Trigonometrie 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie

Trigonometrie

3. Kapitel

aus meinem Lehrgang Geometrie

Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch

17. August 2008

Inhaltsverzeichnis

3 Trigonometrie 46

3.1 Warum Trigonometrie . . . 46

3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . 48

3.3 Trigonometrie am Einheitskreis . . . 52

3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen 57 3.5 Astrometrie - ein WebQuest . . . 60

3.5.1 L¨angen- & Winkelmessger¨ate . . . 60

3.5.2 Die alten Griechen . . . 60

3.5.3 Kepler & seine Gesetze . . . 60

3.5.4 Sinus- und Cosinussatz . . . 60

3.5.5 Der Venustransit . . . 60

3.5.6 Radioastronomie . . . 60

3.6 Trigonometrie im beliebigen Dreieck . . . 61

3.6.1 Der Cosinussatz . . . 61

3.6.2 Der Sinussatz . . . 62

3.6.3 Eindeutigkeit der L¨osungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes . . . 63

3.7 Additionstheoreme . . . 65

3 Trigonometrie

3.1 Warum Trigonometrie

In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und m´etron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen.

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagorasschon einige Aufgaben exakt l¨osen:

Beispiel 3.1.1 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABCsind die L¨ange der Hypotenuse c = 6 und die L¨ange einer Kathete b = 3,7 bekannt.

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨ange der zweiten Kathete und die H¨ohe des Dreiecks∆ABC.

Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Win- kel¨offnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir sp¨ater durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhin- dern k¨onnen.

Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pytha- goras ¨uberhaupt anwenden zu k¨onnen, auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile:

Beispiel 3.1.2 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABCsind die L¨ange der Kathete a = 5,5 und die ¨Offnung des Winkels α = 63⁰ bekannt.

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨angen der ¨ubrigen Seiten und die Gr¨osse des fehlenden Winkels.

Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir sp¨ater auch diese Aufgabe (und ¨ahnliche) exakt l¨osen k¨onnen.

3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen imrechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:

Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?

Wir fassen zusammen:

Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ublichen Be- zeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert:

sinα:=

cosα:=

tanα:=

Bem.: • sinβ:=

• cosβ:=

• tanβ :=

. . . und wir k¨onnen schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rewchtwinkligen Dreieck) formulieren:

Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte:

1. den Sinus von 13⁰, 76,5⁰, 658,9⁰, 2. den Cosinus von 77⁰, 43,9⁰, −54⁰, 3. den Tangens von 2⁰, 37,88⁰,

4. den Winkel mit dem zugeh¨origen Sinuswert 0,8, 0,2, −0,6,

5. den Winkel mit dem zugeh¨origen Cosinuswert 0,8, 0,2, 2,1,

6. den Winkel mit dem zugeh¨origen Tangenswert 0,8, 0,2, 2,1.

Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit dem TR:

α 0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰

sin . . . .

cos . . . .

tan . . . .

Standardaufgaben : F¨ur die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ubli- chen Bezeichnungen:

1. Geg: c= 56,4 ∧ α= 38,5⁰ Ges.: a, b

2. Geg: a= 148,2 ∧ β = 38,5⁰ Ges.: b, c

3. Geg: a= 10,74 ∧ b= 6,48 Ges.: α, c, β

3.3 Trigonometrie am Einheitskreis

In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einf¨uhren und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .

• dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin G¨ultigkeit haben,

• dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0⁰ und 90⁰ anwenden k¨onnen und

• dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt.

Der Einheitskreis:

Def.: cosϕ := x-Koordinate vonP sinϕ := y-Koordinate vonP

tanϕ := Quotient dery- & derx-Koordinate vonP

Veranschaulichung:

Verwende zur L¨osung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis:

Aufgaben : 1. Bestimme die folgenden Werte:

ϕ 0⁰ 90⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

sin . . . .

cos . . . .

tan . . . .

2. Beweise: sin²ϕ+ cos²ϕ= 1 3. Beweise: sinϕ= cos(90⁰−ϕ) 4. Beweise: cosϕ= sin(90⁰−ϕ)

Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tanϕ= sinϕ cosϕ

Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaf- ten der trigonometrischen Funktionen erkennen:

• F¨ur welche Winkel ist dersin-Wert negativ ?

• F¨ur welche Winkel ist dercos-Wert>0,5 ?

• F¨ur welche Winkel erhalten wir den selbensin-Wert ?

und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:

• F¨ur welche Winkel erhalten wir denselbencos-Wert ?

und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:

• Was f¨ur Beziehungen zwischensinundcoslassen sich mit Hilfe des 3. Quadranten bestimmen ?

Aufgabe : Formuliere eigene Beziehungen zwischensinundcos.

Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens besch¨aftigen:

Nach Definition gilt f¨ur den Tangens: tanψ:= sinψ cosψ

im 2. Quadranten:

tanψ =

im 3. Quadranten:

tanψ =

3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen

Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass ¨ublich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugeh¨origen Winkel¨offnung:

. . . und definieren:

Aufgaben : 1. Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und be- rechne den Funktionswert:

(a) sin 30⁰ (b) cos 120⁰

(c) tan 90⁰

2. Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und be- stimme den Funktionswert:

(a) sin^π₂ (b) cos−^π₆

(c) tan^2π₃

Die graphischen Darstellungen von sin,cos & tan:

• f¨ur den Sinus:

• f¨ur den Cosinus:

• f¨ur den Tangens:

3.5 Astrometrie - ein WebQuest

DieAstrometriebesch¨aftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanz- bestimmung in der Astronomie.

In diesemWebQuestwerdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden The- men auseinandersetzen:

3.5.1 L¨angen- & Winkelmessger¨ate

Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messger¨ate.

3.5.2 Die alten Griechen

Das Wissen ¨uber die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Kep- lers.

3.5.3 Kepler & seine Gesetze

Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen 3.5.4 Sinus- und Cosinussatz

Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke.

3.5.5 Der Venustransit

Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne 3.5.6 Radioastronomie

ModerneMethoden der Entfernungsbestimmung

3.6 Trigonometrie im beliebigen Dreieck

Wir werden im letzten Kapitel der Trigonometrie mit einer kurzen Repetition des Sinus- und Cosinussatzes und zwei Standardaufgaben beginnen und uns abschliessend mit derEindeutigkeitder L¨osungen bei der Anwendung von Sinus- und Cosinussatz besch¨aftigen.

3.6.1 Der Cosinussatz

Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

(F¨ur Herleitung & Beweis: siehe die Vortragsreihe!)

Aufgaben : In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:

a= 8, b= 5 , γ= 75⁰

KOnstruiere das Dreieck ∆ABC und bestimme c , α&β .

3.6.2 Der Sinussatz

Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

(F¨ur Herleitung & Beweis: siehe die Vortragsreihe!)

Aufgaben : In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:

α= 25⁰ , a= 4 , b= 6

Konstruiere das Dreiech ∆ABC und bestimme c , β&γ.

3.6.3 Eindeutigkeit der L¨osungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes

Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere L¨osungen existieren und wir wie viele L¨osungen gebrauchen.

Grunds¨atzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die L¨osungen eindeutig be- stimmt sind, wenn dieKongruenzs¨atzeerf¨ullt sind:

1. . . . 2. . . . 3. . . . 4. . . .

Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin⁻¹ und cos⁻¹) ent- stehen aber mehrere L¨osungen:

• Ist derCosinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugeh¨origen Win- kel, w¨ahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizit¨at un- endlich viele L¨osungen liefert:

Bsp.: cosϕ= 0,7 · der TR liefert:

ϕ0= . . .

· der Einheitskreis liefert : ϕ₀= . . .

ψ₀= . . .

· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:

ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...

ϕk= . . . ψ1= . . . ψ2= . . . ...

• Ist derSinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugeh¨origen Winkel, w¨ahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizit¨at unend- lich viele L¨osungen liefert:

Bsp.: sinϕ= 0,4 · der TR liefert:

ϕ₀= . . .

· der Einheitskreis liefert : ϕ₀= . . .

ψ0= . . .

· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:

ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...

ϕk = . . . ψ₁= . . . ψ₂= . . . ...

ψ_k = . . .

Welche L¨osung/ L¨osungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedin- gungen ist es ¨uberhaupt notwendig, eine zweite L¨osung zubestimmen?

• Im FallCosinus:

· die zweite L¨osung ist immer

· ⇒

· ⇒

3.7 Additionstheoreme