1 Entartete St¨ orungstheorie bei einem 2d anharmonischen Oszillator

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨ uller, H. M¨ unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 6, Abgabe am Fr. 30.11.12 vor der Vorlesung, ¨ Besprechung in den ¨ Ubungen am 3.12.12/5.12.12.

1 Entartete St¨ orungstheorie bei einem 2d anharmonischen Oszillator

Der Hamilton-Operator eines zweidimensionalen anharmonischen Oszilators geschrieben in dimensi- onslosen Variablen (mit � = 1, m = 1 und [ˆ x i , p ˆ j ] = iδ ij ) lautet

H ˆ := ¹ ₂ � ˆ p ² ₁ + ˆ p ² ₂ �

+ ¹ ₂ (1 + � x ˆ 1 x ˆ 2 ) � ˆ x ² ₁ + ˆ x ² ₂ �

,

wobei � � 1 sei. Geben Sie die entarteten Energieeigenzust¨ande in der Besetzungszahldarstellung

| n 1 , n 2 � der drei tiefsten Energieniveaus im Fall � = 0 an. Berechnen Sie dann die Verschiebung der zwei niedrigsten Niveaus f¨ ur � � = 0 in erster Ordnung St¨orungstheorie.

Hinweis: Verwenden Sie a | n � = √ n | n − 1 � , a ^† | n � = √

n + 1 | n + 1 � .

Freiwillige Zusatzaufgabe: Berechnen Sie die Verschiebung des drittniedrigsten Niveaus. Die besonders Mutigen k¨onnen versuchen, eine Formel f¨ ur alle Niveaus herzuleiten.

2 Dynamik im Wechselwirkungsbild - Rabische Formel

Gegeben sei das Zweizustandssystem mit dem Hamiltonschen Operator ˆ H = ˆ H 0 + ˆ V , wobei H ˆ 0 := E 1 | 1 � � 1 | + E 2 | 2 � � 2 |

V ˆ := γe ^iωt | 1 � � 2 | + γe ^{− iωt} | 2 � � 1 | . Wir verlangen, dass γ und ω reell und positiv sind, sowie E 2 > E 1 .

Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das System im tieferen Zustand | 1 � . Bestimmen Sie den Zu- standsvektor im Wechselwirkungsbild | Ψ W (t) � = � 2

n=1 c n (t) | n � exakt durch L¨osen des gekoppelten Differentialgleichungssystems. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis!

3 Das Exponentialintegral und asymptotische Reihen Wir sagen, dass die Funktion f(x) durch die Reihe φ(x) � ∞

n=0 a

x

asymptotisch dargestellt wird, falls

| x lim |→∞ x ^N

� f (x) φ(x) −

� N

n=0

a n

x ⁿ

�

→ 0, ∀ N ≥ 0.

Wir definieren die Funktion E 1 (x) := � ∞ x

e

t dt.

a) Zeigen Sie mittels partieller Integration, dass E 1 (x) = φ(x) �

1 − x ¹ + _x ^2!

− · · · + ^{( − 1)} _x

^n!

� +R n+1 (x) und berechnen Sie φ(x) und R n+1 (x).

b) Zeigen Sie, dass E 1 (x) durch die divergente Reihe φ(x) � _∞

n=0 ( − 1)

n!

x

asymptotisch dargestellt wird.

c) Sei x fest. Sch¨atzen Sie grob ab, f¨ ur welchen Wert N(x) die Reihe φ(x) � N(x) n=0

( − 1)

n!

x

die beste Absch¨atzung f¨ ur E 1 (x) gibt. Zeichnen Sie mit Mathematica die Differenz

E 1 (x) − φ(x)

N (x)

�

n=0

( − 1) ⁿ n!

x ⁿ f¨ ur 1 ≤ x ≤ 10 auf.

Hinweis: die Funktion E 1 (x) wird in Mathematica ExpIntegralE[1, x] genannt.