Trigonometrie
Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch
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31. Januar 2013
Uberblick ¨¨ uber die bisherigenALGEBRA- Themen:
1 Ahnlichkeit *¨
1.1 Definitionen & Eigenschaften 1.2 Kongruenzabbildungen 1.3 Zentrische Streckungen 1.4 ¨Ahnlichkeit am Dreieck
1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras 1.6 ¨Ahnlichkeit im und am Kreis
1.7 Die Strahlens¨atze
2 Der Kreis 2.1 Definitionen 2.2 Repetition 2.3 Keisfl¨ache 2.4 Kreisumfang
2.5 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften
Inhaltsverzeichnis
3 Trigonometrie 1
3.1 Warum Trigonometrie . . . 1
3.2 Ahnlichkeit & Strahlens¨¨ atze . . . 3
3.2.1 Ahnlichkeit¨ . . . 3
3.2.2 Die Strahlens¨atze. . . 6
3.3 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . 13
3.4 Trigonometrie am Einheitskreis . . . 17
3.5 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen 23 3.6 Astrometrie - ein WebQuest . . . 26
3.7 Trigonometrie im beliebigen Dreieck . . . 27
3.7.1 Repetition. . . 27
3.7.2 Sinussatz . . . 29
3.7.3 Eine oder mehrere L¨osungen ? . . . 31
3.7.4 Der Cosinussatz . . . 33
II
3 Trigonometrie
Wir werden uns imersten Teildes der Trigonmetrie damit besch¨aftigen,Warum Trigonometrie gebraucht wird. Anschliessend werden wir uns sehr kurz mit den geometrisch notwendigenden Grundlagen, derAhnlichkeit und den Strah-¨ lens¨atzenauseinandersetzen um uns dann im Folgenden mit derTrigonometrie im rechtwinkligen Dreieckzu befassen.
In einem Webquest zur Astrometrie werden wir einige Anwendungen der Di- stanzbestimmungen diskutieren.
Imzweiten Teilwerden wir das Kapitel derTrigonometrie im beliebigen Drei- eckabschliessen.
3.1 Warum Trigonometrie
In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und m´etron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen.
Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagorasschon einige Aufgaben exakt l¨osen:
Beispiel 3.1 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABC sind die L¨ange der Hypotenuse c = 6 und die L¨ange einer Kathete b = 3,7 bekannt.
Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨ange der zweiten Kathete und die H¨ohe des Dreiecks∆ABC.
Doch schon f¨ur die Bestimmung der Winkel¨offnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen:
Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Win- kel¨offnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir sp¨ater durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhin- dern k¨onnen.
Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen (Warum?) und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile:
Beispiel 3.2 In einem rechtwinkligen Dreieck∆ABC sind die L¨ange der Kathete a = 5,5 und die ¨Offnung des Winkels α = 630 bekannt.
Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die L¨angen der ¨ubrigen Seiten und die Gr¨osse des fehlenden Winkels.
Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir sp¨ater auch diese Aufgabe (und ¨ahnliche) exakt l¨osen k¨onnen.
Wegen der grossen Bedeutungen derSatzgruppe des Pythageoraswerden wir uns in der 1. Aufgabenserie mit einigen entsprechenden Aufgaben befassen.
Geometrie-Aufgaben: Repetitionsserie - Trigonometrie I
2
3.2 Ahnlichkeit & Strahlens¨ ¨ atze
Wir beginnen mit einer sehr kurzen Diskussion des Begriffs derAhnlichkeit¨ und der damit verbundenen wichtigen Eigenschaft der Erhaltungen der Verh¨altnisse und denStrahlens¨atzen.
3.2.1 Ahnlichkeit¨
Aus dem Alltag wissen wir, was zueinander ¨ahnliche Figuren auszeichnen: . . .
Mathematisch wird der Begriff wie folgt definiert:
Def.: Zwei geometrische FigurenAundB heissen¨ahnlich :⇔
es existiert eineAhnlichkeitsabbildung, welche¨ AaufB abbildet.
Bem. : • Schreibweise: A∼B
• Da eine Ahnlichkeitsabbildung¨ die Form erhal- ten muss, sind nur Kombinationen aus folgen- den Abbildungen m¨oglich:
– – – – –
. . . das heisst also, dass wenn f¨ur die folgenden Dreiecke gilt
∆ABC ∼∆A0B0C0
dass dann . . .
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Wichtig ist nun zu wissen, dass trotz ¨Anderung der Gr¨osse die Verh¨altnisse der entsprechenden Seiten erhalten bleiben:
Was f¨ur ein Zusammenhang besteht bei zueinander ¨ahnlichen Figuren zwi- schen dem Streckungsfaktor und dem Fl¨acheninhalt?
3.2.2 Die Strahlens¨atze
Wir beginnen zur Einf¨uhrung der Strahlens¨atze mit einer einfachen praktischen Anwendung:
Wie hoch ist der Baum ?
D
lLll
~
Mit einem alten, einfachen Verfahren hat ein F¨orster die Frage schnell be- antwortet. Er braucht nur die Sonne, einen Stab und ein wenig Geometrie.
Ein Baum der L¨angeLwirft eine Schatten der L¨angeD. In den Schatten wird ein Stab der L¨angelso gestellt, dass beide Schattenspitzen zusammenfallen; der Schatten des Stabes hat die L¨anged.
Der F¨orster berechnet die Bauml¨ange nun nach der folgenden Formel:
L D = l
d
Beweis: (¨uber die Fl¨acheninhalte)
6
Auch im Fall von nicht-senkrecht ste- henden B¨aumen l¨asst sich die H¨ohe mit der gleichen Formel berechnen.
F¨ur den Beweis setzen wir voraus, dass der Stab parallel zum Baum steht.
D
Beweis: (mit Hilfe der ¨Ahnlichkeit)
Die Erhaltung der Seitenverh¨altnis durch die ¨Ahnlichkeit liefert noch viele weitere Verh¨altnisse, welche in den sog.Strahlens¨atzezusammengefasst werden.
1. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paralle- len Geraden geschnitten, so verhalten sich . . . .
2. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paralle- len Geraden geschnitten, so verhalten sich . . . .
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Aufgaben : Die Strahlens¨atze lassen sich auch auf die folgenden Situationen anwenden:
Formuliere in allen Situationen die g¨ultigen Strecken- verh¨altnisse.
Aufgaben : Bestimme jeweils die gesuchten Streckenl¨angen:
1. Mit folgenden Vorgaben:
(a) a= 3, c= 2, g= 5; f = ? (b) a= 3, b= 5, e= 4; d, g= ?
(c) a= 5, b= 4, c= 3, d= 10; f, h= ? (d) d= 5, e= 4, h= 6; a= ?
(e) c= 4, d= 6, e= 4.5, f = 10; a, b= ? (f) b= 4, c= 2, d= 3, f = 3; g, h= ? (g) a= 2, g= 6, h= 8; b= ?
(h) a= 7, b= 2, g= 10; e= ? in der folgenden Situation:
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2. Mit folgenden Vorgaben:
(a) a= 4.5, b= 7.5, e= 5, f = 4; c, d= ? (b) b= 3.5, c= 2, f = 4.8; e= ?
(c) a= 4.5, d= 3, b+e= 12.5; e= ?
(d) a= 4.5, d= 6, b+e= 10, c+f = 7; b, c, e, f = ? (e) a= 3, b= 4, c= 5, e+f+d= 18; d, e, f = ? in der folgenden Situation:
Fasse das Wichtigste aus unserer kurzen Einf¨uhrung in die ¨Ahnlichkeit im Folgenden zusammen:
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3.3 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen imrechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:
Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?
Wir fassen zusammen:
Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ublichen Be- zeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert:
sinα:=
cosα:=
tanα:=
Bem.: • sinβ:=
• cosβ:=
• tanβ :=
. . . und wir k¨onnen schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rechtwinkligen Dreieck) formulieren:
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Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte:
1. den Sinus von 130, 76.50, 658290, 2. den Cosinus von 770, 43.90, −540, 3. den Tangens von 20, 37.880,
4. den Winkel mit dem zugeh¨origen Sinuswert 0.8, 0.2, −0.6,
5. den Winkel mit dem zugeh¨origen Cosinuswert 0.8, 0.2, 2.1,
6. den Winkel mit dem zugeh¨origen Tangenswert 0.8, 0.2, 2.1.
Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit dem TR:
α 00 300 450 600 900
sin . . . .
cos . . . .
tan . . . .
Standardaufgaben : F¨ur die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ¨ubli- chen Bezeichnungen:
1. Geg: c= 56.4 ∧ α= 38.50 Ges.: a, b
2. Geg: a= 148.2 ∧ β= 38.50 Ges.: b, c
3. Geg: a= 10.74 ∧ b= 6.48 Ges.: α, c, β
Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 1 & 2
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3.4 Trigonometrie am Einheitskreis
In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einf¨uhren und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .
• dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin G¨ultigkeit haben,
• dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 00 und 900 anwenden k¨onnen und
• dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt.
Der Einheitskreis:
Def.: cosϕ := x-Koordinate vonP sinϕ := y-Koordinate vonP
tanϕ := Quotient dery- & derx-Koordinate vonP Veranschaulichung:
Verwende zur L¨osung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis:
Aufgaben :
1. Bestimme die folgenden Werte:
ϕ 00 900 1800 2700 3600
sin . . . .
cos . . . .
tan . . . .
2. Beweise: sin2ϕ+ cos2ϕ= 1 3. Beweise: sinϕ= cos(900−ϕ) 4. Beweise: cosϕ= sin(900−ϕ)
Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tanϕ= sinϕ cosϕ 18
Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaf- ten der trigonometrischen Funktionen erkennen:
• F¨ur welche Winkel ist dersin-Wert negativ?
• F¨ur welche Winkel ist dercos-Wert>0.5 ?
• F¨ur welche Winkel ist dertan-Wert positiv ?
• F¨ur welche Winkel erhalten wir den selbensin-Wert?
und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:
• F¨ur welche Winkel erhalten wir denselbencos-Wert ?
und aus dem Verhalten derx-Koordinaten k¨onnen wir schliessen:
• Was f¨ur Beziehungen zwischen sinundcoslassen sich im 3. Quadranten bestimmen?
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Aufgabe : Formuliere eigene Beziehungen zwischensinundcos.
Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens besch¨aftigen:
Nach Definition gilt f¨ur den Tangens: tanψ:= sinψ cosψ
im 2. Quadranten:
tanψ =
im 3. Quadranten:
tanψ =
im 4. Quadranten:
tanψ =
Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 3 - 1.Seite
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3.5 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen
Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass ¨ublich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugeh¨origen Winkel¨offnung:
. . . und definieren:
Aufgaben : • Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und be- rechne den Funktionswert:
1. sin 300 2. cos 1200 3. tan 900
• Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und be- stimme den Funktionswert:
1. sinπ2 2. cos−π6 3. tan2π3
Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 3 - 2.Seite
Die graphischen Darstellungen von sin,cos & tan:
• f¨ur den Sinus:
• f¨ur den Cosinus:
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• f¨ur den Tangens:
3.6 Astrometrie - ein WebQuest
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3.7 Trigonometrie im beliebigen Dreieck
3.7.1 Repetition
Bei den bisherigen trigonometrischen Betrachtungen haben wir jeweils ein recht- winkliges Dreieck vorausgesetzt und dietrigonometrischen Funktionenwie folgt in einemrechtwinklige Dreieckdefiniert:
• sinϕ=
• cosϕ=
• tanϕ=
mit D(sin) = D(cos) =
D(sin) =
W(cos) =
D(tan) =
W(tan) =
und schon die folgenden wichtigen Beziehungen kennengelernt:
ImEinheitskreishaben wir dann die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert:
• sinϕ=
• cosϕ=
Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich mehrere trigonometrische Beziehung graphisch herleiten.
So folgt z.B.:
• sin(ϕ+π) =
• cos(−ϕ) =
• sinϕ <0⇔ϕ∈ . . .
• cosϕ >0⇔ϕ∈ . . . ...
• sin2+ cos2= . . .
Aufgaben:Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 6 - 2.Seite
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3.7.2 Sinussatz
Wir wollen nun das KapitelTrigonometriemit zwei S¨atzen (Aussagen) absch- liessen, welche in allen beliebigen Dreiecken ∆ABC gelten:
Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:
Beispiel 3.3 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:
α= 250 , a= 6, b= 4 Bestimme c , β , γ.
Beispiel 3.4 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:
α= 250 , a= 4, b= 6
Bestimme c , β , γ und konstruiere das Dreieck ∆ABC.
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3.7.3 Eine oder mehrere L¨osungen ?
Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere L¨osungen existieren und wir wie viele L¨osungen gebrauchen.
Grunds¨atzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die L¨osungen eindeutig be- stimmt sind, wenn dieKongruenzs¨atzeerf¨ullt sind:
1. . . . 2. . . . 3. . . . 4. . . .
Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin−1 und cos−1) ent- stehen aber mehrere L¨osungen:
• Ist derCosinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugeh¨origen Win- kel, w¨ahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizit¨at un- endlich viele L¨osungen liefert:
Bsp.: cosϕ= 0.7 · der TR liefert:
ϕ0= . . .
· der Einheitskreis liefert : ϕ0= . . .
ψ0= . . .
· die Periodizit¨at des Cosinus liefert:
ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...
ϕk = . . . ψ1= . . . ψ2= . . . ...
ψk = . . .
• Ist derSinuswertbekannt, so liefert uns der TR einen zugeh¨origen Winkel, w¨ahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Perioditit¨at unend- lich viele L¨osungen liefert:
Bsp.: sinϕ= 0.4 · der TR liefert:
ϕ0= . . .
· der Einheitskreis liefert : ϕ0= . . .
ψ0= . . .
· die Periodizit¨at des Sinus liefert:
ϕ1= . . . ϕ2= . . . ...
ϕk= . . . ψ1= . . . ψ2= . . . ...
ψk= . . .
Welche L¨osung/ L¨osungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedin- gungen ist es ¨uberhaupt notwendig, eine zweite L¨osung zubestimmen?
• Im FallCosinus:
· die zweite L¨osung ist immer
· ⇒
· ⇒
• Im FallSinus:
· die zweite L¨osung ist immer
· ⇒
· ⇒
Uberpr¨¨ ufung geometrischer Eigenschaften:
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3.7.4 Der Cosinussatz
Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:
Beispiel 3.5 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Gr¨ossen gegeben:
a= 8, b= 5 , γ= 750 Bestimme c , α , β .
Aufgaben:Geometrie-Aufgaben:Trigonometrie 7
