1: Im DIN-Raster Das Dreieck und das Sechseck sind flächengleich

DIN, Dreieck und Sechseck Anregung: H. K. S., L.

1 Im DIN-Raster

In einen DIN-Raster zeichnen wir ein regelmäßiges Dreieck und ein regelmäßiges Sechseck gemäß Abbildung 1.

Abb. 1: Im DIN-Raster Das Dreieck und das Sechseck sind flächengleich.

2 Rechnerischer Beweis

Ein regelmäßiges Dreieck mit dem Umkreisradius 2 und ein regelmäßiges Sechseck mit dem Umkreisradius 2 haben beide den Flächeninhalt 3 3.

3 Zerlegungsgleichheit

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen eine Zerlegungsgleichheit in zwei Schritten.

Erster Schritt: Umformung der äußeren Dreiecke und Trapeze in Parallelogramme.

Abb. 2: Parallelogramme Zweiter Schritt: Gemeinsame Zerlegungen der Parallelogramme.

Abb.3: Zerlegung

4 Faltgeometrie

Ausgehend von je einem DIN A4-Papier können wir das rote Dreieck und das blaue Sechseck auch mit Faltgeometrie herstellen. Zunächst falten wir den Raster (Abb. 4).

Die Präzision wir größer, wenn wir nicht zu viele Papierlagen übereinander falten.

Abb. 4: Falten des Rasters

Für das Dreieck falten wir nun von links her ein gemäß Abbildung 5.

Abb. 5: Erster Faltschritt für das Dreieck

Dieser Schritt ist entscheidend. Es entsteht oben in der Blattmitte ein Winkel von 60°.

Wir können und von rechts her auch einfalten und schließlich von unten her auf die un- terste Faltlinie einfalten. Vorstehende Teile verstauen wir. Die Abbildung 6 zeigt das Faltdreieck.

Abb. 6: Faltdreieck

Für das Sechseck falten wir zunächst auf das Viertel rechts unten und fügen eine zusätz- liche Faltlinie ein (Abb. 7).

Abb. 7: Vorbereitung für das Sechseck

Nun geht es im Prinzip weiter wie in der Abbildung 5 mit dem Dreieck (Abb. 8). Pedan- ten mögen nachprüfen, ob die grau-weiß-Färbung des DIN-Rasters korrekt wiedergege- ben ist. Eine schöne Übung im räumlichen Vorstellungsvermögen.

Abb. 8: Zwischenschritt für das Sechseck Vollständiges Auffalten liefert die Figur der Abbildung 9.

Abb. 9: Auffalten

Es fehlen noch der obere und der untere Abschluss des Sechseckes. Dazu falten wir zunächst die Mittelparallelen der schrägen Faltlinien (Abb. 10). Der Rest ist dann klar.

Abb. 10: Kontur des Sechsecks Die Abbildung 11 zeigt das Faltsechseck.

Abb. 11: Faltsechseck

Das Dreieck und das Sechseck (Abb. 12) sind flächengleich.

Abb. 12: Flächengleiche Figuren