Trigonometrie GEOMETRIE

Trigonometrie

GEOMETRIE Kapitel 3, 4 & 5 MNProfil - Gymnasiale Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch

28. Dezember 2021

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zur Trigonometrie zu den Aufgaben & L¨osungen

Uberblick ¨¨ uber die bisherigenGeometrie - Themen:

1 Ahnlichhkeit¨

1.1 Definition & Eigenschaft 1.2 Die Kongruenzabbildungen 1.3 GeoGebrain der Geometrie

1.4 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften 1.5 ¨Ahnlichkeit im Dreieck

1.6 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras 1.7 ¨Ahnlichkeit im & am Kreis

1.8 Die Strahlens¨atze

2 Kreisberechnungen 2.1 Definitionen

2.2 Repetitionen geometrischer Figuren 2.3 Die Fl¨ache geradlinig begrenzter Figuren 2.4 Kreisfl¨ache

2.5 Kreisumfang 2.6 π

2.7 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften

Inhaltsverzeichnis

3 Trigonometrie - 1.Teil

im rechwinkligen Dreieck & am Einheitskreis 1

3.1 Warum Trigonometrie . . . 1

3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . 3

3.3 Standardaufgaben . . . 8

3.4 Trigonometrie am Einheitskreis . . . 13

3.5 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . 21

3.6 Astrometrie - ein WebQuest . . . 24

3.6.1 L¨angen- & Winkelmessger¨ate . . . 24

3.6.2 Die alten Griechen . . . 24

3.6.3 Kepler & seine Gesetze . . . 24

3.6.4 Sinus- und Cosinussatz. . . 24

3.6.5 Der Venustransit . . . 24

3.6.6 Radioastronomie . . . 24

3.7 Meine Zusammenfassung - Teil 1 . . . 25

4 Trigonometrie - 2. Teil im beliebigen Dreieck 26 4.1 Repetition . . . 26

4.2 Der Cosinussatz. . . 28

4.3 Der Sinussatz . . . 33

4.4 Eindeutigkeit der L¨osungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes . . . 37

4.5 Durch unser Sonnensystem und etwas weiter ein BiLi - Klassen-SOL - Projekt . . . 43

4.6 Meine Zusammenfassung - Teil 2 . . . 44

5 Trigonometrie - 3.Teil die Additionstheoreme & die goniometrischen Gleichungen 45 5.1 Additionstheoreme . . . 45

5.1.1 Die Schnittwinkel zweier Geraden. . . 52

5.1.2 sin 36⁰ . . . 56

5.2 Goniometrische Gleichungen. . . 60

5.3 Noch etwas geistig Reizvolles . . . 62

5.4 Meine Zusammenfassung - Teil 3 . . . 63

3 Trigonometrie - 1.Teil

im rechwinkligen Dreieck & am Einheitskreis

3.1 Warum Trigonometrie

In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und m´etron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen.

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagorasschon einige Aufgaben exakt l¨osen:

Beispiel 3.1 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABC sind die L¨ange der Hypotenuse c = 6 und die L¨ange einer Kathete b = 3.7 bekannt.

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨ange der zweiten Kathete und die H¨ohe des Dreiecks∆ABC.

Doch schon f¨ur die Bestimmung der Winkel¨offnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen:

Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Win- kel¨offnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir sp¨ater durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhin- dern k¨onnen.

Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pytha- goras ¨uberhaupt anwenden zu k¨onnen, auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile:

Beispiel 3.2 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABC sind die L¨ange der Kathete mita= 5.5 und die ¨Offnung des Winkels mit α= 63⁰ bekannt.

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨angen der ¨ubrigen Seiten und die Gr¨osse des fehlenden Winkels.

Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir sp¨ater auch diese Aufgabe (und ¨ahnliche) exakt l¨osen k¨onnen.

3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen imrechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:

Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?

Wir fassen zusammen:

Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ublichen Be- zeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert:

sinα:=

cosα:=

tanα:=

Bem.: ˆ sinβ:=

ˆ cosβ:=

ˆ tanβ :=

Aufgaben 3.1 Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte:

1. den Sinus von13⁰, 76.5⁰, 65829⁰, 2. den Cosinus von77⁰, 43.9⁰, −54⁰, 3. den Tangens von2⁰, 37.88⁰, −812⁰,

4. den Winkel mit dem zugeh¨origen Sinuswert 0.8, 0.2, −0.6,

5. den Winkel mit dem zugeh¨origen Cosinuswert 0.8, 0.2, 2.1,

6. den Winkel mit dem zugeh¨origen Tangenswert 0.8, 0.2, 2.1.

Bestimme die folgenden Werte mit dem TR:

α 30⁰ 45⁰ 60⁰

sin . . . .

cos . . . .

tan . . . .

Die Werte aus der obigen Tabelle lassen sich auchexaktberechnen, was wir auf der folgenden Seiten machen wollen:

Aufgaben 3.2 Die Herleitung exaktertrigonometrischen Werte . . . Wir schauen uns gemeinsam die Herleitung vonsin 30⁰an:

Leite selbst¨andig her: cos 45⁰

Leite selbst¨andig her: tan 60⁰

Aufgaben 3.3 Bestimme exakt

ˆ tan 30⁰:

ˆ sin 45⁰:

ˆ cos 60⁰:

3.3 Standardaufgaben

F¨ur die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck

∆ABC mit den ¨ublichen Bezeichnungen:

Aufgaben 3.4 Gegeben sind: c= 5.6 ∧ β = 38.5⁰. 1. Skizziere die Situation,

2. konstruiere das Dreieck∆ABC mitGeoGebra, 3. berechne die Seitena undb.

Aufgaben 3.5 Gegeben sind: b= 4.8 ∧ α= 38.5⁰. 1. Skizziere die Situation,

2. konstruiere das Dreieck∆ABC mitGeoGebra, 3. berechne die Seitena undc.

Aufgaben 3.6 Gegeben sind: a= 10.74 ∧ b= 6.48.

1. Skizziere die Situation,

2. konstruiere das Dreieck∆ABC mitGeoGebra, 3. berechne die Seitec und die Winkelαund β.

Aufgaben 3.7 Berechne die in den Beispielen 3.1 und 3.2 gemessenen Gr¨ossen.

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 2, mit Anwendungen im Kreis (Zugeh¨orige L¨osungen)

Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie Verinfachungen (Zugeh¨orige L¨osungen)

Aufgaben 3.8 Repetiere die Zusammenh¨ange von Zentriwinkel, Periphe- riewinkel undSehnentangentenwinkel . . .

und leite den folgenden Zusammenhang her:

a

sinα= 2·rU mkreis

Tipp A

Tipp B

3.4 Trigonometrie am Einheitskreis

In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einf¨uhren und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .

ˆ dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) auch weiter- hin G¨ultigkeit haben,

ˆ dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0⁰ und 90⁰ anwenden k¨onnen und

ˆ dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt.

Der Einheitskreis:

Def.: cosϕ := x-Koordinate vonP sinϕ := y-Koordinate vonP

tanϕ := Quotient dery- & derx-Koordinate vonP

Eine Veranschaulichung und der Vergleich mit den

’alten‘ Definitionen:

Verwende den Einheitskreis:

Beispiel 3.3 Bestimme die folgenden Werte:

ϕ 0⁰ 90⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

sin . . . .

cos . . . .

tan . . . .

und beweise die folgenden Aussagen:

Beispiel 3.4 Beweise im 1. Quadranten: ˆ sin²ϕ+ cos²ϕ= 1

ˆ tanϕ= sinϕ cosϕ

Beispiel 3.5 Beweise im 2. Quadranten: sinϕ= cos(ϕ−90⁰)

Beispiel 3.6 Beweise im 3. Quadranten: cosϕ= sin(90⁰−ϕ)

Zugeh¨origeggb-filessind zu finden unterhttps://ronaldbalestra.ch/geometrie/trigonometrie/

Aufgaben 3.9

1. Verifiziere Beispiel 3.4 im 2. Quadranten, 2. Verifiziere Beispiel 3.5 im 3. Quadranten,

3. Verifiziere Beispiel 3.6 im 4. Quadranten

4. Verifiziere die Definition des Tangens im 2. Quadranten.

Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele weitere Beziehungen und Ei- genschaften der trigonometrischen Funktionen erkennen:

ˆ F¨ur welche Winkel ist dersin-Wert negativ ?

ˆ F¨ur welche Winkel ist dercos-Wert>0.5 ?

ˆ F¨ur welche Winkel ist dersin-Wert>1.5 ?

ˆ F¨ur welche Winkel ist dertan-Wert positiv ?

ˆ F¨ur welche Winkel erhalten wir den selbensin-Wert ?

und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:

ˆ F¨ur welche Winkel erhalten wir denselbencos-Wert ?

Aufgaben 3.10 Uberpr¨¨ ufe die obigen Aussagen f¨ur negative Argumente:

Aufgaben 3.11 Was f¨ur Beziehungen zwischensin undcoslassen sich mit Hilfe des 1. & 3. Quadranten bestimmen ?

Aufgaben 3.12 Formuliere eigene Beziehungen zwischensinund cos.

Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens besch¨aftigen:

Nach Definition gilt f¨ur den Tangens: tanψ:= sinψ cosψ

im 2. Quadranten:

tanψ =

im 3. Quadranten:

tanψ =

im 4. Quadranten:

tanψ =

3.5 Das Bogenmass &

die Graphen der trigonometrischen Funktionen

Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass ¨ublich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugeh¨origen Winkel¨offnung:

. . . und definieren:

Aufgaben 3.13 Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne exakt den zugeh¨origen Funktionswert:

1. sin 30⁰ 2. cos 120⁰

3. tan 90⁰

Aufgaben 3.14 Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme exakt den zugeh¨origen Funktionswert:

1. sin^π₂ 2. cos−^π₆ 3. tan^2π₃

Aufgaben 3.15 Verifiziere deine Resultate mit dem TR.

Diegraphischen Darstellungenvon sin, cos & tan:

ˆ f¨ur den Sinus:

ˆ f¨ur den Cosinus:

ˆ f¨ur den Tangens:

Siehe dazu auch einggb-filevon Andreas Lindner:

Aufgaben 3.16 Untersuche den Einfluss der Parameter in f(x) =a·sin(bx−ϕ) auf die Sinuskurve.

Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 3, 2. Seite (Zugeh¨orige L¨osungen)

(zugeh¨orige L¨osungen mit Weg von Cyrill P¨untener)

3.6 Astrometrie - ein WebQuest

DieAstrometriebesch¨aftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanz- bestimmung in der Astronomie.

In diesemWebQuestwerdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden The- men auseinandersetzen:

3.6.1 L¨angen- & Winkelmessger¨ate

Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messger¨ate.

3.6.2 Die alten Griechen

Das Wissen ¨uber die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Kep- lers.

3.6.3 Kepler & seine Gesetze

Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen 3.6.4 Sinus- und Cosinussatz

Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke.

3.6.5 Der Venustransit

Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne 3.6.6 Radioastronomie

ModerneMethoden der Entfernungsbestimmung

3.7 Meine Zusammenfassung - Teil 1

4 Trigonometrie - 2. Teil im beliebigen Dreieck

Wir werden im 2. Teil der Trigonometrie mit einerkurzen Repetitionder bishe- rigen trigonometrischen Beziehungen beginnen und uns anschliessend mit den trigonometrischen Beziehungen im beliebigen Dreieck befassen. Dies wird uns auf den Sinus- und Cosinussatz f¨uhren, dessen Anwendungen wir an Beispie- len besprechen werden. Insbesondere werden wir auch die Eindeutigkeit von L¨osungen bei deren Anwendungen diskutieren.

4.1 Repetition

.

Geometrie-Aufgaben:Repetitionsserie zur Trigonometre I (Zugeh¨orige L¨osungen)

4.2 Der Cosinussatz

In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beweise:

Wir unterscheiden die folgenden drei F¨alle:

1. Fall: αist spitz

2. Fall: αist stumpf

3. Fall:

Beispiel 4.1 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:

a= 8 , b= 5 , γ= 75⁰

Konstruiere das Dreieck∆ABC und berechne c , α&β .

Aufgaben 4.1 Leite den Cosinus-Satz her, f¨urβ, mit β = spitz.

Aufgaben 4.2 Berechne die Winkel in den Dreiecken ∆ABC mit folgen- den Seiten:

1. a= 1, b= 2, c= 3

2. a= 1, b= 2, c= 2.5

3. a= 1, b= 2, c= 4

4.3 Der Sinussatz

In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beweis:

Beispiel 4.2 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind die folgenden Gr¨ossen gegeben:

b= 14.1, c= 26.4 und γ= 105.3⁰ Berechne die fehlenden Gr¨ossen.

Aufgaben 4.3 In einem beliebigen Dreieck ∆ABCsind die folgenden Gr¨ossen gegeben:

α= 94⁰ , γ= 61⁰ und a= 9 Berechne c.

Die L¨osung und drei weitere Aufgaben zum Cosinus- & Sinussatz sind zu finden auf

Serlo - Die freie Lernplattform

Aufgaben 4.4 Leite eine Fl¨achenformel in Abh¨angigkeit vonγf¨ur ein be- liebiges Dreieck ∆ABC her.

Arbeite mitγ = stumpf.

Wir wollen diesen Abschnitt mit einerversch¨arften Versiondes Sinussatzes abschliessen:

In einem beliebigen Dreieck∆ABCmit den ¨ublichen Bezeichnungen ist das Verh¨altnis von

a

sinα = b

sinβ = c

sinγ =c=const.

Und aufgrund unserer bereits gel¨osten Aufgaben wissen wir auch schon, welchen Wert diese Konstantec annimmt : . . .

4.4 Eindeutigkeit der L¨ osungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes

Als Einstieg in diesen Abschnitt die folgende Aufgabe:

Aufgaben 4.5 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:

α= 25⁰ , a= 4, b= 6

Berechne c, β und γ und konstruiere zur Kontrolle das Dreieck ∆ABC.

Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere L¨osungen existieren und wir wie viele L¨osungen gebrauchen.

Grunds¨atzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die L¨osungen eindeutig be- stimmt sind, wenn dieKongruenzs¨atzeerf¨ullt sind:

1. . . . 2. . . . 3. . . . 4. . . .

Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin⁻¹ und cos⁻¹) ent- stehen aber mehrere L¨osungen:

ˆ Ist derCosinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugeh¨origen Win- kel, w¨ahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizit¨at un- endlich viele L¨osungen liefert:

Bsp.: cosϕ= 0.7 · der TR liefert:

ϕ₀= . . .

· der Einheitskreis liefert : ϕ0= . . .

ψ0= . . .

· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:

ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...

ϕ_k = . . . ψ₁= . . . ψ = . . .

ˆ Ist derSinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugeh¨origen Winkel, w¨ahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizit¨at unend- lich viele L¨osungen liefert:

Bsp.: sinϕ= 0.4 · der TR liefert:

ϕ₀= . . .

· der Einheitskreis liefert : ϕ₀= . . .

ψ0= . . .

· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:

ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...

ϕk= . . . ψ₁= . . . ψ₂= . . . ...

ψ_k= . . .

Welche L¨osung/ L¨osungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedin- gungen ist es ¨uberhaupt notwendig, eine zweite L¨osung zubestimmen?

ˆ Im FallCosinus:

· die zweite L¨osung ist immer

· ⇒

· ⇒

ˆ Im FallSinus:

· die zweite L¨osung ist immer

· ⇒

· ⇒

Beispiel 4.3 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind die folgenden Gr¨ossen gegeben:

b= 6.5, a= 8.7, β= 14.0⁰ Berechne α, γ und c.

Aufgaben 4.6 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind die folgenden Gr¨ossen gegeben:

c= 7, a= 3, α= 33⁰ Berechne die fehlenden Gr¨ossen.

Aufgaben 4.7 F¨ur die Konstruktion und vollst¨andige Berechnung von Dreiecken mit den bekannten Gr¨ossen ssw kann es zwei, eine oder keine L¨osung geben.

Untersuche die Situationen (Hinweis: Kongruenzs¨atze) Und berechne die fehlenden Gr¨ossen in folgenden F¨allen:

ˆ a= 4, b= 5 und α= 35⁰

ˆ a= 4, b= 5 und α= 65⁰

Aufgaben 4.8 Beweise folgende Aussage:

”In jedem beliebigen Dreieck teilt die Winkelhal- bierende die Gegenseite im Verh¨altnis der anlie- genden Seiten. “

4.5 Durch unser Sonnensystem und etwas weiter ein BiLi - Klassen-SOL - Projekt

Wir haben in den Aufgaben schon

”fr¨uhe“ Anwendungen der Trigonometrie in der Entfernungsbestimmung kenngelernt.

Mit einem Auszug aus folgendem Unterrichtsprojekt wollen wir diese Anwen- dungen etwas vertiefen:

Von der Tannenspitze zum Andromedanebel

Entlang der Distanzbestimmung in der Astrometrie durch die Trigonometrie

ein Blended-Learning Projekt in der Mathematik mit Bili - Klassen-SOL - Charakter und M¨oglichkeiten interdisziplin¨arer Beteiligungen

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17. M¨arz 2019

4.6 Meine Zusammenfassung - Teil 2

5 Trigonometrie - 3.Teil

die Additionstheoreme & die goniometrischen Gleichungen

Im letzten Teil unserer Trigo-Trilogiebefassen wir uns mit den Additionstheo- remen und Fragen, warum z.B. sin(α+β) 6= sinα+ sinβ gilt und wie die rechte Seite angepasst werden muss, damit doch noch eine Gleichung entsteht.

Als Anwendungen werden wir weitere trigonometrische Werteexaktbestimmen und uns mit demSchnittwinkel zweier Geradenbefassen.

Abschliessend werden wir einen neuen Gleichungsytp, diegoniometrischen Glei- chungenkennen & l¨osen lernen und das Kapitel mit geistig Reizvollem aus dem Bereich der Trionometrie beenden.

5.1 Additionstheoreme

Wir werden uns in diesem Kapitel mit exakt berechenbaren Sinus- & Cosinus- werten besch¨aftigen und dazu dieAdditionstheoremezur Anwendung bringen.

Beginnen werden wir mit den uns schon bekannten exaktenWerten im recht- winkligen Dreieck:

Uber den¨ Einheitskreisk¨onnen wir nun auch die folgenden Werte exakt be- rechnen:

Die Periodizit¨at liefert noch unendlich viele weitere, aber mathematisch nicht weiter interessante, exakt berechenbare trigonometrischen Werte.

Da die trigonometrischen Funktionennicht linear sind,

l¨asst sich z.B. sin(30⁰) nicht einfach durch ¹₂sin(60⁰) berechnen:

oder z.B. sin(30⁰) + sin(60⁰)6= sin(30⁰+ 60⁰) = sin(90⁰):

Wir wollen nun Formeln entwickeln, welche u.a. einen Zusammenhang zwi- schen sin(α+β) und sinαund sinβ herstellt. Dies f¨uhrt uns auf die sog:

Summenformeln / Additionstheoreme

Aufgaben 5.1 Analog lassen sich die folgenden Beziehungen herleiten:

sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ cos(α−β) = cosαcosβ+ sinαsinβ

F¨ur den Fall, dassαundβ spitz, die Summeα+β aber stumpf ist, hilft die folgende Figur:

Die obigen Figuren stammen aus Barth/Krumbacher/ . . . :Anschauliche Geometrie 3

Die G¨ultigkeit der Aussage sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ im Fall, dassαundβ nicht mehr spitz sind, l¨asst sich durch geschicktes Umformen auf behandelte Situationen und Anwenden der Additionstheoreme zeigen:

Aufgaben 5.2 Beweise cos(α−β) = cosαcosβ+ sinαsinβ

f¨ur einen stumpfen Winkelαund einen spitzen Winkel β:

Die G¨ultigkeite der Aussage cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ gilt auch f¨ur den Fall, dass beide Winkelαundβ stumpf sind:

Aufgaben 5.3 Beweise sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ

f¨ur den Fall, dass beide Winkel αund β stumpf sind:

Wir k¨onnen nun einige weitere trigonometrischen Werteexaktberechnen:

Aufgaben 5.4 Berechne exaktdie folgenden Werte:

ˆ sin 75⁰

ˆ cos 75⁰

ˆ tan 75⁰

Aufgaben 5.5 Formuliere eine eigene Aufgaben f¨ur deine Mitsch¨ulerIn- nen.

Aufgaben 5.6 Zwei weitere Anwendungen:

ˆ Bestimme die Schnittstellen von f(x) = sin 2x und g(x) =√

3 cosx ¨uber [0,2π]:

ˆ Bestimme alle Winkelψ∈]−π, π] : sin 3ψ+sinψ= 0

5.1.1 Die Schnittwinkel zweier Geraden

Wir beginnen mit der Herlei- tung des Zusammenhangs zwi- schen der Steigung einer Geraden und der Trigonometrie:

Wir k¨onnen un sinnvoll denNeigungswinkelϕ einer Geraden gegen¨uber der Horizontalen wie folgt definieren:

Aufgaben 5.7 Zeige an den 5 m¨ogliche Lagen zweier sich schneidenden Geradenf undg, dass f¨ur den Schnittwinkelϕimmer gilt:

ϕ=|α−β|

mitα, β als die Neigungswinkel der Geraden

Aufgaben 5.8 Leite die Additionstheoreme f¨ur den Tangens her

und beweise, dass f¨ur den Schnittwinkel ϕzweier Geraden f(x) =afx+bf und g(x) =agx+bg folgendes gilt:

ϕ= arctan| a_g−a_f 1 +afag

|

Beispiel 5.1 Bestimme den Schnittwinkel, unter welchem sich die folgen- den Geraden schneiden:

g(x) = 5

2x+ 6 und h(x) =−7 3x−4

Aufgaben 5.9 Wir betrachten das Viereck ABCD mit den Ecken A= (−2/−3), B= (−2/5), C= (6/−3) und D= (4/4) und den ¨ublichen Bezeichnungen f¨ur die Seiten und Winkel in einem beliebigen Viereck.

ˆ Beweise, dassa⊥d gilt.

ˆ Bestimme die ¨ubrigen Innenwinkel mit Hilfe der Tri- gonometrie im rechtwinkligen und beliebigen Dreieck.

ˆ Verifiziere deine Resultate mit Hilfe der Bestimmung der Schnittwinkel.

Aufgaben 5.10 Leite die Doppelwinkelformelnher:

sin 2α = 2 sinαcosα (1)

cos 2α = (cosα)²−(sinα)² (2)

= 1−2(sinα)² (3)

= 2(cosα)²−1 (4)

tan 2α = 2 tanα

1−(tanα)² (5)

. . . und Veranschauliche an folgender Figur die Gleichung (1), (3) & (4):

Quelle: Barth/Krumbacher/ . . . :Anschauliche Geometrie 3

5.1.2 sin 36⁰

F¨ur die Herleitung von sin 36⁰ (und der exakten Berechnung weiterer Werte) verwende, f¨ur ein selbst¨andiges Durcharbeiten, den folgenden Link:

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cos36.shtml

Verschaffe Dir einen ¨Uberblick (ohne Beweis) ¨uber die weiteren Formeln (Halbwinkel-Formeln, Produkt-Summen-Formeln, Summen-Produkt-Formeln, . . . )

und l¨ose die folgenden Aufgaben:

Aufgaben 5.11 Berechne die folgenden Winkel exakt:

ˆ sin 15⁰= ¹₂p 2−√

3

ˆ cos 3⁰= ¹₄ q

8 +√ 3 +√

15 +p

10−2√ 5

Aufgaben 5.12 tan 72⁰=¹₄(√

5 + 1)p

10 + 2√ 5

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6 (Zugeh¨orige L¨osungen)

5.2 Goniometrische Gleichungen

Wir schliessen unsere Trigonometrie mit einem kurzen Einblick in die Goniometrischen Gleichungen.

Das sind Gleichungen, in welchen die Unbekannte in mindestens einem trigono- metrischen Term vorkommt.

Ein einfaches Beispiel:

cosx=1 2

Wir wollen im Folgenden uns mit vier ausgew¨ahlten Beispielen befassen, wel- che durch geschicktes Umformen einfach zu l¨osen und interessant zu diskutieren sind:

ˆ (tanx)²= tanx

ˆ cos 2x−cosx= 0

ˆ 3 sinx−4 cosx= 0

ˆ 3 sinx−4 cosx= 5

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 7 (Zugeh¨orige L¨osungen)

5.3 Noch etwas geistig Reizvolles . . .

Eine Anwendung aus der Seite https://www.cut-the-knot.org/haben wir schon kennengelernt: die Berechnung des Cosinus von 36⁰.

Unter dem Abschnitt Trigonometry sind noch weitere interessante Anwen- dungen zu finden:

5.4 Meine Zusammenfassung - Teil 3