Blumen und Sterne aus Kreisbögen Anregung: A. F., B.
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Blume
Stern
2 Definitionen
Zu n Punkten A0,…,An−1 (zyklische Indizierung modulo n) suchen wir n Kreisbögen AjAj+1
! derart dass sich die Bögen A!j−1Aj und A!jAj+1 im Punkt Aj berühren, entwe- der mit einer Spitze nach innen (Blume) oder einer Spitze nach außen (Stern).
3 Bearbeitung 3.1 Kreiskette
Das Problem ist gelöst, wenn es gelingt, eine Kette von Kreisen kj zu zeichnen, so dass sich die beiden Kreise kj−1 und kj in Aj berühren.
A0
A1
A2 A3 A4
A5
A6
k0
k1
k2 k3 k4
k5
k6
Kreiskette
3.2 Umkorbbogen
Eine Kreiskette finden wir, sobald wir zu den n gegebenen Punkten einen so genannten Umkorbbogen haben.
A0
A1
A2 A3 A4
A5
A6
k0
k1
k2 k3 k4
k5
k6
b0
b1
b2 b3 b4
b5
b6
Umkorbbogen
Der Umkorbbogen setzt sich aus einzelnen Kreisbögen bj zusammen, die an den Über- gangspunkten Aj glatt ineinander übergehen.
(Allgemein: Eine Kurve, welche aus Kreisbögen mit glatten Übergängen zusammenge- setzt ist, wird als Korbbogen bezeichnet [Giering 1992].)
Der Kreis kj der Kreiskette ist dann der Orthogonalkreis zum Bogen bj. 3.3 Paritätsunterscheidung
Für Existenz, Eindeutigkeit und Konstruktion von Umkorbbögen von geschlossenen Polygonen A0…An−1 ist eine Fallunterscheidung bezüglich der Parität von n erforder- lich (vgl. [Walser 1996]).
3.3.1 Ungerade Anzahl Punkte
Ein geschlossenes Polygon mit ungerader Eckenzahl n hat genau einen Umkorbbogen.
Wir haben daher auch immer eine eindeutig bestimmte Blume und einen eindeutig be- stimmten Stern. Bei einem Sehnenpolygon ist der Umkorbbogen der Umkreis. Bei ei- nem Dreieck ist dies immer der Fall. Die Bilder oben zeigen aber ein Beispiel für
n=7, das keinen Umkreis, wohl aber einen Umkorbbogen besitzt.
3.3.2 Gerade Anzahl Punkte
Bei einem geschlossenen Polygon mit gerader Eckenzahl n ist die alternierende Winkel- summe
( )
−1 jαjj=0
∑
n ausschlaggebend. Für( )
−1 jαj j=0∑
n ≠0 gibt es keinen Umkorbbo-gen und damit weder Blume noch Stern. Für
( )
−1 jαj j=0∑
n =0 gibt es unendlich vieleUmkorbbögen und entsprechend unendlich viele Blumen und Sterne.
3.3.2.1 Sehnenviereck
Ein Viereck mit verschwindender alternierender Winkelsumme ist ein Sehnenviereck.
Der Umkreis ist ein möglicher Umkorbbogen, es gibt aber auch andere. Die Abbildun- gen zeigen für dasselbe Sehnenviereck die Situation mit dem Umkreis und mit einem anderen Umkorbbogen.
Sehnenviereck und Umkreis
Variante: Sehnenviereck und Umkorbbogen
3.3.2.2 Sechseck
Für gerades n>4 gibt es auch bei verschwindender alternierender Winkelsumme in der Regel keinen Umkreis. Wird zum Beispiel bei einem regelmäßigen Sechseck durch eine Parallele zu einer Seite ein Trapez abgeschnitten, bleibt ein gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Sechseck übrig. Die alternierende Winkelsumme ist nach wie vor null, aber das Sechseck hat keinen Umkreis. Es hat aber unendlich viele Umkorbbögen. Im Beispiel links wurde der halbe Umkreis des ursprünglichen regelmäßigen Sechsecks mit verwendet.
Umkorbbogen. Variante Entsprechend haben wir unendlich viele Blumen und Sterne.
Blume und Stern
Blume und Stern, Variante Literatur
[Giering 1992] Giering, Oswald: Zur Geometrie der Polygon-Korbbögen. PM, Praxis der Mathematik (34), 1992, S. 245-248.
[Walser 1996] Walser, Hans: Geschlossene Korbbögen. Praxis der Mathematik (38), 1996, S. 169-172.
