Trigonometrie Geometrie

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Trigonometrie

Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

29. Januar 2012

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Inhaltsverzeichnis

3 Trigonometrie 1

3.1 Warum Trigonometrie . . . 1

3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . 3

3.3 Trigonometrie am Einheitskreis . . . 7

3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen 12 3.5 Astrometrie - ein WebQuest . . . 15

3.5.1 L¨angen- & Winkelmessger¨ate . . . 15

3.5.2 Die alten Griechen . . . 15

3.5.3 Kepler & seine Gesetze . . . 15

3.5.4 Sinus- und Cosinussatz. . . 15

3.5.5 Der Venustransit . . . 15

3.5.6 Radioastronomie . . . 15

4 Trigonometrie - 2. Teil 16 4.1 Repetition . . . 16

4.2 Trigonometrie im beliebigen Dreieck . . . 18

4.2.1 Der Cosinussatz . . . 18

4.2.2 Der Sinussatz . . . 20

4.2.3 Eindeutigkeit der L¨osungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes . . . 22

4.3 Additionstheoreme . . . 24

4.4 Goniometrische Gleichungen. . . 33

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3 Trigonometrie

3.1 Warum Trigonometrie

In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und m´etron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen.

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagorasschon einige Aufgaben exakt l¨osen:

Beispiel 3.1.1 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABC sind die L¨ange der Hypotenuse c = 6 und die L¨ange einer Kathete b = 3,7 bekannt.

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨ange der zweiten Kathete und die H¨ohe des Dreiecks∆ABC.

Doch schon f¨ur die Bestimmung der Winkel¨offnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen:

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Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Win- kelöffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir später durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhin- dern können.

Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pytha- goras ¨uberhaupt anwenden zu k¨onnen, auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile:

Beispiel 3.1.2 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABC sind die L¨ange der Kathete a = 5,5 und die ¨Offnung des Winkels α = 63⁰ bekannt.

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Längen der übrigen Seiten und die Grösse des fehlenden Winkels.

Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir später auch diese Aufgabe (und ähnliche) exakt lösen können.

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3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen imrechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:

Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?

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Wir fassen zusammen:

Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ublichen Be- zeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert:

sinα:=

cosα:=

tanα:=

Bem.: • sinβ:=

• cosβ:=

• tanβ :=

. . . und wir k¨onnen schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rewchtwinkligen Dreieck) formulieren:

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Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte:

1. den Sinus von 13⁰, 76.5⁰, 65829⁰, 2. den Cosinus von 77⁰, 43.9⁰, −54⁰, 3. den Tangens von 2⁰, 37.88⁰,

4. den Winkel mit dem zugeh¨origen Sinuswert 0.8, 0.2, −0.6,

5. den Winkel mit dem zugeh¨origen Cosinuswert 0.8, 0.2, 2.1,

6. den Winkel mit dem zugeh¨origen Tangenswert 0.8, 0.2, 2.1.

Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit dem TR:

α 0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰

sin . . . .

cos . . . .

tan . . . .

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Standardaufgaben : F¨ur die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ublichen Bezeichnungen:

1. Geg: c= 56.4 ∧ α= 38.5⁰ Ges.: a, b

2. Geg: a= 148.2 ∧ β= 38.5⁰ Ges.: b, c

3. Geg: a= 10.74 ∧ b= 6.48 Ges.: α, c, β

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3.3 Trigonometrie am Einheitskreis

In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einf¨uhren und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .

• dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin G¨ultigkeit haben,

• dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0⁰ und 90⁰ anwenden k¨onnen und

• dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt.

Der Einheitskreis:

Def.: cosϕ := x-Koordinate vonP sinϕ := y-Koordinate vonP

tanϕ := Quotient dery- & derx-Koordinate vonP

Veranschaulichung:

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Verwende zur L¨osung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis:

Aufgaben :

1. Bestimme die folgenden Werte:

ϕ 0⁰ 90⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

sin . . . .

cos . . . .

tan . . . .

2. Beweise: sin²ϕ+ cos²ϕ= 1 3. Beweise: sinϕ= cos(90⁰−ϕ) 4. Beweise: cosϕ= sin(90⁰−ϕ)

Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tanϕ= sinϕ cosϕ

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Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaf- ten der trigonometrischen Funktionen erkennen:

• F¨ur welche Winkel ist dersin-Wert negativ ?

• F¨ur welche Winkel ist dercos-Wert>0,5 ?

• F¨ur welche Winkel ist dertan-Wert positiv ?

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• F¨ur welche Winkel erhalten wir den selbensin-Wert ?

und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:

• F¨ur welche Winkel erhalten wir denselbencos-Wert ?

und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:

• Was f¨ur Beziehungen zwischensinundcoslassen sich mit Hilfe des 3. Quadranten bestimmen ?

Aufgabe : Formuliere eigene Beziehungen zwischensinundcos.

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Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens besch¨aftigen:

Nach Definition gilt f¨ur den Tangens: tanψ:= sinψ cosψ

im 2. Quadranten:

tanψ =

im 3. Quadranten:

tanψ =

im 4. Quadranten:

tanψ =

Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 6 - 1. Seite

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3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen

Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass üblich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugehörigen Winkelöffnung:

. . . und definieren:

Aufgaben :

1. Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne den Funktionswert:

(a) sin 30⁰ (b) cos 120⁰

(c) tan 90⁰

2. Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme den Funktionswert:

(a) sin^π₂ (b) cos−^π₆

(c) tan^2π₃

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Die graphischen Darstellungen von sin,cos & tan:

• f¨ur den Sinus:

• f¨ur den Cosinus:

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• f¨ur den Tangens:

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3.5 Astrometrie - ein WebQuest

DieAstrometriebesch¨aftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanz- bestimmung in der Astronomie.

In diesemWebQuestwerdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden The- men auseinandersetzen:

3.5.1 L¨angen- & Winkelmessger¨ate

Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messger¨ate.

3.5.2 Die alten Griechen

Das Wissen ¨uber die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Kep- lers.

3.5.3 Kepler & seine Gesetze

Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen 3.5.4 Sinus- und Cosinussatz

Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke.

3.5.5 Der Venustransit

Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne 3.5.6 Radioastronomie

ModerneMethoden der Entfernungsbestimmung

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4 Trigonometrie - 2. Teil

Wir werden im 2. Teil der Trigonometrie mit einerkurzen Repetitionder bisherigen trigonometrischen Beziehungen beginnen und uns anschliessend mit den trigonometrischen Beziehungen im beliebigen Dreieck befassen. Dies wird uns auf denSinus-undCosinussatz f¨uhren, dessen Anwendungen wir an Besipielen besprechen werden und uns inbesondere auch die Eindeutigkeit von L¨osungen bei deren Anwendungen diskutieren.

Wir werden uns mit weiteren trigonometrischen Beziehungen auseinandersetzen, den sog.Additionstheoremen.

Abschliessend werden wir noch dieGoniometrischen Gleichungendiskutieren.

4.1 Repetition

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..

Geometrie-Aufgaben:Repetitionsserie

(20)

4.2 Trigonometrie im beliebigen Dreieck

4.2.1 Der Cosinussatz

Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beweis:

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Aufgaben : In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:

a= 8, b= 5 , γ= 75⁰

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und bestimme c , α&β .

(22)

4.2.2 Der Sinussatz

Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beweis:

(23)

Aufgaben : In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:

α= 25⁰ , a= 4 , b= 6

Konstruiere das Dreiech ∆ABC und bestimme c , β&γ.

Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 7

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4.2.3 Eindeutigkeit der L¨osungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes

Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere L¨osungen existieren und wir wie viele L¨osungen gebrauchen.

Grundsätzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Lösungen eindeutig be- stimmt sind, wenn dieKongruenzsätzeerfüllt sind:

1. . . . 2. . . . 3. . . . 4. . . .

Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin⁻¹ und cos⁻¹) ent- stehen aber mehrere L¨osungen:

• Ist derCosinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Win- kel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert:

Bsp.: cosϕ= 0,7 · der TR liefert:

ϕ0= . . .

· der Einheitskreis liefert : ϕ₀= . . .

ψ₀= . . .

· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:

ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...

ϕk= . . . ψ1= . . . ψ2= . . . ...

ψk= . . .

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• Ist derSinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert:

Bsp.: sinϕ= 0,4 · der TR liefert:

ϕ₀= . . .

· der Einheitskreis liefert : ϕ₀= . . .

ψ0= . . .

· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:

ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...

ϕk = . . . ψ₁= . . . ψ₂= . . . ...

ψ_k = . . .

Welche Lösung/ Lösungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedin- gungen ist es überhaupt notwendig, eine zweite Lösung zubestimmen?

• Im FallCosinus:

· die zweite L¨osung ist immer

· ⇒

• Im FallSinus:

· die zweite L¨osung ist immer

· ⇒

Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 8

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4.3 Additionstheoreme

Wir werden uns in diesem Kapitel mit exakt berechenbaren Sinus- & Cosinus- werten besch¨aftigen und beginnen mit den uns schon bekannten Werten im rechtwinkligen Dreieck:

Uber den¨ Einheitskreisk¨onnen wir nun auch die folgenden Werte exakt berechnen:

Die Periodizit¨at liefert noch unendlich viele weitere, aber mathematisch nicht weiter interessante, exakt berechenbare trigonometrischen Werte.

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Da die trigonometrischen Funktionennicht linear sind,

l¨asst sich z.B. sin(30⁰) nicht einfach durch ¹₂sin(60⁰) berechnen:

oder z.B. sin(30⁰) + sin(60⁰)6= sin(30⁰+ 60⁰) = sin(90⁰):

Wir wollen nun Formeln entwickeln, welche einen Zusammenhang z.B. zwischen sin(α+β) und sinαund sinβ herstellt. Dies f¨uhrt uns auf die sog:

Summenformeln / Additionstheoreme

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Aufgaben : Analog lassen sich die folgenden Beziehungen herleiten:

sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ cos(α−β) = cosαcosβ+ sinαsinβ

F¨ur den Fall, dassαundβ spitz, die Summeα+β aber stumpf ist, hilft die folgende Figur:

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Der Fall, dassαundβnicht mehr spitz sind, l¨asst sich durch geschicktes Um- formen und Anwenden der Additionstheoreme auf die bewiesenen Situationen herleiten:

Aufgaben : Berechneexakt die folgenden Werte:

• sin 75⁰

• cos 75⁰

• tan 75⁰

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Wir wollen noch das Additionstheorem f¨ur den Tangens herleiten und seine Anwendung im Bestimmen von Schnittwinkeln zwischen Geraden untersuchen:

Beispiel 4.3.1 Bestimme den Schnittwinkel, unter welchem sich die folgenden Geraden schneiden:

g(x) = 5

2x+ 6 und h(x) =−7 3x−4

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Aufgaben : Leite dieDoppelwinkelformelnher:

sin 2α = 2 sinαcosα (1) cos 2α = (cosα)²−(sinα)² (2)

= 1−2(sinα)² (3)

= 2(cosα)²−1 (4)

tan 2α = 2 tanα

1−(tanα)² (5)

. . . und Veranschauliche an folgender Figur die Glei- chung (1), (3) & (4):

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Für die Herleitung von sin 36⁰ (und weitere exakte Werte) verwende für ein selbständiges Durcharbeiten den folgenden Link:

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cos36.shtml

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Verschaffe Dir einen ¨Uberblick ¨uber die weiteren Formeln (Halbwinkel-Formeln, Produkt-Summen-formel, Summen-Produkt-Formeln, . . . )

und l¨ose die folgenden Aufgaben:

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Aufgaben : Berechne die folgenden Winkel exakt:

• sin 15⁰= ¹₂p 2−√

3

• cos 36⁰=¹₄(p

10−2√ 5)

• tan 27⁰=√

5−1−p 5−2√

5

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4.4 Goniometrische Gleichungen

Wir schliessen unsere Trigonometrie mit einem kurzen Einblick in die Goniometrische Gleichungen.

Das sind Gleichungen, in welchen die Unbekannte in mindestens einem trigonometrischen Term vorkommt.

Ein einfaches Beispiel:

cosx=π 4

Wir wollen im Folgenden uns mit vier ausgew¨ahlten Beispielen befassen, welche durch geschicktes Umformen einfach zu l¨osen und interessant zu diskutieren sind:

• (tanx)²= tanx

• cos 2x−cosx= 0

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• 3 sinx−4 cosx= 0

• 3 sinx−4 cosx= 5