Blatt 13 (Tutorien) Aufgabe 13.4
a)
Parametrisierung und Berechnung in kartesischen Koordinaten:
p1 :K1 −→R3 mit p1(x, y) =
x p y
x2+y2
,
wobei K1 = {(x, y)T ∈ R2| −1 6 x 6 1 ∧ −√
1−x2 6 y 6 √
1−x2}, d. h., es gilt M =p1(K1).
∂p1
∂x ×∂p1
∂y =
e1 e2 e3
1 0 √ x
x2+y2
0 1 √ y
x2+y2
=
−√ x
x2+y2
−√ y
x2+y2
1
=⇒ k∂p1
∂x ×∂p1
∂y k=√ 2
R
M
do= R
K1 k∂p∂x1 ×∂p∂y1kd(x, y) = R1
−1
√1R−x2
√1−x2
√2dy dx = 2√ 2
R1
−1
√1−x2dx
x=sint
= 2√ 2
π
R2
−
π 2
cos2t dt=π√ 2.
Parametrisierung und Berechnung in Polarkoordinaten:
p2 : [0,1]×[0,2π]
| {z }
=K2
−→R3 mit p2(r, ϕ) =
rcosϕ rsinϕ
r
.
∂p2
∂r × ∂p∂ϕ2 =
e1 e2 e3
cosϕ sinϕ 1
−rsinϕ rcosϕ 0
=
−rcosϕ
−rsinϕ r
=⇒ k∂p∂r2 × ∂p∂ϕ2k=√ 2r
R
M
do= R
K2 k∂p∂r2 ×∂p∂ϕ2kd(r, ϕ) = R1 0
R2π 0
√2r dϕ dr=π√ 2.
b)
Mittels Parametrisierung und Berechnung in Polarkoordinaten ergibt sich R
M
f(x)do = R1 0
R2π 0
(r2cos2ϕ+r2sin2ϕ+ (r−1)2)−1/2√
2r dϕdr
= R1 0
R2π 0
√ 1
2r2−2r+1
√2r dϕdr = 2√ 2π
R1 0
√ r
2r2−2r+1dr
= πln(2√
4r2−4r+ 2 + 4r−2) 1
0
= πln
2√ 2+2 2√
2−2
=πln
(2√ 2+2)2 (2√
2−2)(2√ 2+2)
=πln
8√ 2+12
4
=πln(2√ 2 + 3).
c)
Aufgrund des Ergebnisses aus Teilaufgabe b) istU(~a) =ρπln(2√
2 + 3).
d)
Da B parallel zur Ebene x3 = 0 ist, ist hv(x), ni auf B die x3-Komponente vonv. Wir parametrisierenB in Polarkoordinaten. Die x3–Komponente vonv eingeschr¨ankt aufB ist in Polarkoordinaten gleich −3 +r2sin2ϕ. Somit ist
R
Bhv(x), nido = R1
0
R2π 0
(−3 +r2sin2ϕ)rdϕdr = R1 0
−6πr+r3 R2π 0
sin2ϕ dϕ
dr
= R1
0 −6πr+r3π dr= (−3πr2+π4r4) 1
0 =−114 π.
e)
Wir verwenden Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z). Dann ist divv = 1 +z und R
K
divv(x)dx =
2πR
0
R1 0
R1 r
(1 +z)r dzdrdϕ= 2π R1 0
(z+z22) 1
rr dr
= 2π R1 0
3r
2 −r2− r23 dr = 2π(3r42 −r33 −r84) 1
0 = 127π.
f )
Nach dem Satz von Gauß ist R
Mhv(x), nido=R
K
divv(x)dx−R
Bhv(x), nido= 127 π+ 114π = 103 π.
Aufgabe 13.5
a)Parametrisierung der Bodenfl¨ache F1:
p1 : [0,1]×[0,2π]−→R3 mit p1(r, ϕ) = (rcosϕ+ 2, rsinϕ,1)T, Außere Normalenrichtung zu¨ F1 :
∂p1
∂ϕ × ∂p1
∂r =
e1 e2 e3
−rsinϕ rcosϕ 0 cosϕ sinϕ 0
=
0 0
−r
.
Parametrisierung der Halbkugeloberfl¨ache F2 : p2 : [0,2π]×[0,π
2]−→R3 mit p2(ϕ, θ) = (cosϕcosθ+ 2,sinϕcosθ,sinθ+ 1)T, Außere Normalenrichtung zu¨ F2 :
∂p2
∂ϕ × ∂p2
∂θ =
e1 e2 e3
−sinϕcosθ cosϕcosθ 0
−cosϕsinθ −sinϕsinθ cosθ
=
cosϕcos2θ sinϕcos2θ sinθcosθ
.
b)
i) Mit Kugelkoordinaten, die um den Vektor (2,0,1)T verschoben sind, und mit divf(x, y, z) = 1 ergibt sich:
R
H
divf d(x, y, z) = R1 0
π
R2
0 2πR
0
r2cosθ dϕdθdr= R1 0
r2dr
π
R2
0
cosθ dθ
2πR
0
dϕ= r33 1
0sinθ
π 2
0 ·2π
= 2π3
ii)
Z
F1
hf(x), nido= Z1
0
Z2π
0
h
rsinϕ−1 0 0
,
0 0
−r
idϕ dr= 0
Z
F2
hf(x), nido=
π
Z2
0
Z2π
0
h
sinϕcosθsinθ+ sinϕcosθ−1 0
sinθ
,
cosϕcos2θ sinϕcos2θ sinθcosθ
idϕ dθ
=
π
Z2
0
Z2π
0
(sinϕcosϕcos3θsinθ+ sinϕcosϕcos3θ−cosϕcos2θ+ sin2θcosθ)dϕ dθ
=
π
Z2
0
(1
2sin2ϕcos3θsinθ+1
2sin2ϕcos3θ−sinϕcos2θ+ϕsin2θcosθ) 2π
0 dθ
=
π
Z2
0
(2πsin2θcosθ)dθ = 2π1
3sin3θ
π 2
0 = 2 3π
Das Integral aus i) hat nach Gauß den gleichen Wert wie die Summe der Werte der Integrale aus ii).
Aufgabe 13.6
Sei D = {(x, y) ∈ R2|x2+ 2y2 6 1}, und sei die Ebene x+y+z = 1 in kartesischen Koordinaten parametrisiert durchp(x, y) = (x, y,1−x−y)T. Dann ist k∂x∂p×∂y∂pk=√
3 und der Inhalt des in dieser Aufgabe definierten Fl¨achenst¨ucks ist gleich
R
D
√3d(x, y) = R1
−1
1
√2
√1−x2
R
−
1
√2
√1−x2
√3dydx=√ 6
R1
−1
√1−x2dx=√ 6(x2√
1−x2+12arcsinx) 1
−1
= π2√ 6.
