Zeigen Sie, daßH(p(t), q(t))einen konstanten Wert unabhängig vont annimmt

Universität Tübingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 12.05.2014

6. Übungsblatt zur Analysis II

Aufgabe 31: Es sei F(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ), wobeif :R² →Rdifferenzierbar sei. Berechnen Sie

∂F

∂r(r, θ)und ∂F

∂θ(r, θ) und zeigen Sie, daß

∂f

∂x1

(rcosθ, rsinθ) 2

+ ∂f

∂x2

(rcosθ, rsinθ) 2

= ∂F

∂r(r, θ) 2

+ 1 r²

∂F

∂θ(r, θ) 2

.

Aufgabe 32: Für die differenzierbaren Funktionen p, q:R→Rⁿ und H:Rⁿ×Rⁿ→Rgelte (∗) p˙_k(t) =−∂H

∂q_k(p(t), q(t)) , q˙_k(t) = +∂H

∂p_k (p(t), q(t)) (k= 1, . . . , n) für alle t∈R. Zeigen Sie, daßH(p(t), q(t))einen konstanten Wert unabhängig vont annimmt.

Bemerkung: Die Hamilton’ Gleichungen(∗) bestimmen die Bewegung eines mechanischen Systems mit Po- sitionen q(t) und Impulsenp(t) zur Zeitt. Die Gesamtenergie H(p(t), q(t))bleibt dabei erhalten.

Aufgabe 33: Sei f :R→R² gegeben durch f(t) = (cost,sint)^T. Zeigen Sie, daß mita= 0, b= 2π für alle ξ∈Rgilt:

f(b)−f(a)6=f⁰(ξ)(b−a).

Aufgabe 34: (Matrizennormen) Zeigen Sie zunächst fürA= (a_ij)∈R^m×n folgende Ungleichungen:

(i) kAk₁= maxj=1,...,nPm

i=1|a_ij| (maximale Spaltenbetragssumme)

kAk∞=kA^Tk₁ = max_i=1,...,mPn

j=1|a_ij| (maximale Zeilenbetragssumme)

(ii) kAk₂≤q Pm

i=1

Pn j=1a²_ij kAk₂≤p

kAk₁ kAk_∞ (iii) kAk₂=p

größter Eigenwert vonA^TA

Zeigen Sie dann fürA, B ∈R^n×n und jede Matrixnorm die Ungleichung kABk ≤ kAkkBk.

Hinweise: zu (ii) Cauchy-Schwarz;kxk²₂ ≤ kxk₁kxk_∞ für x∈Rⁿ zu (iii) DiagonalisierungA^TA=Q^TDQ mit OrthogonalmatrixQ.

Aufgabe 35: Seien a >0 und die Funktion f :D ⊂R → R mit f(x) = _1+a^a x+^a_x

. Finden Sie den größten Definitionsbereich D, sodaß der Banach’ Fixpunktsatz für jedes abgeschlossene A⊂D anwendbar ist.

Aufgabe 36: Seif :Rⁿ→Rⁿeine Kontraktion undg:Rⁿ→Rⁿstetig differenzierbar mit beschränkter Ableitung. Zeigen Sie, daß für betragsmäßig hinreichend kleines ε ∈ R auch f +εg eine Kontraktion ist.

Zeigen Sie für die Differenz der Fixpunktex^∗ von f undx^∗_ε von f +εg, daß kx^∗_ε−x^∗k ≤ ε

1−αkg(x^∗_ε)k , kx^∗_ε−x^∗k ≤ ε

1−α−εMkg(x^∗)k.

wobeiα <1 die Lipschitz-Konstante vonf bezeichnet undM eine Schranke für die Ableitung von g.

Hinweis zur Ungleichung: Betrachten Sie die Fixpunktiteration vonf mit Startwert x^∗_ε bzwx^∗.

Abgabe in der Vorlesungspause am 19.05.2014.

Besprechung in den Übungen vom 21.05.-23.05.2014.