dinger-Gleihung . . . 63
Einleitung. . . 63
Variablensubstitution . . . 63
AnsatzfürdieDierentialgleihung. . . 65
AnsatzinShrö dinger-Gleihungeinsetzen. . . 67
Diskretisierung . . . 68
Zusammenfassung . . . 69
1.5.4 Lösungenmit diskretenEnergien . . . 69
1.5.5 Parität. . . 71
1.5.6 Zusammenfassung . . . 73
2 Grundlagen derQuantenmehanik 77 2.1 Zustand,ObservableundHilb ertraum . . . 77
2.1.1 NotationderSystemb eshreibung. . . 77
KlassisheBeshreibung . . . 77
DarstellungsäquivalenzinderQuantenmehanik . . . 77
Bezugssystem-unabhängigeDarstellung . . . 78
2.1.2 Hilb ertraumundDira-Shreibweise . . . 78
WellenfunktionundVektorraum . . . 78
EigenshaftendesHilb ertraums . . . 79
EigenshaftendesSkalarpro dukts. . . 79
BasisundEntwiklungsko ezienten . . . 82
VektordarstellungderZustände . . . 85
Basistransformation . . . 85
2.1.3 Systemb eshreibungmitdemneuenFormalismus . . . 88
Orts-undImpulsdarstellung. . . 88
BemerkungenzukontinuierlihenBasen . . . 90
ZusammenfassungderDarstellungsarten . . . 91
MessungvonObservablen . . . 91
Hilfsmittel:AdjungierteundhermitesheOp eratoren . . . 94
2.2 EigenzuständeundMatrixdarstellung . . . 99
2.2.1 Eigenzustände . . . 99
2.2.2 EigenzuständeunddieBasisdesZustandsraums . . . 100
2.2.3 BeispielefürEigenwertproblemeinderQuantenmehanik 102
BestimmungderEigenwertea
i
undEigenzustände j
i
i . 106
2.2.5 Hermitizität inMatrixdarstellung. . . 106
2.3 MessungvonObservablen . . . 108
2.3.1 ZweieinleitendeBeispiele . . . 108
2.3.2 WihtigeDenitionen . . . 108
2.3.3 Messung. . . 109
2.3.4 GleihzeitigeMeÿbarkeit . . . 110
2.3.5 Beispiele zuKommutatoren . . . 113
AnmerkungzuEigenfunktionssysteme . . . 113
2.3.6 Zusammenfassung . . . 114
2.3.7 Heisenb erg'sheUnshärferelation . . . 115
Beispiele. . . 119
2.4 KommutatorrelationundPoisson-Klammer . . . 120
2.4.1 Quantisierungsb edingung . . . 120
Quantisierungsb edingungundEhrenfest'shesTheorem . 121 WeitereBeispiele . . . 122
2.4.2 SymmetrienundErhaltungsgröÿen . . . 123
2.5 HarmonisherOszillatorI I. . . 127
2.5.1 Einleitung . . . 127
2.5.2 Eigenshaftenvon ^ b . . . 127
2.5.3 DerHamilton-Op eratordurh ^ bund ^ b y dargestellt . . . . 129
2.5.4 LösungderzeitunabhängigenShrö dinger-Gleihung . . . 130
EinigemathematisheBeziehungen . . . 131
BerehnungderEigenwertevon ^ N . . . 133
Diskretisierung . . . 134
Grundzustand . . . 134
Angeregte Zustände . . . 135
Zusammenfassung . . . 136
2.5.5 Die Bedeutungvon ^ b und ^ b y . . . 137
2.5.6 Üb ergangsmatrix . . . 137
Üb ergangsmatrixfür ^ b y und ^ b . . . 137
Üb ergangsmatrixfürx^undp^ . . . 138
Üb ergangsmatrixfürx^ 2 . . . 139
2.5.7 BerehnungderWellenfunktionen. . . 140
2.6 Variationsmetho deinderQuantenmehanik . . . 142
2.6.1 Energieminimum . . . 142
2.6.2 VorgehensweiseanhandeinesBeispiels . . . 143
2.6.3 AllgemeineVorgehensweise . . . 144
3 Der Drehimpulsin der Quantenmehanik 146 3.1 DenitionundgrundlegendeEigenshaften . . . 146
3.1.1 DerDrehimpulsinderKlassishenMehanik . . . 146
Denition . . . 146
EigenshaftendesDrehimpulses. . . 146
3.1.2 DerDrehimpulsinderQuantenmehanik . . . 147
Konstruktion . . . 147
DasProblemderDrehimpulserhaltung . . . 150
DerOp erator ^ L 2 . . . 151
Zusammenfassung . . . 152
3.2.1 Einleitung. . . 153
Eigenshaftendes ^ J-Kommutators: . . . 153
DerOp erator ^ J 2 . . . 153
3.2.2 LösungdesEigenwertproblemsvon ^ J 2 und ^ J z . . . 154
DasEigenwertgleihungssystem . . . 154
EigenshaftenderOp eratoren ^ J + und ^ J . . . 154
WirkungderOp eratoren ^ J + und ^ J . . . 155
EigenshaftenderEigenwerte~ 2 aund~b . . . 156
3.3 DrehimpulsinOrtsdarstellung . . . 163
3.3.1 Einleitung. . . 163
3.3.2 ^ ~ LinKugelko ordinaten . . . 165
3.3.3 BerehnungderKugelähenfunktionen . . . 166
BestimmungvonY lm (#;') . . . 167
Bestimmungvon lm (#) -Legendre-PolynomeP lm () . . 168
BestimmungderLegendre-PolynomeP lm . . . 169
3.3.4 Beispiele. . . 171
BestimmungderY lm fürm=0 . . . 171
BestimmungderY lm fürm6=0 . . . 172
3.3.5 EigenshaftenderKugelähenfunktionenY lm (#;') . . . 173
3.4 DieShrö dinger-GleihungfürdasZentralfeld . . . 175
3.4.1 Einleitung. . . 175
3.4.2 DieKommutatorenvon ^ L 2 , ^ L z mit ^ H . . . 175
3.4.3 DieLösungsfunktionen Elm imZentralfeld . . . 176
BestimmungderR Elm (r ) . . . 176
BestimmungderR El (r ) bzw.u El (r ) . . . 177
3.4.4 ParitätvonZuständen . . . 181
3.4.5 Normierungder Elm . . . 183
3.5 DreidimensionalerHarmonisherOszillator . . . 184
3.5.1 Einleitung. . . 184
3.5.2 Bestimmungderu El . . . 184
3.5.3 Konsequenzen-Beispiel . . . 187
3.6 Wasserstoatom . . . 189
3.6.1 Einleitung. . . 189
3.6.2 Hamilton-Op eratorundShwerpunktsko ordinaten . . . . 189
Shwerpunktsko ordinaten . . . 189
3.6.3 SeparationderWellenfunktion . . . 191
3.6.4 SeparierteShrö dinger-GleihungenfürdasH-Atom . . . 193
3.6.5 Wasserstoatom . . . 194
LösungderShrö dinger-Gleihung . . . 194
DiskussiondervershiedenenLösungen . . . 196
3.7 NummerisheLösungI . . . 198
3.7.1 Einleitung. . . 198
3.7.2 NummerisheLösung . . . 198
EineMöglihkeit zurnummerishenLösung . . . 199
3.8 NummerisheLösungI I . . . 202
3.8.1 Einleitung. . . 202
3.8.2 NummerisheLösung . . . 202
BerehnungderC ia ,E a : . . . 202
4 Spin und Rotation 206
4.1 DerTeilhen-Spin. . . 206
4.1.1 Stern-Gerlah-Exp eriment . . . 206
Versuhsanordnung. . . 207
Wirkungeines ~ B-Felds. . . 207
Exp erimentelleBefunde . . . 207
MagnetishesMoment . . . 208
Energie undKraft durhdasMagnetfeld . . . 208
Atome iminhomogenenMagnetfeld . . . 209
VorhersagefürSilb eratome . . . 210
4.1.2 DerElektronenspin. . . 211
Denition . . . 211
WeitereShreibweisenfürdenSpin . . . 212
EigenshaftendesSpins . . . 213
Spinop eratoren . . . 213
EigenshaftenderSpin-Matrizen . . . 216
Deutung desStern-Gerlah-Versuhs . . . 217
4.2 TranslationundRotation . . . 218
4.2.1 TranslationvonZuständen . . . 218
Vorüb erlegungen . . . 218
AufstellendesTranslationsop erators . . . 219
EigenshaftendesTranslationsop erators . . . 221
4.2.2 RotationvonZuständen . . . 222
Vorüb erlegungen . . . 222
AufstellendesRotationsop erators . . . 223
VergleihvonRotations-undTranslationsop erator . . . . 226
4.2.3 AllgemeineRotationen. . . 226
Euler'sheWinkel . . . 227
EigenshaftendesRotationsop erators . . . 227
DrehungenundBasisdarstellung . . . 229
DrehungundSpin . . . 230
4.3 Exp erimentemit demStern-Gerlah-Magnet . . . 233
4.3.1 EinmaligeVersuhsdurhführungundOp erator ^ O App . . . 233
4.3.2 SequenzielleVersuhsdurhführung . . . 234
ZweiFilterhintereinandergeshaltet . . . 234
DreiFilterhintereinandergeshaltet . . . 236
4.4 KopplungvonzweiDrehimpulsen . . . 238
4.4.1 Einleitung . . . 238
4.4.2 Drehimpulskopplung . . . 238
Gekopp elterDrehimpuls . . . 238
Eigenshaftendesgekopp eltenDrehimpulses . . . 239
Gekopp elteZustände. . . 241
Clebsh-Gordon-Ko ezienten . . . 242
4.4.3 Zur BerehnungderClebsh-Gordon-Ko ezienten . . . . 243
4.5 BeispielefürDrehimpulskopplung. . . 246
4.5.1 Spin-Bahn-WehselwirkunginderAtomphysik . . . 246
4.5.2 WehselwirkungzwishenzweiNukleonenpundn . . . . 247
5 Zeitunabhängige Störungstheorie 250
5.1 StörungstheorieohneEntartung. . . 250
5.1.1 Grundlagen . . . 250
5.1.2 Ansatz. . . 251
Grundüb erlegungenzumgestörtenZustand . . . 251
Korrekturen amungestörtenZustand. . . 253
5.1.3 Störungstheorie0.Ordnung . . . 254
5.1.4 Störungstheorie1.Ordnung . . . 254
Energiekorrekturin1.Ordnung . . . 254
Zustandskorrekturin1.Ordnung . . . 255
5.1.5 Störungstheorien-terOrdnung . . . 256
Energiekorrekturinn-terOrdnung . . . 256
Zustandskorrekturinn-ter Ordnung . . . 256
5.2 Störungstheoriemit Entartung . . . 259
5.2.1 Grundlagen . . . 259
Üb ergangsmatrix . . . 259
Projektionsop eratoren . . . 260
5.2.2 HerleitungdeseektivenHamilton-Op erators . . . 261
Ansatz. . . 261
Feshbah-Formalismus . . . 262
5.2.3 Anwendung . . . 264
5.3 Atomeimelektrostatishen Feld . . . 266
5.3.1 Grundlagen . . . 266
DasWasserstoatomimelektrostatishenFeld . . . 266
Energieb eiträgederMatrixelemente . . . 267
5.3.2 DerStark-Eekt . . . 268
QuadratisherStark-Eekt . . . 268
LinearerStark-Eekt. . . 268
5.4 AtomeimMagnetfeld . . . 270
5.4.1 DerZeeman-Eekt . . . 271
5.4.2 DerPashen-Bak-Eekt . . . 273
Berehnungvon ^ V ls mitderStörungstheorie. . . 273
5.4.3 Zusammenfassung(zurVorgehensweise) . . . 275
5.5 Pauli-Prinzip . . . 276
5.5.1 UntersheidungskriterienfürTeilhen . . . 276
5.5.2 Teilhen-Vertaushung . . . 278
DerTeilhen-Vertaushungsop erator . . . 278
GemeinsamesEigenfunktionssystemzu ^ P und ^ H . . . 279
FermionenundBosonen . . . 280
5.5.3 Pauli-Prinzip . . . 281
BeispielezumPauli-Prinzip . . . 281
5.6 Mo delldesFestkörp ersI . . . 285
5.6.1 Beshreibungsgrundlage . . . 285
5.6.2 ZweiatomigerFestkörp er. . . 285
Hamilton-Op eratorderAtomkette . . . 285
EnergieeigenwertederElektronen. . . 286
BestimmungderEigenzustände . . . 286
5.6.3 DreiatomigerFestkörp er . . . 288
5.6.4 N-atomigerFestkörp er. . . 288
5.7 Mo delldesFestkörp ersI I . . . 291
5.7.1 Ansatz: Perio dishesPotential . . . 291
5.7.2 Lösungendesp erio dishenPotentials. . . 291
Impulswellenfunktionimp erio dishenPotential . . . 291
BestimmungderWellenfunktion;Blo h-Funktion . . . 293
5.8 DasMesonen-Austaush-Mo dell. . . 295
5.8.1 Hamilton-Op eratordesZweikörp erproblems . . . 295
Shwerpunktsystem . . . 295
Mesonenaustaush . . . 296
5.8.2 Yukawa-Potential. . . 296
Ansatz fürdasWehselwirkungsp otential . . . 296
Wehselwirkungsp otentialimOrtsraum . . . 297
EigenshaftendesYukawa-Potentials. . . 298
5.9 DieBell'sheUngleihung . . . 300
5.9.1 Niht-lokaleKorrelationimZweiteilhensystem . . . 300
Einstein-Po dolsky-Rosen-Paradoxon . . . 300
Verb orgeneParameter . . . 301
5.9.2 Die Bell'sheUngleihung . . . 301
AllgemeinesZweiteilhensystemmitSpin . . . 301
Vorhersagefürverb orgeneParameter . . . 301
VorhersagederQuantenmehanik. . . 302
FazitdesWiderspruhs . . . 303
QM II - Sommersemester 1998 304 6 Quantendynamik 306 6.1 ZeitentwiklungimShrö dinger-Bild . . . 306
6.1.1 Einleitung . . . 306
6.1.2 DerZeitentwiklungsop erator ^ U(t) . . . 307
GewünshteEigenshaftendesZeitentwiklungsop erators 307 BestimmungdesinnitesimalenZeitentwiklunsop erators 308 Bestimmungvon ^ . . . 309
DerZeitentwiklungsop erator ^ U(t)für ^ H( )t . . . 310
EntwiklungderErwartungswertemitderZeit . . . 312
6.2 ZeitentwiklungimHeisenb erg-Bild. . . 313
6.2.1 Einleitung . . . 313
6.2.2 Op eratormitZeitabhängigkeit . . . 313
6.2.3 Heisenb erg'sheBewegungsgleihung . . . 313
6.2.4 AnalogiederPoisson-Klammern . . . 314
6.3 Wehselwirkungsdarstellung . . . 316
6.3.1 Einleitung . . . 316
6.3.2 ZeitentwiklungindenvershiedenenBildern . . . 316
6.3.3 DasWehselwirkungsbild . . . 317
6.3.4 BewegungsgleihungimWehselwirkungsbild . . . 318
Zustandsgleihung . . . 318
Observablengleihung . . . 318
6.3.5 ZuständeimWehselwirkungsbild . . . 319
6.4 ZeitabhängigeStörungstheorie. . . 322
6.4.2 Zeitentwiklungsop eratorimWehselwirkungsbild . . . . 322
6.4.3 Üb ergangswahrsheinlihkeit . . . 324
BeispieleinerkonstantenStörung. . . 325
FermisgoldeneRegel. . . 326
BeispieleineroszillierendenStörung . . . 327
6.5 Green'sheFunktion . . . 329
6.5.1 PropagatorundGreen'sheFunktion. . . 329
VergleihmitderElektro dynamik . . . 330
6.5.2 EigenshaftenderGreen'shenFunktionalsPropagator . 330 6.5.3 LehmanndarstellungderkausalenGreen'shenFunktion . 331 Stufenfunktion . . . 331
ReihenentwiklungderGreen'shenFunktion . . . 334
6.5.4 BeshreibungdurhFeynmandiagramme. . . 335
6.6 Feynman'sheWegintegrale . . . 337
6.6.1 Einleitung. . . 337
6.6.2 Propagator . . . 337
6.6.3 VergleihmitderKlassishenMehanik . . . 338
6.6.4 Üb ertragungindieQuantenmehanik . . . 338
7 Streutheorie 343 7.1 Problemstellung. . . 343
7.1.1 Grundlagen . . . 343
7.1.2 Wirkungsquershnitt . . . 344
InterpretationderBegrie . . . 345
7.1.3 Zeitunabhängige,asymptotisheBetrahtung . . . 345
AnsatzfürdieeinlaufendeWelle . . . 346
AnsatzfürdieauslaufendeWelle . . . 347
ZusammenfassungzurasymptotishenStreulösung . . . . 349
7.1.4 StreuungimrealenExp eriment . . . 349
7.2 Lippmann-Shwinger-Gleihung . . . 351
7.2.1 Grundlagen . . . 351
7.2.2 Lippmann-Shwinger-Gleihung . . . 352
Ansatz:UmformenderShrö dinger-Gleihung. . . 352
Green'sheFunktionalsDarstellungsmatrix . . . 353
7.2.3 Lippmann-ShwingerinImpulsdarstellung. . . 354
7.2.4 Lippmann-ShwingerinOrtsdarstellung . . . 355
Neb enrehnung:BestimmungderGreen'shenFunktion . 355 FortsetzungderBerehnungvon . . . 359
7.2.5 Zusammenfassung . . . 360
7.3 DieT-MatrixunddasOptisheTheorem . . . 362
7.3.1 DieTransition-Matrix . . . 362
Motivation . . . 362
Bestimmungsgleihungfür ^ T . . . 363
BedeutungderT-Matrix. . . 364
7.3.2 OptishesTheorem . . . 366
BeweisdesOptishenTheorems . . . 367
InterpretationdesOptishenTheorems . . . 370
7.4 DieBorn'sheReihe . . . 372
7.4.1 DarstellungderT-MatrixalsReihe. . . 372
7.4.2 Møller-Op erator . . . 373
7.4.3 Die Born'sheReiheimOrtsraum . . . 374
Deutung dereinzelnenReihenglieder . . . 374
Born'sheReihealsFeynman-Diagramm. . . 375
7.5 Born'sheNäherung . . . 376
7.5.1 Grundidee. . . 376
Lokalität . . . 376
Impulsüb ertrag . . . 377
7.5.2 StreuamplitudeinBorn'sherNäherung . . . 377
Güte derNäherung. . . 379
7.5.3 Anwendung:ElektrisherFormfaktor. . . 379
StreuamplitudeundElektro dynamik . . . 379
Beispiele elektrisherFormfaktoren . . . 381
7.6 StreuamplitudeundStreuphasen . . . 382
7.6.1 BetrahtungsweisedestheoretishenPhysikers . . . 382
Sp ezialfall:TeilhenohneDrehimpuls . . . 382
Teilhen mitDrehimpuls. . . 383
VorteilederDarstellungsart . . . 384
7.6.2 BetrahtungausderSihtdesExp erimentators . . . 385
7.6.3 Vergleihderb eidenDarstellungsarten . . . 386
7.6.4 ZusammenfassungderPhasenb etrahtung . . . 388
7.6.5 Üb erprüfungdesOptishenTheorems . . . 388
7.7 DieDistortedWaveBorn Approximation(DWBA) . . . 390
7.7.1 Grundgedanke . . . 390
7.7.2 AufspaltungdesPotentials . . . 390
7.7.3 AufspaltungderT-Matrix . . . 392
7.7.4 Begrisbildung . . . 393
7.7.5 Beispiele ausderKernphysik . . . 394
8 Vieltei l hentheori e 396 8.1 SystemevonuntersheidbarenTeilhen. . . 396
8.1.1 UnabhängigeBewegung . . . 396
8.1.2 AbhängigeBewegung . . . 398
8.2 Symmetrisierungb eiidentishenTeilhen . . . 400
8.2.1 Einleitung . . . 400
8.2.2 Nomenklatur . . . 400
8.2.3 Op eratoreninVielteilhensystemen . . . 401
8.2.4 DerVertaushungsop erator ^ P ih . . . 402
Aussehen der(anti-)symmetrishenWellenfunktionen . . 404
8.2.5 Slater-Determinante . . . 407
8.2.6 MatrixelementeinesEinteilhenop erators . . . 409
Zusammenfassung . . . 410
8.3 Fo k-Darstellung . . . 411
8.3.1 Einleitung . . . 411
Vielteilhensysteme. . . 411
8.3.2 Fo k-Darstellung . . . 412
8.3.3 Transformation . . . 413
8.3.4 Zweiteilhensysteme . . . 415
8.3.5 Ausblik. . . 419
8.4.1 Nomenklatur . . . 420
8.4.2 Op eratoren . . . 421
Einteilhenop eratoren . . . 422
AntisymmetrisheVielteilhenop eratoren . . . 423
Zweiteilhenop eratoren. . . 425
8.5 Wik'shesTheorem . . . 428
8.5.1 Einleitung. . . 428
8.5.2 Normalpro duktN( ^ U ^ V ^ Z)undKontraktionK ( ^ U ^ V) . . 428
8.5.3 Wik'shesTheorem . . . 430
8.6 Hartree-Fo k-Gleihung . . . 433
8.6.1 Problemb eshreibung. . . 433
8.6.2 Reduktionauf einenEinteilhen-Op erator . . . 433
MögliheAnsätze. . . 433
OptimaleNäherung . . . 434
AnsatzfürdieEinteilhen-Wellenfunktion . . . 434
Hartree-Fo k-Gleihung . . . 435
Selbstkonsistenz-Problem . . . 437
AbshlieÿendeBemerkung . . . 438
8.7 Quasiteilhen;dasBCS-Theorem . . . 439
8.7.1 VariantenzumHartree-Fo k-Verfahren. . . 439
Sup erp ositionvonSlater-Determinanten . . . 439
Beimishungen . . . 439
8.7.2 VerallgemeinerungdesQuasiteilhen-Ansatzes. . . 440
8.7.3 AllgemeinesQuasiteilhen-Vakuum jBCSi . . . 442
Sonderfälle . . . 442
Teilhenpaare . . . 442
Hamilton-Op erator. . . 443
8.8 SymmetrieeigenshaftderVieltteilhensysteme . . . 446
8.8.1 Shalenmo dellderAtomphysik . . . 446
8.8.2 Shalenmo dellderKernphysik . . . 446
8.8.3 Shalenmo dellderTeilhenphysik. . . 446
8.8.4 FreiesVielteilhensystem . . . 447
8.8.5 EntartetesFermigas . . . 447
9 Relativisti she Quantenmehanik 449 9.1 BegriederSp eziellenRelativitätstheorie . . . 449
9.1.1 Lihtausbreitung . . . 449
9.1.2 4-er-Vektoren . . . 450
Ortsvektor . . . 450
Ko-undkontravarianteVektorshreibweise . . . 450
MetrikderRaum-Zeit . . . 451
Lorentz-Transformation . . . 452
Geshwindigkeit . . . 453
9.1.3 Eigenzeit . . . 453
9.1.4 Impulsals4-er-Vektor . . . 454
Impulsundeektive Masse . . . 454
EnergieundImpuls . . . 455
9.1.5 Vektor-Nomenklatur . . . 456
Mishshreibweise . . . 456
TransformationsverhaltenkovarianterVektoren . . . 458
Rüktransformation . . . 458
Dierentiation . . . 459
9.1.6 Impulsop erator . . . 460
9.2 Klein-Gordon-Gleihung . . . 462
9.2.1 RelativistisheShrö dinger-Gleihung . . . 462
Problematik. . . 462
Zielsetzung . . . 463
9.2.2 RelativistisheWellenfunktionI. . . 463
Ansatz . . . 463
Klein-Gordon-Gleihung . . . 463
9.2.3 Üb erprüfungderKlein-Gordon-Gleihung . . . 464
Zeitb etrahtung. . . 465
Wahrsheinlihkeits-undStromdihte . . . 465
9.2.4 ErgebnisdurhUminterpretation . . . 467
ProblemdesGrenzfalls . . . 467
Uminterpretation . . . 468
Ansatz zurErfüllungdesGrenzfalls . . . 468
Stromdihte . . . 469
Ausblik. . . 469
9.3 Dira-Gleihung. . . 470
9.3.1 Motivation . . . 470
9.3.2 RelativistisheWellengleihungI I. . . 470
LinearerAnsatz. . . 470
Entwiklungsko ezientendesWurzelop erators . . . 470
Dira-Matrizen . . . 471
Dira-Gleihung . . . 473
VorläugeInterpretation desBeispiels . . . 474
Ergebnis. . . 474
9.3.3 Kontinuitätsgleihung . . . 475
Ergebnis. . . 476
ZusammenfassenderSpinorkomp onenten . . . 476
9.3.4 Ausblik. . . 476
9.4 KovarianzderDira-Gleihung . . . 477
9.4.1 ShreibweisederDira-Gleihung . . . 477
-Matrizen . . . 477
Dolh-Op erator . . . 479
Fragestellung . . . 479
9.4.2 Ko ordinatentransformationen . . . 479
Beispielsystem . . . 479
Ko ordinatentransformation . . . 480
KontravarianteTransformationsmatrix . . . 481
KovarianteTransformationsmatrix . . . 482
Rüktransformation . . . 483
9.4.3 LösungderDira-Gleihung . . . 484
Zur Erinnerung . . . 484
LösungimRuhesystemdesTeilhens. . . 485
LösungimLab orsystem . . . 486
AllgemeinerAnsatz . . . 487
9.4.4 Bo ost . . . 490
Zielsetzung . . . 490
TransformationdesDira-Spinors. . . 490
AnsatzfürdenBo ost . . . 491
AufstellendesBo ost-Op erators . . . 492
Bo ost-Beispiele . . . 492
9.4.5 NegativeEnergien . . . 494
Ruhesystem . . . 494
Lab orsystem . . . 495
Interpretation. . . 495
Lamb-Shift . . . 496
9.4.6 Ausblik. . . 496
9.5 Dira-TeilhenimZentralfeld . . . 497
9.5.1 VergleihmitderShrö dinger-Gleihung . . . 497
Eigenfunktionssystem . . . 497
Paritätsop erator . . . 497
9.5.2 AnsatzfürdieLösungderDira-Gleihung . . . 500
Separationsansatz . . . 500
EigenwertgleihungenfürdieLösungsanteile. . . 500
FormaleLösung. . . 503
Wahrsheinlihkeitsdihte . . . 504
9.6 LadungimelektromagnetishenFeld . . . 505
9.6.1 KlassisheElektro dynamik . . . 505
Maxwellgleihungen . . . 505
Elektro dynamikundMehanik . . . 506
MagnetfeldundVektorp otential . . . 506
9.6.2 Dira-Gleihung . . . 507
Vektorp otential . . . 507
Hamilton-Funktion . . . 508
Hamilton-Op erator. . . 509
Dira-Gleihung . . . 509
Ansatz. . . 510
NihtrelativistisherGrenzfall . . . 511
Anhang 513
A Griehishes Alphabet 513
B Physikalishe Konstanten 514
C Zeihen und Symbolik 515
Tabellenverzeihnis 517
Abbildungsverzeihni s 517
Zur Vorb ereitungauf dieDiplomprüfunginTheoretisherPhysikentshlossen
wir uns dazu, die Mitshrieb e der Quantenmehanik-Vorlesungen von Herrn
MütherineinelesbareFormzubringen(unsereLive-Mitshrieb eerfüllendie-
senAnspruh niht).StändigePräsenz inden Vorlesungen,Mitshriftdes Ta-
felanshriebsundeineArtKommentierung,alsoeineNiedershriftdessen,was
HerrMüthernurerzählthatohneesanzushreib en,warendieVoraussetzungen
fürdasvorliegendeSkript.
Handshriftlihmahtein solhesProjektwenigSinn,daesshwerzu ändern,
zu ergänzen, und vor allem auh zu vervielfältigen ist. Nur ein Textverarb ei-
tungssystemkann den rihtigen Rahmenbieten. Nah (negativ ausgefallenen)
Tests zumThemaFormelnmitStandardOe-Paketen eldie Wahlshnell
auf L A
T
E
X. InHinblikauf dieEinsetzbarkeit diesesSatz-Wissensauh fürdie
Diplomarb eit, arb eiteten wir uns zunähst grob in die Befehlswelt von L A
T
E X
ein.WährenddieerstenKapitelentstanden,konntenwirunserenBefehlsshatz
ergänzen;insb esondereumdieMöglihkeitenderA
M
S-Pakete Dankderaus-
gezeihnetenDarstellungin[Grätzer℄.
NunzudenAbstrihen.VorallemAbbildungenkommenzukurz;mangelsZeit
wurdensieweggelassen. Wo HerrMüthereine Skizzeangemalt hat,wurde sie
jedo h wenigstensdurheineBilduntershriftangedeutet.Die meistenSkizzen
sindfürdasTextverständnisauhnihtunb edingt notwendig, siedienenmehr
derAuo kerungdurhVisualisierung.
EinenIndexzuerstellenistwohlsehraufwendig.Stattdessenversuhtenwirden
Text durh zusätzlihe Gliederungseb enen sinnvoll(feiner) zu unterteilen, um
denHandlungsgangoensihtliherzugestalten.ImInhaltsverzeihnisführen
wir alle vier Üb ershriftseb enen auf, so dass auh ohne Index ein Navigieren
möglihist.
AnsonstenwurdedieStrukturderVorlesungb eib ehalten.DerInhaltwurdevon
uns ergänzt und b earb eitet, so dass wir es (möglihst auf Anhieb) verstehen
würden,würdenwiresdasersteMallesen.VorallemdieserAnspruhhatviel
Mühe gekostet und das Skript dik werden lassen. Wir sind dadurh jedo h
unserem Ziel einer Prüfungsvorb ereitung näher gekommen, und hoen, dass
auhAnderedavonprotierenkönnen.
Wir danken!
BlekmannMo defürMännerGmbHfürdiegeneröseBereitstellungvon
tausendenvonSeitenKonzeptpapierfürmehrereProb eausdruke.
1997/98
Einleitung
0.1 Vorbemerkung
ZuBeginndiesesJahrhundertswirddieKlassisheMehanikdurhneueTheori-
enabgelöst.VershiedeneExp erimenteführenzuWidersprühen,wennklassish
argumentiertwird.AndieStellederKlassishenMehaniktretenTheorien,die
die Exp erimente widerspruhsfrei erklären können. Gleihzeitig enthalten die-
seTheorienjedo h dieKlassisheMehanik alsGrenzfall.Siesindsomitkeine
Sp ezialfälle,sondernglobal gültig,wob eisihihreFormelnaufdie Klassishen
reduzieren, solange die Gröÿenordnungen der Parameter in einem menshli-
hen Rahmenbleib en.
DieRelativitätstheorie:RaumundZeitwerdengleihwertigb ehandelt;sie
sinddurhdieGravitationgeknautsht.
Sind die b etrahteten Geshwindigkeiten klein gegen die Lihtgeshwin-
digkeitunddieKörp ernihtzumassiv,sokannmanklassishrehnen.
Die Quantenmehanik: Die Physik des mikroskopishen Bereihs ist ei-
ne Revolution. Sie ist kontraintuitiv, ihre Voraussagen widersprehen
manhmaldemgesundenMenshenverstand.IhrAuftauhen lösteinen
Streitaus,derphilosophisherundreligiöserNaturist.
1
Im makroskopishen Bereih, wenn die Maÿstäb e und die auftretenden
Energien niht zu klein sind, darf klassish gerehnet werden. Bendet
man sih ab er tief im mikroskopishen Bereih, versagt die menshlihe
Anshauung.Mo dellekönnen dies teilweise abfangen,man sollte sih al-
lerdingsdavorhüten,siezuwörtlihzunehmen!
1
Alb ertEinsteinrükblikendzuseinerverzweifeltenSuhenaheinereinheitlihenTheorie
derQuanten[Hermann,S.193℄:
Eswar,wiewenneinemderBo denunterdenFüÿenweggezogenwordenwäre.
0.2 Warum ist die Quantenmehanik so revolu-
tionär?
VergleihenwirdieKlassisheMehanikmitderQuantenmehanik.
KlassisheMehanik Quantenmehanik
Bewegungsbeshreibungdes Systems
Die Bewegungsgleihungmit den An-
fangsb edingungen liefert eine eindeu-
tige Vorhersage fürdie Zukunft eines
SystemsausPunktteilhen.
Ausgehend von den Hamilton'shen
Bewegungsgleihungen:
_ p
i
= H
q
i
_ q
i
= H
p
i
erhält man durh die Kenntnis der
Anfangsb edingungenp
i (t
0 )undq
i (t
0 ),
sowie der Hamilton-Funktion H, die
dynamishen Parameter p
i
(t) und
q
i
(t)desSystems.
Die dynamishen Variablen des Sy-
stems, p
i und q
i
, sind niht gleih-
zeitig b estimmbar. Des weiteren sind
nur Aussagen üb er die Wahrshein-
lihkeitsverteilung der b etrahteten
Gröÿen möglih, also welher Wert
im Mittel vieler Messungengefunden
wird.
2
Weltbil d derWellen und Teilhen
KlassisheTeilhen(oft alsPunktteil-
hen b eshrieb en), wie z.B. Elektro-
nen, Nukleonen, o der die Erde, sind
Teilhenundverhaltensihauhso.
Wellen breiten sih wie Wellen aus.
Beshrieb enwerdensieinderElektro-
dynamik,OptikundHydro dynamik.
Die strengeTrennung der klassishen
Konzepte Welle und Teilhen wird
ersetzt durh einen Welle-Teilhen-
Dualismus.WellenzeigeneinTeilhen-
verhalten, Teilhen können als Welle
b eshrieb enwerden.
Messwerte
Messwertesindkontinuierlih. Für viele Messgröÿen (Observablen)
gibtesnurdiskreteMesswerte;siesind
quantisiert.
Einuss des Experiments auf dasSystem
Das Exp eriment hat keinen Einuss
auf das System; die Messapparatur
stört die Messung(b ei durhdahtem
Aufbau)niht.
DerBeobahterstörtdenZustanddes
Systemsdurhjede Messung,undb e-
einusstdamitunmittelbardasMess-
ergebnis.
2
0.3 Klassishe Untersheidung von Teilhen- und
Welleneigenshaften
0.3.1 Gedankenexperiment: Der Doppelspalt
EinGedankenexp erimentsolldieUntershiedezwishendemquantenmehani-
shenWelle-Teilhen-DualismusunddemklassishenMo dellverdeutlihen.
Wir b etrahten eine idealisierte (vereinfahte) Darstellung des Dopp elspalt-
Versuhs.
3
Abbildung1:ShematisherAufbaudesDopp elspalt-Exp eriments.
0.3.2 Versuh mit makroskopishen Kugeln
DerDetektormisst,wievieleTeilhenn(x),b eiderPositionx,aufdemShirm
auftreen.DieGesamtzahl derdetektierten TeilhenseiN.Dannist:
W(x)= n(x)
N
der Anteil der Kugeln die b ei x ankommen. W(x) entspriht ab er auh der
Wahrsheinlihkeit füreine Kugel,dasssiegeradeb ei x den Shirmtrit. Die
VerteilungsfunktionW(x)zählt Kugeln,istalsop ositivdenit,d.h.W(x)0.
Versuhsablauf
1. ZunähstwirdderlinkeSpaltabgedekt,sodassdieKugelnnurdurhdie
rehteÖnungiegenkönnen.DieVerteilungW
r
(x)wirddetektiert.
Abbildung2:VerteilungderKugelnb eiabgedektemlinkenSpalt.
2. Nun werdendie Kugelnnurdurh den linkenSpalt gelassen.DieVertei-
lung W
l
(x)entspriht(statistishb etrahtet)dervonW
r
(x),bisauf eine
VershiebungdurhdenAbstand derSpalte.
Abbildung3:VerteilungderKugelnb ei abgedektemrehtenSpalt.
3. Beide Spaltesind oen, man erhält die Summeder b eiden Einzelvertei-
lungen,dadieKugelnsihnihtgegenseitigb eeinussen:
W(x)=W
l
(x)+W
r (x)
3
Youngführtedashierb eshrieb eneExp erimentmitPhotonenaus(Young'sherDopp el-
spaltversuh),undzeigtedamitdenDualismusfür klassishalsWelleb etrahtete Objekte
(derenTheorieEinstein1905aufstellte).
DavissonundGermerwarendieErsten,dievergleihbareExp erimentemitElektronendurh-
führten(1927),undsomitdenDualismusfürObjektezugänglihmahten,diebisheralsreine
Teilhenb etrahtetwurden(zumindestbis1923, alsdeBrogliedenDualismusfürTeilhen
Abbildung4:GesamtverteilungderKugelnb eimDopp elspalt.
Ergebnisfür makroskopishe Teilhen
BeimakroskopishenKugelnaddierensihdieEinzelverteilungenungestörtzur
Gesamtverteilung.
0.3.3 Versuh mit Lihtwellen
DerEinfahheithalb erwählenwirmono hromatisheelektromagnetisheWel-
len. Die Wellenlänge soll sein, dann ist die zugehörige Wellenzahl k = 2
.
MitderVakuumlihtgeshwindigkeitistdie(Kreis-)Frequenz!=k.Dieder
LihtwellezugeordneteWellenfunktion:
(~r;t)=ae i(
~
k ~r ! t)
b eshreibtdieAusbreitungderWellenimRaum.Die RihtungdesWellenvek-
tors
~
k gibtdieAusbreitungsrihtungderWellean.Ersteht gleihzeitigfürdie
räumlihePerio dizitätderWelle.
Die Wellenfunktion selbst kann durh kein Exp erimentgemessen werden. Die
Detektoren könnennurdieIntensitätmessen:
4
I(x)=
(x)(x)
EventuellvorhandenePhaseninformationengehendab eiverloren.
5
Auhhierist
die(Intensitäts-)VerteilungI=
0 p ositivdenit.
WiederholenwirnundiedreiTeilexp erimentefürLihtwellen,wob eiwirideali-
siertdenSpaltsokleinwählen,dassnurjeweilseineElementarwellehinterdem
Spaltentsteht.
6
Versuhsablauf
1. ZunähstwirdwiederderlinkeSpaltabgedekt.Wirsehenno hmalseine
Verteilung wie in Abbildung 2. Die Wellenfunktion und die zugehörige
Intensitätsverteilungsindgegeb endurh:
r
= a
r
r e
i! t
e ik r
r
I
r
=
r
r
= a
2
r 2
r
(r
r und r
l
sind im Folgenden der Abstand der Shirmko ordinate x zur
rehtenbzw.linkenSpaltönung.)
4
Der Vereinfahungwegen b etrahten wir nur eine Dimension der Verteilung auf dem
Shirm.
5
EinPhasenfaktore i'
wirddurhdieBetragsquadratbildungmitseinemnegativen Ge-
genstüke i'
zu1wegmultipliziert.
6
Interferenzen,diedurhÜb erlagerungvershiedenerWellenzügeeinunddesselb enSpalts
zustandekommen,mö htenwiralsoignorieren.DasentsprihtzwarnihtderRealität,dadie-
serEektjedo hnihtszuunserenÜb erlegungenb eiträgt,könnenwirihngetrostweglassen;
2. DekenwirdenrehtenSpaltab,soerhaltenwirerwartungsgemäÿAbbil-
dung3:
l
= a
r
l e
i! t
e ik rl
I
l
=
l
l
= a
2
r 2
l
3. Sindnunb eideSpalteoen,sointerferierendieLihtwellenderElementar-
welledeslinken Spaltsmit derdes rehtenSpalts. Die Wellenfunktionen
addierensih zwarungestört:
ges
=
r +
l
=ae i! t
e ik rr
r
r +
e ik rl
r
l
fürdieIntensitätenergibtsihjedo heinzusätzliherInterferenzterm:
I
ges
=
ges
ges
=
ae i! t
e ik rr
r
r +
e ik rl
r
l
ae i! t
e ik rr
r
r +
e ik rl
r
l
=a 2
1
r 2
r +
1
r 2
l
+ 1
r
r r
l
e
ik (rr rl)
+e
ik (rr rl)
=a 2
1
r 2
r +
1
r 2
l +
2
r
r r
l
os(k(r
r r
l ))
Abbildung5:Intensitätsverteilungb eimDopp elspaltmitLihtwellen.
Ergebnisfür Wellen
DieIntensitätendereinzelnenWellenzügeaddierensihnihtungestörtwiedie
Wellenfunktionen:
I
ges 6=I
l +I
r
dadieWellenmiteinanderinterferieren;esentstehteineandereGesamtintensi-
tät.Formalkönnen wirdieDierenz durheinInterferenzglied b eshreib en:
I
ges
=I
l +I
r +I
Interferenz
0.3.4 Fazit unseres Gedankenexperiments
Bishierhin ist die Welt no h klassishin Ordnung.Unsere Kugelnzeigen das
erwartete Teilhenverhalten, die Interferenzersheinungender elektromagneti-
shenWellensindunsseit Huygensb ekannt.
0.4 Quantenmehanisher Dualismus
0.4.1 Teilheneigenshaften des Lihts
Energiequanten
Ein Detektor für Liht ist der Szintillationszähler. Shwähen wir die Inten-
sität eines detektierten Strahls, so kann man im Szintillationszähler einzelne
Elektronenerkennen.DiesewerdenjeweilsvoneinzelnenPhotonendurhden
Photoeekt ausgelöst.
Satz. DieEnergiedesLihts(allgemeinallerelektromagnetisherWellen)wird
in PaketenderEnergie:
E
Photon
=h=~! Energiequant
transportiert. Der Proportionalitätsfaktor ~ :=
h
2
dieser Beziehung zwishen
Energie undFrequenz isteineNaturkonstante.
DasPlank'sheWirkungsquantum hhatdieDimensionvonEnergieZeit bzw.
ImpulsLänge. DiesentsprihteinerWirkung.
h=6;6260755(40)10 34
Js Plank'shesWirkungsquantum
Fazit
ElektromagnetisheWellenkönnensih wieTeilhenverhalten.Ab er wiesieht
esmitdenTeilhenselbstaus?
0.4.2 Welleneigenshaften von Teilhen
Interferenzen von Teilhen
Wir wiederholen den Dopp elspaltversuh mit mono energetishen Elektronen.
Den Elektronen wird zwishen Glühkatho de und Gitterano de die kinetishe
Energie 1
2 mv
2
=eU mitgegeb en,wennU diePotentialdierenzderb eidenElek-
tro denist.MitdieserEnergiewerdensieinRihtungDopp elspaltfreigelassen.
Abbildung6:Dopp elspaltversuhmitElektronen.
Auf demShirmnden wir das Interferenzbild vor, dasswir shon vom Liht
kennen!
VersuhenwirdenImpulsdesTeilhensinBeziehungzudieserWelleneigenshaft
zu bringen. Benutzenwir dazu die Impulsb eziehung p =~k, wie sieauh für
Photonengilt,so gelangenwirzu:
k= p
Setzenwirinp=mv dienahv aufgelösteEnergieb eziehungein:
k= p
2meU
~
ÄndertmandieBeshleunigungsspannungU,soändertsihalsodiedenElektro-
nenmitImpulspzugeordneteWellenzahlk,unddamitauhdasInterferenzbild,
dasdieseElektronenauf demShirmhinterlassen.
0.4.3 Quantenmehanishe Deutung des Doppelspalts
Wir hab en gesehen, dasssih die Verteilungauf demShirmändert, je nah-
dem,obwireinenSpaltzuhalten,undsomitwissen,durhwelhenShlitzdas
Teilheniegt,o derobwirb eideWegefreihalten,unddamitnihtmehrrekon-
struierenkönnen,welhenWegdasTeilhengenommenhat.
ImerstenFalladdierensihdieIntensitätendereinzelnenVerteilungen,imzwei-
tenFalladdierensih dieWellenfunktionen; dieGesamtintensitäterhält einen
zusätzlihen Interferenzterm. Manmuss also untersheiden, wiedie Üb erlage-
rungstattndet.
Zub eahtenistdab eiimmer,dasswirinderQuantenmehaniknurWahrshein-
lihkeitsverteilungenW(x)messenkönnen.VonderWellenfunktionselbstkön-
nenwirnurdasBetragsquadratinErfahrungbringen:
W(x)=
(x)(x)
Wir müssen nun oensihtlih zwei Alternativen der Üb erlagerung von Wel-
lenfunktionenbzw.ihrerIntensitätenb etrahten.EineausführliheDarstellung
dazu(undzumgesamtenDopp elspalt-Exp eriment)ndetsihin[Feynman,Ka-
pitel1℄.FassenwirdieUntershiedezusammen.
Kohärente Überlagerung
Sindb eide Spalteoen, sosinddieWege,dieeinElektronvonderQuellezum
Shirmzurüklegenkann, ununtersheidbar,
= X
i
i z.B.
=
1.Spalt +
2.Spalt
mansprihtvon einemkohärenten Zustand.Bei derWahrsheinlihkeitsvertei-
lungtretendannInterferenzgliederauf:
W(x)=
X
i
i (x)
2
= X
i W
i
(x)+Interferenzterme
Kohärente Üb erlagerungheiÿt also,dasssihdie Wellenfunktionengegenseitig
b eeinussen können. Sie addieren sih zu einer resultierenden Gesamtwellen-
Inkohärente Überlagerung
Sind die Wege untersheidbar (indem man wehselweise die Spalte ab dekt,
o derdieElektronenb eimPassiereneinesSpaltssihtbarmaht),sondetkeine
Interferenzstatt:
W(x)= X
i W
i (x)=
X
i j
i (x)j
2
Hier spriht man von einem inkohärenten Zustand. Die Wellenfunktionen der
einzelnenAlternativenkennen sihhierniht.Entsprehendaddierensihnur
ihreErgebnisse,dieEinzelintensitäten.
0.4.4 Welle-Teilhen- Duali smus
Teilhen in derQuantenmehanik
VomElektronwissenwir,dassesTeilheneigenshaftenb esitzt:
DenierterAnkunftsort(Punkt aufeinemShirm).
Fliegt(nahweisbar)durheinen(konkreten)Spalt.
Besitzt wohldenierteEnergieundImpuls.
Wir hab en ab er auh gesehen, dass Elektronen Eigenshafteneiner Welle an-
nehmenkönnen:
Bewegung durh einen Dopp elspalt wie eine Welle, mit Beugungs- und
Interferenzersheinungen.
Wellen in derQuantenmehanik
VonelektromagnetishenWellenkennen wirdastypisheWellenverhalten:
Beugung,
Interferenz.
BeigenauererBetrahtungndetman ab erauhTeilheneigenshaften:
WohldenierteEnergie~!.
Konkreter Impuls (z.B. Impulsüb ertrag auf Elektronen b ei Photo- und
Zusammenfassung
Die Untersheidung zwishen Teilhen und Wellen muss aufgegeb en werden.
Klassish als Teilhen b etrahtete Objekte zeigen Wellenharakter, während
elektromagnetisheWellen(Newtonwürdediesgernehören)Teilheneigenshaf-
tenaufweisen.Wir sprehenvomWelle-Teilhen-Dualismus.
7
Wo sinddie makroskopishenQuanten?
VerhaltensihmakroskopisheObjekte andersalsmikroskopishe?Warum se-
henwirkeineInterferenzenindermakroskopishenPhysik?
Fest steht,dassdie makroskopisheWelt sihum viele Gröÿenordnungenvom
mikroskopishenBereihuntersheidet.DesWeiterensindvielemakroskopishe
Ereignisseunmittelbarmessbar(Jedersieht,obeinFahrgastdurhdiehintere
o dervordereTüredesBussesaussteigt,dieseSihtbarkeitlässtsihnihtohne
weiteresabshalten).Zusammenfassendlässtsihsagen:
Die makroskopishenAlternativensinduntersheidbar.
EntsprehendliegeninkohärenteZuständevor(ohneInterferenz).
DieEnergiensindimVergleihsehrgroÿ,sodassdieWellenlängenextrem
kurzsind,gemäÿdemob en b erehnetenGesetz
k= p
2mE
~
= 2
Gröÿenordnungsvergleih
VergleihenwirdieWelten anhandzweierBeispiele.
Beispiel (Mikroskopishe Welt). Ein Elektron wird mit 1V b eshleunigt;
esgewinntdab ei folgendeEnergie:
E=1eV=10 6
MeV
DieElektronenmasse b eträgt:
8
m
e
2
0;5MeV
DasergibtfürdieWellenzahl:
k= p
20;510 6
(MeV) 2
~
10
3
MeV
200MeVfm
= 1
2Å
DieWellenlängeliegtalsoimÅ-Bereih(1 Å=10 10
m).
9
7
HierkönntemannatürlihdieFragestellen,obdieb etrahtetenObjekteWelleundTeil-
henzugleihsind,denMantelb eiGelegenheitwehseln,o derdo heherkeinesvonb eidem
sind,undmanb esserdenBegrides(Wellen-o derTeilhen-)Charaktersverwendet.Dieklas-
sisheBegriswelthintersihlassendkannmandieObjektestilehtQuantennennen.
8
DerTeilhenphysikersprihtgernevon derMasseeinesTeilhens,obwohler eigentlih
die Energie des Teilhens meint. Manhe drüken sih korrekter aus und reden von der
(Ruhe-)MasseinderEinheitMeVüb er 2
.DieseSprehweiseergibtsihausderb erühmten
FormelE=m 2
.
9
DieLängeneinheitFemtometer(1fm=10 15
m)wirdinderKernphysikauhgerneals
Beispiel (Makroskopishe Welt). Eine Kugel derMasse m= 1g falle aus
derHöheh=1mherunter.
k= 1
10 16
fm
= 1
10 29
m
Zwishenden Weltenliegen alsoetwa20 Gröÿenordnungen!
0.4.5 Historishe Hinweise (Experimente) zur Dualität
Welleneigenshaf ten von Teilhen
DerWellenharaktervonTeilhenistvielfahnahweisbar:
Wellen-undBeugungsphänomenevonElektronen.
Neutroneninterferometer.
UnendlihvieleExp erimentemitElementarteilhen(Elektron,Proton,
Atomkern) 10
Historishzuerstentdektwurdenjedo hdie:
Teilhenei genshaften von Wellen
EntsheidendehistorisheExp erimentedazusind:
Der Photoeekt:PhotonenshlagenElektronen aus ihremAtom. Das
Photon gibtseine gesamteEnergie ~! anein Elektronab, dassineinem
Atomgebundenist.WenndasEnergiequant~! gröÿeralsdieBindungs-
energiedesElektronsist,verlässtdasElektronseinAtommitderverblei-
b endenEnergie:
E
kin
= 1
2 m
e v
2
e
=~! E
Bindung
Abbildung7:Photo eekt.
Der Comptoneekt: Photonen streuen an (quasi-)freien Elektronen.
PhotonundElektronführeneinenStoÿaus,dermit Hilfederklassishen
ErhaltungsgröÿenEnergie:
11
E
i
=~!
i
= 1
2 m
e v
2
e +~!
f
10
Als Elementarteilhen b ezeihnetman genau genommennur solhe Teilhen,die sih
nihtausanderenzusammensetzen.NahdemderzeitanerkanntenStandardmodell derTeil-
henphysiksiehehierzu[Griths ℄sinddasLeptonen(ElektronensindLeptonen),Quarks
undWehselwirkungsteilhen(wiez.B.dasPhoton dasAustaushteilhenderelektroma-
gnetishenWehselwirkung).Sosindz.B.Protonen,mitdenQuarksalsKonstituenten,keine
Elementarteilhen.DeshalbstehendieAnführungszeihenimText.
11
undImpuls:
p
i
=~k
i
=~k
f +m
e v
e
b erehnetwerdenkann,wenndemPhotondieEnergie~!undderImpuls
~k,entsprehendseinerFrequenz ! und seinerWellenzahlk, zugeordnet
wird.
Abbildung8:Comptoneekt.
Shwarzer Körper(Hohlraumstrahler):Bei diesemwihtigenExp e-
rimentwurdezumerstenMaldieAnnahmederQuantelungphysikalisher
GröÿenzurLösungeinesProblemsb enutzt.
Denition. Ein Shwarzer Körper ist ein Objekt, das die gesamte auf-
treendeStrahlung absorbiert.
Satz. EinKörper konstanterTemperaturstrahlteinSpektrumelektroma-
gnetisher Wellenaus, das zeitlihkonstant bleibt.Das Frequenzspektrum
einesShwarzen Körpers hängt alleinevonseinerTemperatur ab.
Abbildung9:Sp ektrumeinesShwarzenKörp ers.
Im Hohlraumwürfel(endlihen Volumens) der Kantenlängeabilden sih
stehendeWellen.DieZahldermöglihenShwingungsmodenNergibtsih
Abbildung10:StehendeWellenimHohlraumstrahler.
ausderSummeüb eralle KnotenindiedreiRaumrihtungen:
N = X
n
x n
y n
z b
= Z
d 3
k Z
! 2
d!
Dab eigiltfürdieWellenzahlendermöglihenShwingungen(n
x
;n
y
;n
z 2
N):
k
x
=n
x
a
; k
y
=n
y
a
; k
z
=n
z
a
Für jede Mo de (jede stehende Welle bzw. Freiheitsgrad !
i
= k
i ) gibt
es,nahdemGleihverteilungssatzder klassishenStatistik, die mittlere
Energie E= 1
2 k
B T.
Vor 1900 konnte die exp erimentell festgestellte sp ektrale Intensitätsver-
teilungI(!;T)zwardurhzweiNäherungsformelnb erehnetwerden;al-
lerdingsnihtimgesamtenSp ektrum. Dietheoretishe Beshreibungdes
gesamtenKurvenverlaufskonntensienihtleisten:
Für kleine! (
~!
kBT
1)liefertenRayleighundJeans mitobigenÜb erle-
gungen:
I! 2
k T
Das Wien'she Strahlungsgesetz setzte für groÿe !, also
~!
k
B T
1 die
Prop ortionalitätfolgendermaÿenan:
I! 3
e
~!
k
B T
Plankstellte dieHyp othese derEnergiepakete~! auf.DieWahrshein-
lihkeiteinsolhesEnergiepaketzundenistdab ei:
W e
~!
k
B T
Mit diesem Ansatz gelang es Plank die Näherungsformeln durh eine
exakte Berehnungsformelabzulösen.
Satz. Für alle Körper, die sih im thermishen Gleihgewiht benden,
gilt als spektrale Energiedihte
dE(! ;T)
d!
:
I(!;T)=
~
2
3
! 3
e
~!
k
B T
1
Plank'sheStrahlungsformel
DieseQuantelungderEnergie wurdespätervonanderenPhysikernüb er-
nommen;PlankselbstsahsienuralseinenTashenspielertrik,mitdem
dasrihtigeErgebnisherauskam.
Wellenmehanik
eindimensionaler Systeme
1.1 Erwartungswerte von Observablen undLoka-
lisierung durh Wellenpakete
1.1.1 Vorbemerkungen
Einstein-de-Broglie-Bezi ehungen
Der Welle-Teilhen-Dualismus der Quantenmehanik manifestiert sih in den
folgendenb eidenBeziehungen:
E=~! Einstein'sheBeziehung
~ p=~
~
k de-Broglie-Beziehung
Sie gelten in b eiden Rihtungen; sie denieren also die Welleneigenshaften
einesTeilhensgenausowiedieTeilheneigenshafteneinerWelle.Indieserletz-
tenKonsequenzstellte EinsteinseineBeziehunginderKorpuskulartheoriedes
Lihtsvon1905auf.deBrogliestellte1923dieHyp otheseauf,dassauhmateri-
elleTeilhenWellenharakterb esitzenkönnen.Diede-Broglie-Beziehungkonn-
tefürTeilhenerst JahrespäterinElektronenb eugungsexp erimentenb estätigt
werden.
Deutung. DieEinstein-de-Broglie-Beziehungenverknüpfen diedynamishen
Variablen des Teilhens mit den harakteristishen Gröÿen der zugeordneten
Welle.
Einem Materieteilhen der Energie E entspriht eine Materiewelle der
(Kreis-)Frequenz!.
Einereb enenWellee i(
~
k ~r ! t)
isteinegleihförmigeBewegungderEnergie
E inRihtungvon
~
kzuzuordnen.
Die Einstein-de-Broglie-Beziehungen gelten auh im relativistishen Bereih.
Dortmussallerdingsb eahtetwerden,dassdasVerbindungsglied eineandere
Formannimmt:
E= q
p 2
2
+m 2
0
4
m
0
istdie Ruhemassedes b etrahteten Teilhens,die Vakuumlihtgeshwin-
digkeit.
1.1.2 Ebene Wellen
Wahrsheinlihkei t
DieWellenfunktionzurBeshreibungeinerWellenb ewegunglautet imeinfah-
stenFall:
(x;t)=Ae i(k
0 x ! t)
wob eifüreb eneWellendieAmplitudeA=onst:ist.MitdieserWellenfunktion
(x;t) werdenin derElektro dynamik elektromagnetishe Wellenb eshrieb en,
wob ei!eineFunktionvonkist 1
.InderElektro dynamikndenwirweiter,dass
das Betragsquadrat der Wellenfunktion j j 2
der Intensität der Welle
entspriht.Das Exp erimentzeigtuns, dassdieseIntensitätimFallevonTeil-
henwellen derNahweiswahrsheinlihkeitdieserTeilhenentspriht.
Satz. Die Wahrsheinlihkeit ein Teilhen an einer bestimmten Stelle nah-
zuweisen, ist durh das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegeben, durh die
unserTeilhenimSinnedes Welle-Teilhen-Dualismusbeshrieben wird.
FürdiesesBetragsquadratführenwireinenneuenBegri ein:
Denition. DieWahrsheinlihkeitsdihte:
%(~r;t):=
(~r;t) (~r;t)j (~r;t)j 2
Wahrsheinlihkeitsdihte
entsprihtderWahrsheinlihkeit, dassdasTeilhen,dasdurhdieWellenfunk-
tion (~r;t)beshrieben wird, amPunkt 2
~rgefundenwird.
Wirb erehnendamitdieTeilhendihteunserereb enenWelle:
%(x;t):=
=jAj 2
=onst:
DieWahrsheinlihkeitsdihteeinereb enenWelleliefertunskeineInformation!
Die Aufenthaltswahrsheinlihkeitistimganzen Raumgleih.Damit hatman
imPrinzipeinfreiesTeilhenvorliegen.Wegen derinKürzevorgestelltenNor-
mierungsb edingungkannjedo heineeb eneWellekeinephysikalishenTeilhen
b eshreib en.
3
Zur formelmäÿigenErfassungehter Teilhenb enötigen wirden
1
DieVerknüpfung!=! (k )wirdalsDisp ersionb ezeihnet.FürelektromagnetisheWellen
imVakuumgilt!=j
~
k j
2
GenaugenommenistesnihtdieWahrsheinlihkeitaneinem(mathematishen)Punkt,
sondernineineminnitesimalenVolumenelementd 3
rumdenPunkt.
3
InmanhenFällengenügtes,eineWellenfunktiondurheineeb eneWellezunähernum
Begri desWellenpakets.Für einsolhesWellenpaket wird dann%nihtmehr
konstantsein,sonderneineehte Verteilungliefern.
Betrahtenwirnuneineortsabhängige(undzeitunabhängige 4
)Wellenfunktion
(x).MitA=A(x) istdieWahrsheinlihkeitsdihte:
%(x)=jA(x)j 2
6=onst:
WenndieAmplitudevonxabhängt,hab enwirsiherkeineshöneeb eneWelle
mehr,mit deressihso gutrehnenlässt.
UmphysikalishsinnvolleTeilhenb eshreib enzukönnen,müssenwireineFor-
derungandieWahrsheinlihkeitsdihte,unddamitauhandieWellenfunktio-
nenstellen.
Satz (Normierungsbedingung). Wirnormieren dieGesamtwahrsheinlih-
keitaufeins.DieseNormierungsbedingunggarantiertuns,dasssihdasTeilhen
(als Ganzes) irgendwo imbetrahteten Raumaufhält:
Z
V
%(~r)d 3
r=1 Normierungsb edingung
Erstmit dieserNormierungsb edingungkönnenwirgenauerformulieren:
Satz. Die Wahrsheinlihkeitsdihte %(~r) gibt uns die Wahrsheinlihkeit an,
das Teilhenim vorgegebenenVolumen amOrt~rzu nden.
Abbildung1.1:Wahrsheinlihkeitsdihte%(x)
Beispiel. SeidieWellenamplitudeA(x)=e x
2
2a 2
.DiesesA(x)b eshreibtdie
Ortsabhängigkeit der Wellenfunktion(a gibthierb ei die Genauigkeit desAuf-
enthaltsortesan,bzw.dieBreitederVerteilung).DieWahrsheinlihkeitsdihte
ergibtsih dannzu:
%(x)= 2
e x
2
a 2
Der Faktor soll sihern,dass obige Normierungsforderung erfüllt wird.Wir
müssenalsozunähstdiesenNormierungsfaktor b erehnen:
Z
+1
1
%(x)dx= 2
Z
+1
1 e
x 2
a 2
dx
[Bronstein℄
=
2
a p
AusderNormierungsb edingung R
%dx=1folgt für:
= 1
p
a p
4
Zeitunabhängigsollhierheiÿen,dassunszunähstnurdieAbhängigkeitvomOrtinter-
UnsereWellenfunktion 5
istdamit:
(x)=A(x)e ik
0 x
=e x
2
a 2
e ik
0 x
= 1
p
a p
e
x 2
2a 2
e ik0x
(
Beispiel )
Das Teilhenist also um x lokalisiert,mit einer gewissenAbweihungx. Es
istnihtexakt amPunktx lokalisierbar.
6
1.1.3 Observable
Gröÿen, die wir theoretish zu b eshreib enversuhen, sind grundsätzlih sol-
he, die wir auh im Exp eriment messen können. Wir nennen sie auh gerne
physikalisheGröÿen.NurfürsiekönnenwirdieTheoriedurhdasExp eriment
üb erprüfen.VoralleminderQuantenmehanikhatsihfürdieseb eobahtba-
ren GröÿenderBegri Observable eingebürgert.
1.1.4 Erwartungswert
DieQuantenmehanikliefertunsWahrsheinlihkeitsaussagenüb ereinSystem.
UmdiesezuverizierenmussimExp erimenteinegroÿeAnzahlvonMessungen
unteridentishenBedingungendurhgeführtwerden.EinfürsolheMessreihen
aussagekräftigesErgebnisfüreineObservableqistihrMittelwertq.
InderQuantenmehanikwirddasSystem,daswirb eobahten,durheineWel-
lenfunktion b eshrieb en.DerenOrtsverteilungist%(x)=
.DerMittelwert
einerObservablenf(x)hängtsiherlihdavonab,wosihdasSystemb evorzugt
aufhält.ManndetfolgendeBeziehung:
Satz. DerMittelwert
f(x)einerObservablenf(x)einesSystems,dessenWahr-
sheinlihkeitsdihte %(x)ist, istgegeben durh:
f(x)= Z
+1
1
f(x)%(x)dx
Beispiel. SoistderMittelwertfürdieObservableOrt xgegeb endurh:
x=
Z
+1
1
x%(x)dx
Diesertheoretishe Wert gibtden imExp erimentgemessenen(wenn wir x oft
genug messen) um so b esser wieder, je genauer die gewählte Wellenfunktion
unserTeilhenb eshreibt.
5
Diesekonkrete WellenfunktionziehtsihalsBeispieldurhdieweiterenBetrahtungen.
Wirnennensiedeshalb
Beispiel
undverweisengegeb enenfallsaufdieseSeite.
6
EineMessreihedesAufenthaltsorteswürdeeineVerteilungderMesspunkteentsprehend
FürunsereBeispiel-Wellenfunktionistdies:
x=
Z
+1
1
(x)x (x)dx
= 1
a p
Z
+1
1 xe
x 2
a 2
dx
= 1
a p
Z
+1
0 xe
x 2
a 2
dx+ Z
0
1 xe
x 2
a 2
dx
=0
AlsoderKo ordinatenursprung.
In der Quantenmehanik hat sih eine andere Begriswelt und Nomenklatur
entwikelt,deren Relevanz wir erst später erkennen werden. Dazu ordnen wir
% =
im Integral um und nennenquantenmehanisheMittelwerte fortan
Erwartungswerte:
Denition. DerErwartungswerteiner Gröÿe f(x) istdeniertals der Mittel-
wertvon f(x) bezogenauf die Wahrsheinlihkeitsdihte %(x)=
:
hfih jfj i:=
Z
+1
1
(x)f(x ) (x)dx
Notation. BeahtedieabkürzendeShreibweisehfiinderDenition.Siekann
nur verwendetwerden,wenn eindeutigist, auf welhe Wellenfunktionsih der
Erwartungswert b ezieht. Ist dies unklar, so muss der Erwartungswert ausge-
shrieb enwerden.Manhmalwirddannauh hfi geshrieb en.
Bemerkung. MandarfdenErwartungswerthfinihtmitdemzeitlihenMit-
teleinerMessungzeitabhängigerVorgängeverwehseln.ErstelltdenMittelwert
einerMengeidentisherEinzelmessungen(einesstatishenSystems)dar.
Beispiele für Erwartungswerte
Beispiel. BetrahtedieObservableOrt:
f(x)=x
IhrErwartungswertist:
hf(x)i=hxi
Erharakterisiertden mittlerenAufenthaltsortdesTeilhens,alsodenOrt,an
demdasTeilhenmitdergröÿtenWahrsheinlihkeitgemessenwerdenkann.
WennwirdieWellenfunktionkennen,könnenwirdieWahrsheinlihkeitsdihte
b erehnen.Der ErwartungswerteinerphysikalishenMessgröÿe (z.B. derAuf-
trepunkteinesPhotonsaufdemShirmhintereinemDopp elspalt)istdieGe-
wihtungdieserMessgröÿemitderWahrsheinlihkeitsdihtederWellenfunkti-
Beispiel. Seif(x)einortsabhängigesPotential:
f(x)=V(x)
DerErwartungswertistdanngegeb endurh:
hf(x)i= Z
+1
1
V(x)%(x)dx
BevorwirdiesesBeispielkonkretisierenkönnen, b enötigenwirno heine:
Denition (Gamma-Funktion). Esist:
7
(k+1)=k (k)
mitdenspeziellen Funktionswerten:
(1)=1
1
2
= p
Abbildung1.2:Potentialverlauf.
Beispiel. Damitkönnenwirkonkreterwerden:V(x)=bx k
.
DerErwartungswertistdab ei:
hbx k
i= 1
a p
Z
+1
1 bx
k
e x
2
a 2
dx
= b
a p
(
0; fürungeradek;
2 R
+1
0 e
x 2
a 2
x k
dx=a k +1
k +1
2
; fürgeradek.
Beispiel. Werdenwirganzkonkret,undsetzenk=2ein.
Fürk=2b enötigenwirden -FunktionswertanderStelle 3
2 :
3
2
= 1
2 1
2
= p
2
Darausfolgt fürobigenMittelwert:
hbx 2
i= b
a p
a
3
p
2
= ba
2
2
Wirdagröÿer, sowirddieVerteilungbreiter.
DieseBerehnungenliefern unsalsInformationden Mittelwert einerObserva-
blen.Die nähsteInformationdie unsinteressiert,istdieShwankungumdas
Mittel,alsoeineAussageüb erden FehlereinerMessung.
7
DieGleihungensindgenaugenommennihtdie Denitionder -Funktion, sondernEi-
genshaften,diesihausderDenitionergeb en.FürunsereZwekespieltdiesjedo hkeine
1.1.5 Abweihung vom Mittelwert
Zwar wissen wir no h nihts üb er die mittlere Streuung der Messwerte vom
Mittelwert, dieAbweihungderEinzelmessungkönnenwirjedo halsBasisfür
weitereUntersuhungenverwenden.
Denition. Die Abweihungsfunktion g(x) gibt an, wie stark jede Einzelmes-
sungf(x) vomMittelwertabweiht.
g(x):=f(x) hfi
Dawirno hkeinemathematisheBeshreibungfürdieShwankungderMessrei-
hekennen,versuhenwiresmiteinemsinnvollersheinendenAnsatz,undprüfen
diesendarauf,oberphysikalishauswertbareErgebnisseliefert.
1.Versuh umInformationenaus derAbweihungsfunktiong(x) zu gewinnen;
DerMittelwertderAbweihungsfunktion:
hgi= Z
+1
1
(f hfi) dx
= Z
+1
1
f dx Z
+1
1
hfi dx
hfiisteineZahl undkannvordasIntegralgezogenwerden:
=hfi hfi Z
+1
1
dx
MitderNormierungunsererWellenfunktion:
=hfi hfi1
=0
Ergebnis:GenausovieleMessungenliegenlinkswierehtsvomMit-
telwert.DerMittelwertderAbweihungsfunktionb estraft ab erje-
deAbweihunggleih,egaloblinkso derrehts.Erliefertunssomit
keineInformation.
2.Versuh Diesmal quadrieren wir die Abweihungsfunktion, damit die Rih-
tungsabhängigkeit der Abweihung wegfällt. Wir b etrahten dazu
denMittelwert desQuadratsderAbweihungsfunktion:
hg 2
i=h j(f hfi) 2
j i
Klammernausmultiplizieren:
=h jf 2
2hfif+hfi 2
j i
ErwartungswertineinzelneTermeauösen:
=hf 2
i 2hfih jfj i+h jhfi 2
j i
AbkürzendeShreibweisefüralleTerme:
=hf 2
i 2hfihfi+hhfi 2
i
Der Erwartungswert ist eine Zahl; der Erwartungswert einer Zahl
istdieseselbst.Imletzten Term kanndie Zahlhfi 2
herausgezogen
werden(dasdab ei übrigbleib enedeSkalarpro dukth j iistwegen
derNormierungeins):
=hf 2
i 2hfihfi+hfi 2
=hf 2
i 2hfi 2
+hfi 2
=hf 2
i hfi 2
Eswirdsihzeigen,dassdieserAnsatz sinnvollist.
Denition (Mittleres Shwankungsquadrat). Das mittlere Shwankungs-
quadrateinerFunktionf istgegebendurhdenErwartungswertderquadrierten
Abweihungsfunktion:
(f) 2
:=hg 2
i=hf 2
i hfi 2
Denition (Standardabweihung). Die Standardabweihung einer Funkti-
onf istdurh dieWurzeldes mittlerenShwankungsquadrats deniert:
f =
p
(f) 2
= p
hf 2
i hfi 2
Überprüfung desmittlerenShwankungsquadrats. Wir mö hten prüfen, ob die
DenitioneinesinnvolleGröÿeliefert.Betrahtenwirhierzuwiederdieortsab-
hängigeWellenfunktion
Beispiel
vonSeite18:
(x)= 1
p
a p
e
x 2
2a 2
e ik
0 x
unddieObservableOrt:
f(x)=x
DannistderErwartungswertderObservable:
hf(x)i=hxi=0
derErwartungswertdesOrtsquadrats:
hf 2
i=hx 2
i= a
2
2
DasmittlereShwankungsquadratergibtsihdamit zu:
( x) 2
= a
2
0 2
= a
2
unddieStandardabweihungistgegeb endurh:
x=
a
p
2
Die DenitiondesmittlerenShwankungsquadratsliefert einenWert, der eine
sinnvolleAussageüb erdieBreitederVerteilungliefert.
DasmittlereShwankungsquadrat() 2
istfürb eliebigeObservableb enutz-
bar.
SpäterwerdenwirdieUnshärfeeinerObservablemitihrerStandardabweihung
identizieren.
1.1.6 Mathematisher Einshub: Dira'she Æ-Funkti on
Indiesem Abshnitt(eigentlih ständig) b enötigenwirdie Deltafunktion. Wir
b etrahtensiefüreindimensionaleKo ordinaten(im dreidimensionalenFallän-
dernsih imPrinzipnurdieVorfaktoren).
8
Denition (Æ-Funktion). Die Dira'she Æ-Funktion lässt sih als Integral-
kern mitfolgenderEigenshaft denieren:
9
f(x
0 ):=
Z
+1
1
f(x)Æ(x x
0 )dx
Die Integrationsgrenzen müssen niht notwendigerweise den ganzen Raum ab-
steken.Allgemeinerkönntemandenieren:
Z
b
a
f(x)Æ(x x
0 )dx:=
(
f(x
0
); fürx
0 2[a;b℄
0; fürx
0
= 2[a;b℄
EinSp ezialfalldieserDenitonistmit x
0
=0gegeb en:
f(0)= Z
+1
1
f(x)Æ(x)dx
Eigenshaften derÆ-Funktion
1. Symmetrie:
Æ( x)=Æ(x)
allgemeiner:
Æ(x x
0 )=Æ(x
0 x)
8
EinesehrausführliheDarstellungzurÆ -FunktionndetsihimAnhangvon[Cohen-2℄.
9
EinemMathematiker magesgrausendieseIntegralshreibweisezusehen,dadasstreng
genommenfüreineDistribution,wasdieÆ -Funktioneigentlihist,nihtgerehtfertigtist.Ein
2. FaktorimArgument:
Æ(x)= 1
jj Æ(x)
3. ArgumentalsVorfaktor:
xÆ(x x
0 )=x
0 Æ(x x
0 )
alsSp ezialfalldavon:
xÆ(x)=0
mit allgemeinemVorfaktor:
g(x)Æ(x x
0 )=g(x
0
)Æ(x x
0 )
4. Üb erlapp endeÆ-Funktionen:
Z
+1
1
Æ(x y)Æ(x z)dx=Æ(y z)
5. IstdasArgumentderÆ-FunktioneineFunktion,Æ(f(x)),sokannsiedurh
folgendeVorshriftaufdieFormÆ(x x
0
)gebrahtwerden:
Æ(f(x))= X
i 1
jf 0
(x
i )j
Æ(x x
i )
wob eix
i
dieNullstellenf(x
i
)=0derFunktion f(x) sind.
FouriertransformationundÆ-Funktion
Die FouriertransformiertederDira'shenÆ-Funktionwird inder Quantenme-
hanikoftb enutzt;mitihrerKenntnislässtsihmanhesIntegralvereinfahen:
Æ FT
x
0 (k)=
1
p
2 Z
+1
1 e
ik x
Æ(x x
0 )dx
Setztmanstattk denImpulsein,so ändertsihderVorfaktor:
Æ FT
x
0 (p)=
1
p
2~
Z
+1
1 e
i p
~ x
Æ(x x
0 )dx
ImSp ezialfallx
0
=0 wirddarauseineKonstante:
Æ FT
0 (k)=
1
p
2
Odermit geändertemVorfaktor fürp:
Æ FT
0 (p)=
1
p
Mitder inversenFouriertransformationerhält man eine alternative Denition
derÆ-Funktion:
Æ(x x
0 )=
1
2 Z
+1
1 e
ik (x x0)
dk
= 1
2~
Z
+1
1 e
i p(x x
0 )
~
dp
1.1.7 Wellenpakete und Impulsverteilung
Eine eb ene Welle (~r;t) = Ae i(
~
k~r ! t)
b eshreibt kein ehtes physikalishes
Teilhen,damit derAmplitudeA=onst:auh dieWahrsheinlihkeitsdihte
%imgesamtenRaumkonstantist.ImPrinzipwürdedieseinemfreienTeilhen
entsprehen,jedo histeinsolhes nihtnormierbar,d.h.dasIntegral R
%d 3
r
divergiert.
WirmüssenalsoWellenfunktionennden,die dierealenBedingungenerfüllen,
nämlihdassein TeilhenimgesamtenRaumgenaueinganzesmal vorhanden
ist.
10
Eszeigtsih,dassfür eb eneWellendas Sup erp ositionsprinzipgilt.Löseneb e-
ne Wellen die Bewegungsgleihung die unser System b eshreibt, so lösen alle
LinearkombinationendieserWellenwiederdieseDierentialgleihung.
Eine solheLinearkombinationlässt sih als Integral shreib en(Sup erp osition
Summe unendlihvieler eb enerWellen):
(~r;t)= 1
(2) 3
2 Z
C(
~
k )e i(
~
k~r ! (
~
k )t)
d 3
k
DieseSup erp ositioneb enerWellennenntman ein(3-dimensionales)Wellenpa-
ket,manhmalauhWellengruppe.
Eine Wellenfunktion die eine Bewegungsgleihung löst,also ein physikalishes
Systemdynamishb eshreibt,isteinWellenpaket.
Wir b etrahten zunähst nur eindimensionale Probleme, z.B. Bewegungen in
x-Rihtung.DieWellenfunktionhatdannfolgendeForm:
(x;t)= 1
p
2 Z
+1
1
C(k)e i(k x ! t)
dk
BetrahtenwirdieWellenfunktionnurzueinemkonkretenZeitpunkt(einfah-
heitshalb ermeistt=0):
(x)= 1
p
2 Z
+1
1
C(k)e ik x
dk
10
Wenn im Folgendenimmerwiedereine eb eneWelleals Beispielwellenfunktiongewählt
wird,sohatdieszweiGründe.Zumeinenlässtessihmiteb enenWellensehreinfahrehnen;
zumanderenliefernsie,füreinfahereProblemstellungen,durhauskorrekteErgebnisse.Die
