Torsten Linnemann
Kantonsschule Solothurn
e-mail:tolinnemann@vtxmail.ch
homepage: http://home.tiscalinet.ch/tolinnemann
1. Juli 2006
beiten dieses Leitprogrammes und viele wichtige Hinweise.
Marcel Fischer danke ich für einige Graphiken.
Die Idee, die gesamte Vektorgeometrie entlang einer Aufgabe zu einem Spat aufzubauen, stammt von Rolf Rosbigalle, Lübeck. „DIE Aufgabe“ stammt von ihm (mit einigen Erwei- terungen von mir). Dafür möchte ich mich herzlich bedanken. Mein spezieller Dank gehört Felix Steiner für die Lösungen von „DIE Aufgabe“.
1 Vektoralgebra 5
1.1 Das Koordinatensystem . . . 6
1.2 Vektoren . . . 7
1.2.1 Verschiebungen und Pfeile . . . 7
1.2.2 Rechenregeln . . . 9
1.2.3 Die Länge eines Vektors . . . 12
1.2.4 Taschenrechner . . . 13
2 Produkte 15 2.1 Skalarprodukt . . . 15
2.2 Vektorprodukt . . . 18
3 Geraden 21 3.1 Koordinatenform . . . 21
3.2 Parameterform . . . 23
3.3 Die Gerade im Raum . . . 25
3.4 Schnittwinkel . . . 26
3.5 Normalenvektoren . . . 26
4 Ebenen 29 4.1 Schnittprobleme . . . 30
4.1.1 Gerade und Ebene . . . 30
4.1.2 Schnitt zweier Ebenen . . . 31
4.2 Abstandsprobleme . . . 32
4.2.1 Punkt und Ebene . . . 32
4.2.2 Gerade und Gerade . . . 33
4.2.3 Punkt und Gerade . . . 33 3
Einführung
Die Analytische Geometrie oder Vektorgeometrie ist ein relativ neues Gebiet der Mathema- tik: es stammt aus dem 19. Jahrhundert. Zum Vergleich: Dinge wie der Satz des Pythagoras sind schon im alten Babylon bekannt gewesen, die systematische Grundlegung der Geome- trie mit all ihren Konstruktionen fand in der Zeit der Griechen ihre Blüte. Die Trigonometrie ist genau wie die Algebra in Arabien um die Jahrtausendwende (die vorletzte) entstanden.
In der analytischen Geometrie wird die Geometrie noch mehr der Algebra zugänglich ge- macht. Die Methoden dazu kennt ihr schon: Vektoren lassen sich in Koordinaten darstellen und so rechnerisch addieren und strecken. Winkel lassen sich mit den trigonometrischen Funktionen berechnen.
Du wirst in den weiteren Kapiteln lernen, mit Ebenen, Geraden, Kreisen und Kugeln mit rechnerischen Methoden umzugehen. Natürlich kommt auch die ebene und räumliche An- schauung nicht zu kurz.
In die Analytische Geometrie sollst du dich mit Hilfe eines Leitprogramms einarbeiten. An vielen Stellen ist die Anschauung wichtig. Arbeite deshalb mit Deiner NachbarIn eng zu- sammen, so dass ihr miteinander die Zusammenhänge erschliessen könnt. Grössere Grup- pen sollten sich aber nicht bilden.
Wenn mal etwas nicht gleich verstanden wird, solltest du, erstens noch einmal nachdenken, zweitens deine NachbarIn fragen und drittens dich an die Lehrkraft wenden.
Zur Lernkontrolle sind Tests in das Leitprogramm eingebaut. Wenn du so weit gekommen bist, wende dich bitte an die Lehrkraft, das gibt dann ein Aufgabenblatt (Kapiteltest), das du ohne Hilfe lösen sollst. Die Lösung zum Blatt wird abgegeben und von der Lehrkraft korrigiert. Sollte sie noch Fehler ernthalten, so teilt die Lehrkraft mit, was zu tun ist.
Ein Grossteil der Aufgaben wird sich auf eine grosse Aufgabe mit vielen Unteraufgaben beziehen: DIE Aufgabe.
Es dreht sich in der Aufgabe um einen Spat, also einen von sechs Parallelogrammen be- randeten Körper. Mit Hilfe dieser Aufgabe lassen sich praktisch alle Aufgaben der Vektor- geometrie erledigen. Ausführliche Lösungen zu dieser Aufgabe finden sich am Schluss des Leitprogramms.
Vektorgeometrie – DIE Aufgabe
Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelo- grammen entsteht. Alle Kanten sind darstellbar durch die drei Vektoren −−→AB, −−→BC und −→AE. An diesem Spat lassen sich bei- spielhaft fast alle der Probleme zeigen, deren Lösungen Du in der Vektorgeometrie kennenlernen wirst. Im Skript wird immer wieder auf diese Aufgabe als [DA] Bezug genommen.
Dieser Spat wird Dich also die nächsten Wochen begleiten.
Oft können in einer Aufgabe mehr als vier Dinge berechnet werden. Dann brauchen jeweils nicht alle Möglichkeiten be- rechnet werden.
A
B
C D
E
F
G H
Vektoralgebra
Einführung
In den ersten beiden Kapiteln der analytischen Geometrie werden die Grundlagen der Vek- torrechnung gelegt. Vektoren lassen sich addieren und subtrahieren. Sie können mit Zahlen multipliziert werden: Daraus entsteht die Vektoralgebra. Dann lernt ihr zwei wichtige Me- thoden kennen, Vektoren miteinander zu verknüpfen: Skalarprodukt und Vektorprodukt.
Diese beiden erlauben es, festzustellen, ob Vektoren senkrecht zueinander sind, Winkel zwi- schen Vektoren zu berechnen und schliesslich zu zwei Vektoren im Raum einen dritten zu produzieren, der senkrecht auf den ersten beiden steht. Das alles werden wir brauchen, um Geraden und Ebenen in den folgenden beiden Kapiteln erfolgreich beschreiben zu können.
Das werdet ihr nach den ersten beiden Kapiteln können:
• Vektoren zeichnerisch und in Koordinaten addieren und strecken. Dies ist die Grund- lage derVektoralgebra
• Ihr könnt Vektoren aus der Koordinatendarstellung heraus zeichnen und feststellen, ob sie parallel sind.
• die Längen von Vektoren in Ebene und Raum aus den Koordinaten bestimmen.
• den Winkel zwischen zwei Vektoren mit demSkalarproduktbestimmen.
• mit demSkalarproduktbestimmen, ob Vektoren senkrecht zueinander sind.
• zu zwei Vektoren einen dritten berechnen, der senkrecht auf den beiden steht. Dazu ist dasVektorproduktda.
• Erklären, warum die Ebene zweidimensionalund der Raum dreidimensional ist. Dazu dienen dieBasisvektoren
Das wird sich dann alles im nächsten Kapitel aufGeradenanwenden lassen: Mit Hilfe von Koordinaten und Vektoren lassen sich diese algebraisch beschreiben und auch Schnittpunk- te zu ermitteln. Das Skalarprodukt dient dann dazu, Winkel festzustellen und auch dazu, zwei Schreibweisen von Geraden miteinander zu verbinden: die (neu zu lernende Schreib- weise mit Vektoren) und die Geradengleichungeny=mx+q.
5
Im Kapitel, das darauf folgt, wird dieses Programm aufEbenenangewendet. Hier kommt dann auch das Vektorprodukt zum Zuge. Ausserdem wird auch die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen betrachtet.
1.1 Das Koordinatensystem
Um die Position eines Flugzeuges anzugeben werden drei Angaben benötigt: Die Position in Ost-West-Richtung, die Position in Nord-Süd-Richtung und die Höhe.
Dies ist allgemein so, wenn eine Position im Raume beschrieben werden soll.
Genau wie beim ebenen Koordinatensystem wählen wir uns einen PunktO(0|0|0) als Ur- sprung des Koordinatensystems. Jeder Punkt hat dann drei Koordinaten. Ein Punkt lässt sich kennzeichnen alsP(x|y|z). Dabei ist diez-Koordinate die Höhe. diez-Achse wird also nach oben gezeichnet, diey-Achse verläuft horizontal und die x-Achse müsste jetzt nach vorne aus dem Blatt herausschauen. Wir stellen uns nun vor, wir würden schräg von oben auf den Koordinatenursprung schauen. Dann können wir diex-Achse als schräg nach unten laufend zeichnen:
1 1
1
x
y z
1 1
1
x
y z
Im zweiten Bild ist zu sehen, wie typischerweise die Einheiten gewählt werden: zwei Häus- chen aufy−undz−Achse und ein „diagonales“ Häuschen auf derx-Achse. Wird von schräg oben geschaut, so erscheint diex−Achse ja auch verkürzt – dem wird also Rechnung getra- gen.
Aufgabe 1.1 Trage die Punkte ins rechte Koordinatensystem oben ein.P(0|2|3), Q(3|2|1) , R(3| −2| −1)undS(5|3|2)
Durch den Verzicht auf eine „Dimension“ sind die Punk- te nicht mehr eindeutig eintragbar. Darum wird oft zur Einzeichnung eines Punktes ein ganzer Quader gezeichnet.
Dies macht den Punkt eindeutig und dient auch der Vor- stellung. Hier ist der PunktQ(3|2|1)eingetragen.
Q 1 1
1
x
y z
Aufgabe 1.2 Zeichne die PunkteSundRmit den dazugehörigen Quadern in eigene Koor- dinatensysteme im Heft.
Aufgabe 1.3 Stelle mit drei je 10cm langen Stöckchen ein eigenes dreidimensionales Koor- dinatensystem her. Dabei sind 2cm eine Einheit. Zeige Deiner NachbarIn die PunkteP,S undR.
Dieses Koordinatensystem werden wir im Weiteren häufig brauchen. Bringt es bitte jeweils zum Unterricht mit. Im Folgenden nenne ich esModell
Bemerkung:Die xy-Ebene ist die Ebene, in der die z-Koordinate Null ist. Es ist also die Zeichenebene. Analog ist diexz-Ebene die vertikale Ebene, die aus der Zeichnung heraus- schaut und dieyz-Ebene ist die Zeichenblattebene.
Aufgabe 1.4 Der PunktP(5|2|1)wird gespiegelt
a) an derxy-Ebene b) an derxz-Ebene c) am Ursprung d) an derz-Achse e) an dery-Achse f) am Punkt (3|3|3) Welche Koordinaten hat der gespiegelte PunktP′?
Aufgabe 1.5 Welche besondere Lage haben diese Punkte?
a) P(x|0|0) b) Q(0|y|z) c) R(0|y|4) d) S(0|a|a)
Nun solltet ihr das dreidimensionale, räumliche Koordinatensystem kennen. Im Folgenden werden wir sowohl Probleme im Raume als auch in der Ebene behandeln. Die Herange- hensweisen sind jeweils die gleichen, nur dass im Raume eine dritte Koordinate vorkommt.
Das gibt Rechenaufwand, meistens aber keine zusätzlichen konzeptionellen Schwierigkei- ten. Aus dem Zusammenhang wird jeweils hervorgehen, ob es sich um den Raum oder die Ebene handelt.
1.2 Vektoren
1.2.1 Verschiebungen und Pfeile
In der Geometrie habt ihr verschiedene „Kongruenzabbildungen“ kennen gelernt. Es sind dies zum Beispiel Geradenspiegelungen, Drehungen und Verschiebungen. Für die Vektor- geometrie besonders wichtig sind die Verschiebungen. (Drehungen lassen sich mit Hilfe von Geometrie und Vektoren dann auch beschreiben – das erfolgt aber nicht in diesem Leitpro- gramm.)
Bei einer Verschiebung werdenallePunkte der Ebene um eine gewisse Länge in eine gewis- se Richtung verschoben. Punkt und Bildpunkt lassen sich mit einem Pfeil verbinden. Die Menge dieser gleich langen und gleich gerichteten Pfeile beschreibt also die Verschiebung.
Eigentlich reicht aber ein Pfeil aus, um die Verschiebung zu beschreiben. Der Ansatzpunkt des Pfeils ist dann einfach verschieden für jeden zu verschiebenden Punkt. Das führt zu folgender Definition:
Definition 1.1 EinVektorfasst alle gleich langen Pfeile gleicher Richtung zusammen.
Ein gezeichneter Pfeilrepräsentiertdiesen Vektor.
Beispiel 1.1
2
~a ~a
~a ~a ~a
Alle oben gezeichneten Pfeile repräsentieren den gleichen Vektor. Wird im Folgenden ein Buchstabe mit einem Pfeil gekennzeichnet, so handelt es sich um einen Vektor, Beispiel~a.
Ein Vektor ist also eine ganze Pfeilklasse. Wir kennzeichnen einen Vektor durch drei unter- einandergeschriebene Komponenten. Der Vektor~a=
1 5
−3
bedeutet dann:
Gehe einen Schritt1nach vorne, 5 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach unten.
Aufgabe 1.6 Zeige Deiner NachbarIn jeweils zwei Repräsentanten der folgenden Vektoren im Modell. Beachte: der Ansatzpunkt der Pfeile ist frei wählbar.
a)
1 5
−3
b)
−2 0 5
c)
3
−2 3
Aufgabe 1.7 Zeichne jeweils zwei Repräsentanten der ersten beiden Vektoren aus der obi- gen Aufgabe in ein Koordinatensystem ein.
Oft werden wir zwei Punkte verbinden müssen. Der Vektor, der die Verschiebung vom einen zum anderen Punkt realisiert, bekommt eine besondere Bezeichnung.
Definition 1.2 Gegeben sind zwei PunkteAundB. Der Vektor der die Verschiebung vonAnach Bbedeutet, heisst−−→AB. Er wird repräsentiert durch einen Pfeil vonAnachB.
Aufgabe 1.8 Gegeben sind die PunkteA(−1|5|4), B(4|0| −4) undC(−5|3| −1). Zeige mit Deiner NachbarIn die Vektoren−−→AB, −−→
BC und −→AC. Veranschauliche Dir, dass der folgende Satz gilt:
Satz 1.1 Der Verbindungsvektor der PunkteA(a1|a2|a3)undB(b1|b2|b3)ist−−→AB=
b1−a1 b2−a2 b3−a3
.
1eigentlich: eine Einheit
Definition 1.3 Der Vektor−→OA=
a1
a2 a3
heisstOrtsvektorzum PunktA. Er hat einen Reprä- sentanten, der vom Ursprung nachAzeigt.
Beachte, dass−−→
ABund−−→
BAentgegengesetzte Vorzeichen haben. Wir sind versucht zu schrei- ben−−→AB=−−−→BA. Mit Vektoren lässt sich anscheinend rechnen. Ein weiteres Beispiel:
Aufgabe 1.9 Berechne für die Punkte aus Aufgabe 1.8 die Koordinaten von~a=−−→AB,~b=−−→BC und~c=−→AC. Bestätige den auf die Definition folgenden Satz.
Definition 1.4 Wir definieren~a+~bdurch die Addition der Koordinaten.
Satz 1.2 Es gilt−−→AB+−−→BC =−→AC
Mit Vektoren lässt sich rechnen. Schön. Wir brauchen Rechenregeln.
1.2.2 Rechenregeln
Betrachte die Vektoren
1 2 0
und
2 4 0
im Koordinatensystem. Sie zeigen in die gleiche Richtung, wobei der eine doppelt so lang wie der andere ist.
Definition 1.5 Das Produkt des Vektors~a =
a1 a2 a3
mit r ∈ R lautet r~a =
ra1 ra2 ra3
. Der Vektorr~aistrMal so lang wie~aund zeigt fürr >0in die gleiche Richtung wie~aund fürr <0in die entgegengesetzte Richtung.
~a1
2a~1 r
1 3a~
r
r
)−~a
)
−~2a r
)
−~3a r
r
Definition 1.6 Der Kehrvektor von~a ist gleich lang wie~a, schaut aber in die entgegengesetzte Richtung. Wir bezeichnen ihn mit -~a.
Beispiel 1.2 −−→BAist der Kehrvektor zu−−→AB.
2 ~a1 )−~a
Beispiel 1.3 Für~a=
6
−4 5
gilt−~a=
−6 4
−5
und 1 2~a=
3
−2 2.5
.
2Definition 1.7 zwei Vektoren heissenkollinear, wenn es eine Zahlr 6= 0gibt, so dassr~a=~b.
Wir kommen nun zur Addition zweier Vektoren. Sie lässt sich veranschaulichen durch das Hintereinanderausführen zweier Verschiebungen.
Vektoren werden also graphisch folgendermassen addiert:
-
~a
~b
- -
~a
~b
~a
~b -
1-
~a
~b
~a
~a+~b ~b
In Koordinaten bedeutet dies:
Satz 1.3 Gegeben sind die Vektoren~a=
a1
a2 a3
und~b=
b1
b2 b3
. DieSumme~a+~bbeträgt:
~a+~b=
a1+b1 a2+b2
a3+b3
Aufgabe 1.10 [DA] (Jetzt geht es los mit DIE Aufgabe.) Gegeben sind die Punkte
A(0|−9|−4), B(6|−4|−5), C(5|1|−4)undE(−4|−8|3). Spanne mit Hilfe der Vektoren
−
→a =−−→AB,−→b =−−→BCund−→c =−→AEeinen Spat auf. (Def. Seite 4)
Bestimme die anderen vier Spatpunkte sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch.
Tipp: Der Vektor −−→OD ergibt sich zum Beispiel, wenn der Vektor −−→BC an den Vektor −→OA gehängt wird. Also −−→
OD = −→
OA+−−→BC. (Veranschauliche Dir das im Modell.) Erinnerung
−−→BC =−−→OC−−−→OB
Aufgabe 1.11 [DA] Wie lauten die Vektoren−−→AB,−→AG,−−→BHund−−→DG?
Aufgabe 1.12 [DA] Bestimme Mittelpunkte der Kanten und der Seitenflächen (die Schnitt- punkte der Seitendiagonalen). (Hier kommt die anfangs erwähnte Regelung zum Tragen: Es müssen insgesamt nur die Koordinaten von vier Punkten berechnet werden.)
Löse zuerst die Aufgabe und veranschauliche Dir durch Nachrechnen in Koordinaten den folgenden Satz:
Satz 1.4 Gegeben sind die PunkteA(a1|a2|a3)undB(b1|b2|b3). Die Koordinaten des Mittelpunktes der StreckeABsind 1
2 ·
a1+b1 a2+b2 a3+b3
Und noch einige „normale“ Aufgaben zur Vektoralgebra.
Aufgabe 1.13 Stelle die folgenden Vektorgleichungen nach~aum.
a) 3~a−2~b+~c= 12
~a+ 4~b
−3~c b) 12(2~a+~c)−34
3~b−~a
= 14
4~b+~c +~a c) 2
~a−~b
−3
2~b−5~c
= 12(~a−2~c)
Aufgabe 1.14 Auch in der Ebene sind unsere Rechenregeln in Ordnung: Gegeben sind die Vektoren~a=
2 2
,~b=
−2
−6
und~c= −4
−8
. a) Bestimme zeichnerisch den Vektord~= 3~a+ 2~b−~c.
b) Bestimme rechnerisch den Vektord~= 3~a+ 2~b−~c.
Aufgabe 1.15 Prüfe, ob die Vektoren kollinear sind a) ~a=
4
−1 3
und~b=
−12 3 9
b) ~a=
9
−4
−6
und~b=
−2.25 1 1.5
Aufgabe 1.16 Bestimmepundqso, dass die Vektoren kollinear sind.
a) ~a=
−3 1 8
und~b=
p
−4 q
b) ~a=
x 7 5
und~b=
−2 q 8
Aufgabe 1.17 Liegt der PunktCauf der Geraden durch die PunkteAundB?
a) A(−2|5| −4),B(10| −1|0)undC(−8|8|6) b) A(6| −3|4),B(2|7| −5)undC(−4|22| −18)
Aufgabe 1.18 Gegeben sind die Punkte(2| −3),(8|1) und(4|5). Findeeinenvierten Punkt, so dass die vier Punkte ein Parallelogramm geben. Zeichne die Lösung und finde die beiden weiteren Lösungen der Aufgabe.
1.2.3 Die Länge eines Vektors
Ein Vektor entspricht einer Verschiebung. Eine Verschiebung wird gekennzeichnet durch Richtung und Länge. Wichtig ist also die Frage nach der Länge eines Vektors.
Um die Länge des Vektors~a =
a1 a2 a3
zu bestimmen wählen wir einen Pfeil, der im Ur- sprungO ansetzt. Er deutet dann zu einem PunktP. Wir brauchen also den Abstand des PunktesP vom Koordinatenursprung. Dazu zeichnen wir wieder einen Quader (mit den Seitenlängena1 bisa3.
Zu berechnen ist also die Länge D des Pfeils. Dazu be- rechnen wir zunächst für die Länge der Diagonalendder Grundfläche:d2 =a12+a22. Bei der Ecke rechts unten hin- ten ergibt sich wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängendunda3 und der HypotenuseD. Es ergibt sichD2 =d2+a32 =a12+a22+a32. Das Ziehen der Wurzel gibt die Länge des Vektors.
a1 a2
a3
O
D d
P
Definition 1.8 Die Länge des Vektors~awird mit|~a|oder auch einfach mitabezeichnet.
Satz 1.5 Für die Länge von~a=
a1 a2 a3
gilta=|~a|=√
a12+a22+a32.
Aufgabe 1.19 [DA] Bestimme die Längen der Kanten. Erinnerung:−−→AB=
b1−a1
b2−a2 b3−a3
.
Beispiel 1.4 Finde einen Vektor, der parallel zu~a=
4 3 0
ist und die Länge4hat:
Dazu berechnen wir zunächst die Länge von~a, alsoa=√
42+ 32+ 02 = 5. Wir multiplizie- ren also~amit 15 und erhalten einen Vektor der Länge 1, den wir dann mit 4 multiplizieren, oder wir multiplizieren gleich mit 45.
4 5~a= 4
5·
4 3 0
=
16/5 12/5 0
=
3.2 2.4 0
Eine weitere Lösung ist übrigens
−3.2
−2.4 0
.
2
Aufgabe 1.20 Wie lang ist der Vektor~a =
12
3 4
? Welche Komponenten hat ein Vektor von gleicher Richtung und der Länge 6.5?
Aufgabe 1.21 Wie lang ist der Vektor~b =
−6 3 6
? Welche Komponenten hat ein Vektor von entgegengesetzter Richtung und der Länge 31.5?
Aufgabe 1.22 Berechne den Umfang des Dreiecks ABC.
a) A(2| −3),B(8|1)undC(4|5) b) A(6| −3|4),B(2|9| −5)undC(−4|22| −18) Beispiel 1.5 Bestimme den Punkt auf derx-Achse, der vonA(−2|1)undB(4|5)gleich weit entfernt ist.
Eingezeichnet ist ein PunktQ, der noch nicht unbedingt die Bedingung erfüllt. Der PunktQhat die KoordinatenP(x|0).
Es gilt also zum Beispiel
−→AP =p
(x+ 2)2+ 12. Gleichset- zen mit der anderen Entfernung ergibt:
p(x+ 2)2+ 12 = p
(x−4)2+ 52 (x+ 2)2+ 12 = (x−4)2+ 52
x2+ 4x+ 5 = x2−8x+ 41 12x = 36
x = 3 Der gesuchte Punkt ist alsoP(3|0)
A
B
Q x
y
2 Aufgabe 1.23 Der PunktP auf der y-Achse ist vonA(7|0|4) und B(−3|1| −7) gleich weit entfernt.
Aufgabe 1.24 Der Punkt P auf derz-Achse ist vonA(5|2| −3) undB(−3|6|5) gleich weit entfernt.
Aufgabe 1.25 Welcher Punkt auf der x-Achse ist vonA(0| −2|4) doppelt so weit entfernt wie vonB(6|2| −6)?
1.2.4 Taschenrechner
Taschenrechner wie zum Beispiel der TI89 beherrschen die Vektorrechnung. Beispiel: Ein- gabe von [3;2;4] liefert den Vektor (bitte selber durchführen). . ..
Vektorrechnungen können dann zum Beispiel erfolgen mit4·[3;2;4]=. . . oder [3;2;4]+[-2;0;3]=. . .
Oft ist es sinnvoll, Vektoren zu speichern, da sie oft wieder vorkommen und die Eingabe recht mühsam ist. Das erfolgt wie immer mit dersto-Taste, also zum Beispiel „[3;2;4] sto aa“
und „[-2;0;3] sto bb“
und dann die Rechnung aa+bb
Aufgabe 1.26 [DA] Speichere die Vektoren−−→AB,−−→BCund −→AE als daa, dab und dac ab. (das hilft später sehr bei der Arbeit).
Imcatalogdes TI89 findet sich das Kommandonorm. Die Norm ist ein anderes Wort für die Länge. Es ergibt sich also für die Länge von [3;2;4] die Rechnung norm([3;2;4])=norm(aa)=. . . Aufgabe 1.27 [DA] Berechne mit dem Taschenrechner die Längen der Kanten. (daa, dab und dac).
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Produkte
2.1 Winkel – das Skalarprodukt
Nachdem die Länge von Vektoren nun behandelt ist, fehlt noch die Richtung. In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie der Winkel zwischen Vektoren bestimmt werden kann. (die Richtung ergibt sich dann durch den Winkel zurx-,y- undz-Achse.)
Wir behandeln das Problem zunächst in der Ebene, im Raume kommt einfach eine weitere Komponente hinzu.
Gefragt ist der Winkel zwischen~a= a1
a2
und~b= b1
b2
. Dazu betrach- ten wir den Verbindungsvektor~c=~b−~a=
b1−a1 b2−a2
. Für die Beträge gilt der Cosinussatz.
~a ~b
~c γ
c2 = a2+b2−2abcosγ
(b1−a1)2+ (b2−a2)2 = a12+a22+b12+b22−2abcosγ b12−2a1b1+a12+b22−2a2b2+a22 = a12+a22+b12+b22−2abcosγ
−2a1b1−2a2b2 = −2abcosγ a1b1+a2b2 = abcosγ
Bei der Berechnung des Winkels aus dem Cosinus spielt die linke Seite eine wichtige Rolle.
Sie bekommt einen extra Namen. Zum Ausgleich erfolgt die Definition in drei Dimensionen.
Definition 2.1 Das Skalarprodukt der Vektoren~a=
a1 a2 a3
und~b=
b1 b2 b3
lautet
~a•~b=a1b1+a2b2+a3b3 =
n
X
k=1
akbk
Die Definition mit Summenzeichen gilt für jede Dimension n. Bei uns kommtn = 2 und n= 3in Frage.
15
Bemerkung: Skalarbedeutet Zahl.
Damit haben wir:
Satz 2.1
~a•~b=abcosγ und (2.1)
γ = cos−1 ~a•~b ab
!
(2.2)
Die Gleichung 2.1 bedeutet, dass wir zwei Beschreibungen für das Skalarprodukt haben, einmal über die Summe a1b1+a2b2 +a3b3 und zum anderen mit dem Winkel. Durch ge- schicktes Hin- und Herwechseln zwischen diesen Betrachtungsweisen werden sich viele Probleme erschliessen.
Beachte, dass der Satz 2.1 sehr tiefliegend ist: in der Herleitung haben wir uns auf den (tief- liegenden) Cosinussatz bezogen für dessen Beweis wir den (zentralen) Satz von Pythagoras benötigten. Der Satz ist nicht unmittelbar geometrisch einleuchtend, er muss also gelernt werden und kann dann immer wieder eingesetzt werden.
Aufgabe 2.1 [DA] Bestimme die Winkel zwischen den Kanten.
Aufgabe 2.2 [DA] Bestimme die Winkel, die die Kanten mit den Diagonalen −→AGund −→AF aufspannen.
Bemerkung:Auch das Skalarprodukt lässt sich mit dem TI89 berechnen. Der, imcatalogzu findende Befehl lautet,dotP, also zum Beispiel dotP(aa,bb).
Damit lässt sich auch schnell eine Funktion definieren, die aus zwei Vektoren den einge- schlossenen Winkel berechnet. Diese Funktion hat 6 Unbekannte, nämlich 2 Mal drei Kom- ponenten.
Aufgabe 2.3 Definiere die Funktion vektwink folgendermassen:
cos−1(dotP([a1;a2;a3],[b1;b2;b3])/(norm([a1;a2;a3])*norm([b1;b2;b3]))) Sto vektwink(a1,a2,a3,b1,b2,b3)
Überlege Dir, was die Funktion macht und wie die Vektoren einzugeben sind. Löse die letz- ten beiden Aufgaben auch mit der Funktion vektwink.
Das Eingeben dieser Formel scheint zunächst einmal sehr kompliziert, auf die Dauer er- leichtert sie die Arbeit aber sehr.
Jetzt wird der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Winkel benötigt.
Aufgabe 2.4 Berechne den Wert des Skalarprodukts~a•~bwenn gilt a) a= 12,b= 7,∠(~a,~b) = 60◦ b) a=√
2,b= 12,∠(~a,~b) = 45◦ c) a=√
2,b= 4322,∠(~a,~b) = 90◦
Satz 2.2 Es gilt für zwei Vektoren, deren Länge nicht Null ist:
∠(~a,~b) = 90◦⇐⇒~a•~b= 0
Mit dem Skalarprodukt lässt sich also prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind.
Beweis:cos 90◦= 0. 2
Satz 2.3 Das Skalarprodukt hat Eigenschaften, die das Produkt reeller Zahlen auch hat:
1. ~a•~b=~b•~aKommutativgesetz 2. k(~a•~b) = (k~a)•~b=~a•(k~b)
3. ~a•(~b+~c) =~a•~b+~a•~cDistributivgesetz 4. ~a•~a=a2
Beweis:Nachrechnen in Koordinaten. Wir führen dies nur für die letzte Eigenschaft durch:
~a•~a=a21+a22+a23
Dies ist gerade das Quadrat des Betrags des Vektors. 2
Aufgabe 2.5 Berechne∠(~a,~b), wenn gilt
a) ~a•~b= 10,a= 5,b= 4 b) ~a•~b= 36,a= 12,b= 8 c) ~a•~b= 0,a= 42,b= 345.67
Aufgabe 2.6 Für welchen Zwischenwinkel von~aund~bgilt a) ~a•~b=ab b) ~a•~b=−ab c) ~a•~b=−0.5ab Aufgabe 2.7 Berechne∠(~a,~b), wenn gilt
a) a= 12b,b6= 0und~a•(~a−~b) = 0 b) a= 6,b= 5und~a•(~a−2~b) = 6 c) a= 3b6= 0und(~a−~b)•(~a+ 4~b) = 0 d) b= 2aund~b•(3~a+~b) = 0 Aufgabe 2.8 Berechne die Winkel des Dreiecks ABC
a) A(2| −3),B(8|1)undC(4|5) b) A(6| −3|4),B(2|9| −5)undC(−4|22| −18)
Aufgabe 2.9 Bestimmez so, dass die Vektoren~a =
1 0 z
und~b =
1 0 1
einen Winkel von 60 Grad einschliessen.
2.2 Senkrechte – das Vektorprodukt
Das Skalarprodukt zeigt uns, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind. Oft werden wir allerdings das Problem haben, dass wir zu gegebenen Vektoren einen dazu Senkrechten Vektor finden müssen. In der Ebene lässt sich dieses Problem ganz einfach lösen.
Satz 2.4 Auf~a= a1
a2
steht~n= a2
−a1
senkrecht.
Beweis:Rechne in Koordinaten nach 2
Natürlich stehen auch alle Vielfachen von~nauf~asenkrecht.
Im Raume bilden wir für dieses Problem das Vektorprodukt.
Definition 2.2 DasVektorproduktvon~a=
a1 a2 a3
und~b=
b1 b2 b3
lautet
~a×~b=
a2b3−a3b2 a3b1−a1b3
a1b2−a2b1
Satz 2.5 Das Vektorprodukt hat die folgenden Eigenschaften 1. ~a×~bsteht senkrecht auf~aund~b.
2. ~a×~b=−~b×~a. (Das Kommutativgesetz gilt also nicht.) 3.
~a×~b
=absin
∠
~a,~b .
Beweis:Die ersten beiden Punkte erschliessen sich einfach durch Nachrechnen in Koordi- naten (und beim ersten Verwendung des Skalarproduktes), der letzte Punkt ist etwas kom-
plizierter und wird hier nicht bewiesen. 2.
Mit Hilfe des Vektorproduktes können wir also im Raume zu zwei gegebenen Vektoren einen senkrechten finden und prüfen, ob zwei Vektoren parallel sind. (dann ist das Vektor- produkt Null wegen der zweiten Eigenschaft.)
Oft wird das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt genannt. Mit dem Taschenrechner lässt sich das Vektorprodukt komfortabel mitcrossPbestimmen.
Aufgabe 2.10 [DA] Bestimme zu jeder Seitenfläche einen Vektor, der senkrecht auf der Sei- tenfläche steht.
Weiterhin gilt der folgende Satz (ohne Beweis)
Satz 2.6 Das Volumen eines Spats mit den Kanten~a,~bund~cist
~a×~b
•~c
Die Betragsstriche sind nötig, das die Rechnung auch ein negatives Ergebnis geben kann.
Sollte dies passieren, wird das Minuszeichen einfach weggelassen.
Aufgabe 2.11 [DA] Bestimme das Volumen des Spats.
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Geraden
Im letzten Kapitel habt ihr gelernt, wie sich Vektoren in der Geometrie anwenden lassen. Ihr könnt Punkte errechnen und vor allem Längen und Winkel bestimmen.
In diesem Kapitel wird dieses Wissen auf Geraden angewendet. Bisher kennt ihr die Gera- dengleichung
y=mx+q.
Dabei legtm die Steigung der Geraden fest undq sagt aus, wo die Gerade diey −Achse schneidet. Alle Punkte(x|y), die die Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden. Diese Form der Gleichung heisst „Koordinatenform“.
Ihr werdet nun eine weitere Beschreibung kennenlernen: Gegeben wird ein (Stütz-)Punkt und ein Vektor, der eine Richtung anzeigt. Auf der Geraden liegen dann alle Punkte, die vom Stützpunkt aus in der angegebenen Richtung liegen. Diese Beschreibung hat den Vorteil, dass sie auch im Raume anwendbar ist.
Die Angaben „ Punkt“ und „Richtung“ werden in einer Gleichung, der „Parameterform“
zusammengefasst. Diese Gleichung erlaubt es dann, Schnittpunkte von Geraden zu berech- nen und Schnittwinkel zu bestimmen. Dieser Abschnitt ist der Kern des Kapitels „Geraden“.
Schliesslich wird noch auf den Zusammenhang zwischen Koordinatenform und Parameter- form der Geradengleichung eingegangen. Dabei kommen Vektoren, die senkrecht auf der Geraden stehen, ins Spiel.
3.1 Lineare Funktionen und Geraden – die Koordinatenform
Im Kapitel Lineare Funktionen in der Algebra habt ihr gelernt, dass die Graphen linearer Funktionen Geraden sind. Hier ist weniger der Funktionsaspekt als vielmehr die Beschrei- bung der ganzen Geraden wichtig.
21
Eine Gerade lässt sich darstellen in der Formy = mx+q.
Dabei istmdie Steigung undqdery-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit dery-Achse.
Die Steigung errechnet sich mit einem Steigungsdreieck zu m = ∆y
∆x = y2−y1
x2−x1. Dabei sind(x1|y1)und (x2|y2)Punk- te auf der Geraden. Wichtig ist, dass sich unabhängig von der Wahl des Steigungsdreiecks die gleiche Steigung ergibt.
Der Steigungswinkel ist gegeben durchtanα=m. Verläuft die Gerade von links oben nach rechts unten, so istmnega- tiv.
(x1|y1) (x2|y2)
∆x
∆y
x y
q
Beispiel 3.1 Die durchA(2|1)undB(4|5)verlaufende Gerade lautety= 2x−3.
2
Aufgabe 3.1 Bestimme die Geradengleichung. Die Gerade geht a) durchA(−2|1)undB(5|3)
b) durchA(4|7)und hat die Steigungm= 3
c) durchA(5| −2)und schneidet diey-Achse beiy = 4 d) durchA(8| −5)und ist parallel zurx-Achse
e) durchA(−3|2)undB(−3|5)
Die Beschreibung der letzten Gerade gelingt nicht auf Anhieb. Die Steigung ist unendlich.
Es handelt sich nicht um eine Funktion. Es bietet sich zur Beschreibung eine Analogie zur vorletzten Aufgabe an. Statty=−5erhalten wirx=−3.
Wir modifizieren nun etwas die Darstellung von Geraden, um auch Senkrechte beschreiben zu können.
Definition 3.1 Die Darstellungenax+by =cundax+by−c = 0heissenKoordinatenform der Geradengleichung.
Beispiel 3.2 Aus der Funktionsgleichungy= 3x−5wird die Koordinatenform3x−y−5 = 0. Wahlweise können wir auch3x−y= 5schreiben.
2 Beispiel 3.3 Aus der Funktionsgleichungy=−65x+ 4wird die Koordinatenform−65x−y+ 4 = 0. Durch Multiplikation mit -5 können wir sogar den Bruch wegbekommen:6x+ 5y− 20 = 0. Die Freunde der Zahl 42 könnten auch schreiben42x+ 35y−140 = 0. Es gibt viele Koordinatenformen.
2 Beispiel 3.4 y=−5kann so bleiben oder auch alsy+ 5 = 0geschrieben werden.
2 Beispiel 3.5 Eine Senkrechte kann nicht als Funktion aufgefasst werden, es gibt nur die Koordinatenform, z. B.x+ 3 = 0. Wir können jetzt also mehr als vorher.
2 Aufgabe 3.2 Sind die Geradeng: 3x−4y+ 5 = 0undh:y = 34x−4parallel?
Aufgabe 3.3 LiegenP(3|4)undQ(22|15)auf der Geraden, die durchA(−3|0)und die Stei- gungm= 23 bestimmt ist?
Aufgabe 3.4 Bestimme die Koordinatengleichung der Geraden, die durch P(4| − 5) geht und parallel ist zur Geraden5x−2y+ 4 = 0. (Tipp: Berechne die Steigung.)
3.2 Die Parameterform – Geraden und ihre Richtungsvekoren
Aufgabe 3.5 Gegeben ist die Geradeg:y= 12x+ 1.
a) Finde vier PunkteA,B,CundD, die auf der Geradeny= 12x+ 1liegen. (Alle Punkte (x|y), die die Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden.)
b) Bestimme−−→AB,−→AC,−−→AD,−−→BC,−−→BD.
c) Was fällt auf?
Auffallen sollte, dass alle Vektoren, die zwei Punkte der Geraden verbinden, kollinear sind.
Solche Vektoren, die ganz auf der Geraden verlaufen, nennen wirRichtungsvektorender Geraden.
Hier ist P ein Punkt auf der Ge- raden, ~u ein Richtungsvektor. Der Vektor vom Koordinatenursprung O nach P wird mit ~p bezeichnet.
Die 5 unteren Vektoren zeigen alle auf Punkte auf der Geraden, sind also Ortsvektoren zu Punkten auf der Geraden. Alle diese Vektoren sind von der Form~p+t·~u, wobeit irgendeine reelle Zahl ist. (Sie kann also auch 0 sein, dann ergibt sichp)~
P
O
~u
~
p−~u ~p
~ p+~u
~ p+ 2~u
~ p+ 4~u
Definition 3.2 DieParameterformeiner Geraden lautetg:~x=~p+t·~u.
Dabei bezeichnet g die Gerade,~xeinen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden, ~pden ausge- wähltenStützpunktund~ueinenRichtungsvektor.
Weiter istt∈Rein Parameter. Durchläuft er die reellen Zahlen, so ergeben sich nach und nach alle Ortsvektoren der Geraden.
Beispiel 3.6 Punkte auf der Geradeng:~x= 1
2
+t 3
4
sind zum BeispielA(−2| −2), B(1|2),C(4|6),D(7|10)undE(8.5|12)
2
Aufgabe 3.6 Finde jeweils den Wert fürt, der zu den PunktenAbisEführt.
Bemerkungen
1. Die Parameterform beschreibt auch Geraden im Raume. Die Koordinatenform be- schreibt Geraden nur in der Ebene.
2. Sindp~und ~qOrtsvekoren zu Punkten auf der Geraden, so
ist~u=~p−~qein Richtungsvektor. ~q
~ p
~u 3. Es spielt keine Rolle, welcher Ortsvektor zur Geraden als Stützvektor genommen wird
oder wie lang der Richtungsvektor ist.
4. Eine Parametergleichung ist eine Vektorgleichung. Sie besteht aus mehreren Gleichun- gen
~x=
x1 x2 x3
=
3 4 5
+t
1 2 6
−→
x1 = 3 + 1t x2 = 4 + 2t x3 = 5 + 6t
Aufgabe 3.7 Finde jeweils drei Punkte auf den Geraden und zeichne die beiden Geraden.
g:~x= 3
1
+t 1
2
undh:~x= 4
2
+t 2
−1
(Verschiedene Punkte ergeben sich durch verschiedene Wahl des Parameters.)
Aufgabe 3.8 Gib zwei Parameterdarstellungen der Geraden durch die beiden Punkte an.
A(1|2)undB(7| −4)
Aufgabe 3.9 [DA] Bestimme die Gleichungen der Geraden, auf denen die Raumdiagonalen liegen. (Zwei reichen.)
Aufgabe 3.10 [DA] Bestimme die Gleichungen der Geraden, auf denen die Seitendiagona- len liegen. (Zwei reichen).
Aufgabe 3.11 Liegen die Punkte auf den Geraden?
a) A(2|5)undg:~x= 2
−1
+t 7
3
. (Setze die Koordinaten vonAin~xein. Das gibt zwei Gleichungen in einer Unbekannten. Haben beide Gleichungen die gleiche Lösung?)
b) A(−7| −5|8)undg:~x=
3
−1 2
+t
5 2
−3
.
c) A(1|0|2),g: ~x=
2 0 1
+t
1 3 1
.
Aufgabe 3.12 Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden.
g:~x= 3
4
+t 1
2
undh:~x= 4
6
+t 2
1
(Setze die Gleichungen gleich. Vorsicht, beim Schnittpunkt müssen die beiden Parameter- werte nicht gleich sein1. Ersetze also in der zweiten Gleichung das t durch eins. Es gibt dann zwei Gleichungen in zwei Unbekannten.)
Aufgabe 3.13 Stellen die beiden Parametergleichungen die gleiche Gerade dar?
~x= 3
4
+t 1
2
und~x= 4
6
+t 2
4
(Zeichne notfalls die Geraden, dann kennst Du das Ergebnis und kannst Dir überlegen, wie es sich ohne Zeichnung überlegen lässt.)
Aufgabe 3.14 Stellen die beiden Parametergleichungen die gleiche Gerade dar?
~x= 3
4
+t 1
2
und~x= 5
6
+t 2
4
3.3 Die Gerade im Raum
In der letzten Aufgabe haben wir gesehen, dass Geraden in der Ebene gleich oder parallel sein können oder sich schneiden können. Im Raume kommt noch die Möglichkeit wind- schiefer Geraden hinzu.
Definition 3.3 Windschiefheissen Geraden, wenn
Aufgabe 3.15 Zeige im Modell gleiche, parallele und schneidende Geraden und überlege Dir, was der Begriff windschief bedeuten könnte. Fülle die Definition aus.
Aufgabe 3.16 Bestimme die gegenseitige Lage der folgenden Geraden. (Beachte: ersetze ein tdurchs, sonst lassen sich die Aufgaben im allgemeinen nicht lösen.)
1Eine häufige Fehlerquelle in Klausuren
a) g: ~x=
−2 1 3
+t
−0.6
−1 0.2
undh:~x=
1 6 2
+t
3 5
−1
.
b) g: ~x=
0 0 1
+t
3 2 3
undh:~x=
−2
−2 5
+t
4 3 1
.
c) g: ~x=
7
−3 0
+t
0 6
−1
undh:~x=
5 2 3
+t
0
−3 0.6
.
d) g: ~x=
−3 6 0
+t
−1 2 1
undh:~x=
4 0
−3
+t
1 0 0
.
e) g: ~x=
4
−5 0
+t
5
−4 0
undh:~x=
1 7 2
+t
−4 5 0
.
3.4 Schnittwinkel
Aus der Zeichnung geht hervor, dass sich der Schnitt- winkel zweier Geraden aus dem Schnittwinkel der Rich- tungsvektoren ergibt. Dabei kommen zwei Winkel in Fra- ge. Als Schnittwinkel nehmen wir den spitzen Winkel, in der Zeichnung ist dies α, obwohl β der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist. Es giltα= 180◦−β.
g h
~u ~v
α β
Satz 3.1 Der Winkel zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren ~u und~v ergibt sich aus der Formel
γ = cos−1
~u•~v uv
. Von den beiden Kandidatenγund180◦−γist der Winkel derjenige, der kleiner als90◦ist.
Diese Art, den Winkel festzustellen, gilt auch für windschiefe Geraden.
Aufgabe 3.17 Bestimme die Winkel zwischen den Geraden in Aufgabe 3.16 Aufgabe 3.18 [DA] Bestimme die Schnittwinkel der Seitendiagonalen.
3.5 Vergleich von Parameterform und Koordinatenform – Norma- lenvektoren
Da die Koordinatenform der Geradengleichung nur in der Ebene zu bilden ist, beschränken wir uns hier auf die Ebene.
Definition 3.4 Ein Normalenvektor~nzum Vektor~uist ein Vektor, der auf~usenkrecht steht. Ein Normalenvektor zu einer Geraden ist zum Richtungsvektor senkrecht.
Bemerkung:Es gilt dann:~n•~u= 0.
Beispiel 3.7 Ein Normalenvektor zug: ~x= 3
4
+t 1
2
ist~n= 2
−1
2 Wir multiplizieren nun diese Gerade mit dem Normalenvektor. Allgemein gibt das die Glei- chung~n•~x=
vvn(~p+t~u)
Die rechte Seite ergibt bei uns:
2
−1
• 3
4
+t 1
2
= 2
−1
• 3
4
+t· 2
−1
• 1
2
= 6−4 +t·0 = 2 Da es sich um einen Normalenvektor handelt, gab das zweite Produkt Null, also fällt dast weg.
Nun wird die linke Seite berechnet:
2
−1
•~x= 2
−1
• x
y
= 2x−y Durch Gleichsetzen ergibt sich
2x−y = 2
also die Koordinatenform der Geradengleichung.
Satz 3.2 Durch Multiplikation mit einem Normalenvektor ergibt sich aus der Parameterform die Koordinatenform.
In der Koordinatenformax+by=cist~n= a
b
ein Normalenvektor der Geraden.
Beispiel 3.8 Hätten wir im letzten Beispiel als Normalenvektor~n2 = −4
2
genommen, so hätte sich die Parameterform−4x+ 2y=−4ergeben.
2 Aufgabe 3.19 Finde Koordinatenformen zu den Geraden aus Aufgabe 3.12, 3.13 und 3.14.
Aufgabe 3.20 Finde Parameterformen zu den Geraden a) 2x+4y=7 b) 3x-4y=5 c) 3x-4=0
(Tipp: Aus dem letzten Satz kennen wir den Normalenvektor, der Richtungsvektor ist senk- recht dazu. Wir brauchen dann noch einen Punkt auf der Geraden, dazu reicht es,einen Punkt(x|y)zu finden, der die Geradengleichung erfüllt.)
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Ebenen
Eine Ebene ist etwas Zweidimensionales. Dies ist die Idee, die dazu führt, eine Parameter- form einer Ebenengleichung mit zwei Richtungsvektoren zu definieren.
Definition 4.1 DieParameterformeiner Ebene lautetE :~x=~p+t·~u+s~v.
Dabei bezeichnetEdie Ebene,~xeinen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene,~pden ausgewählten Stützpunktund~uund~vRichtungsvektoren.
Weiter sindsundt ∈ RParameter. Durchlaufen sie die reellen Zahlen, so ergeben sich nach und nach alle Ortsvektoren der Geraden.
O
E
~u
~v
~ p
r~u+s~v
Beispiel 4.1 Betrachtet wird die EbeneE : ~x =
3 1 2
+t
1 1 0
+s
1 2 3
. Es werden die Punkte auf der Ebene für verschiedene Parameterwerte ausgerechnet.
t -2 -1 0 1 2
s 1 2 3 -1 -2
~x
2 1 5
4 4 8
6 7 11
3 0
−1
3
−1 4
2 29
Aufgabe 4.1 Liegt der Punkt auf der Ebene? (Tipp: es gibt jeweils 3 Gleichungen mit 2 Un- bekannten. Löse.)
a) A(4|5|6)und E : ~x=
1 2 1
+t
1 1 1
+s
1 1 2
b) A(1|5|3)undE : ~x=
1 2 2
+t
1 3 0
+s
2 0 4
Um aus drei gegebenen Punkten eine Parameterform zu finden, müssen zwei verschiede- ne Verbindungsvektoren der Punkte gebildet werden. Das gibt~uund~v. Ein Ortsvektor zu einem beliebigen der drei Punkte wird dann der Stützvektor.
Aufgabe 4.2 [DA] Bestimme die Gleichungen der Ebenen, auf denen die Seitenflächen lie- gen. ( Es reicht bei diesem und den folgenden Teilen von [DA], wenn nur die Ebenen, dieA enthalten, betrachtet werden.)
Aufgabe 4.3 [DA] Bestimme die Gleichungen der Ebene durchA, in der zwei Raumdiago- nale liegen.
Aufgabe 4.4 Der PunktP(4| −1| −1)und die Geradeg: ~x=
0
−6 2
+t
1 5 3
liegen in der Ebene. Bestimme die Parameterform.
Aufgabe 4.5 Die PunkteA(6|0|1)undB(−1|−2|2)liegen in der Ebene. Dazu ist diez-Achse parallel zur Ebene. Bestimme die Parameterform.
4.1 Schnittprobleme
4.1.1 Schnitt von Gerade und Ebene
Eine Geradengleichung enthält einen Parameter, eine Ebenengleichung deren zwei. Wird beides gleichgesetzt, so ergibt sich eine Vektorgleichung in drei Unbekannten1Diese Vek- torgleichung entspricht drei normalen Gleichungen.
Drei Gleichungen in drei Unbekannten, das lässt sich lösen.
Aufgabe 4.6 Bestimme den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
a) g: ~x=
0 11
−3
+t
0 7
−2
undE : ~x=
2 1 7
+t
1 0 4
+s
2
−1 8
1Hier werden die Parameter zu den Lösungsvariablen.
b) g: ~x=
1
−2
−3
+t
3
−4 7
undE : ~x=
−1
−3 0
+t
−1 1 4
+s
1 2 1
c) g: ~x=
−3 5 8
+t
7 8
−2
undE : ~x=
1 1 0
+t
1 2 1
+s
3 4 0
Die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen sind die sogenanntenSpurpunkte Aufgabe 4.7 [DA] Bestimme die Spurpunkte der Ebenen aus Aufgabe 4.2 und 4.3 (Für eine Parametergleichung musst Du Dir einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor suchen.
Das ist für die Koordinatenachsen eigentlich einfach.)
Zeichne die Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Das entstehende Dreieck veranschaulicht die Lage der Ebene im Raum.
Aufgabe 4.8 [DA] Bestimme die Durchstosspunkte der Raumdiagonalen und Seitendiago- nalen durch die Koordinatenebenen.
4.1.2 Schnitt zweier Ebenen
Werden zwei Ebenen geschnitten, so ergibt sich eine Gerade. (Veranschauliche Dir das mit zwei Heften oder ähnlichem.)
Mit den vier Parametern haben wir beim Gleichsetzen zweier Parametergleichungen 3 Glei- chungen mit 4 Unbekannten. Beim Lösen bleibt ein Parameter übrig. Das wird der Parame- ter der Geradengleichung.
Beispiel 4.2 Wir schneiden die Ebenen E : ~x=
−1 5 2
+t
1 1 2
+s
−2 1 3
undE : ~x=
1 3 2
+t
1
−2 0
+s
3 1 4
. Es ergibt sich das Gleichungssystem2
−1 +r−2s = 1 +a+ 3b 5 +r+s = 3−2a+b 2 + 2r+ 3s = 2 + 4b
Wir lösen das System nachr,sundaauf mit dem TI89: solve(...,{r,s,a}) und erhaltenr= 11b5+2 unds= −2(15b+2) unda= −8(15b+2).
2in der zweiten Ebene benennen wir die Parameter inaundbum.
Nun müssen wir uns erinnern, dass wir ja einen Parameter brauchten. Wir setzen fürain die zweite Ebenengleichung ein3.
1 3 2
+−8(b+ 2) 15
1
−2 0
+b
3 1 4
=
37b 15 −151
31b 15 +7715
4b+ 2
Für diese Rechnung war der TI89 wieder hilfreich. Wir führen nun zur besseren Übersicht- lichkeit den Parametert= 15b ein und erhalten die Gerade:g: ~x=
−1/15 77/15
2
+t
37 31 60
2 Aufgabe 4.9 Bestimme die Schnittgerade der Ebenen durch die folgenden Punkte:
E1 :A(1|2|3), B(2|4|0), C(1|2|4)undE2:D(0| −3|2), E(2|4|1), F(3|2|0).
Einfacher wird es, wenn Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen ermittelt werden müs- sen. Diese heissen Spurgeraden.
Aufgabe 4.10 [DA] Bestimme die Gleichungen der Schnittgeraden der Koordinatenebenen mit der Grundebene(ABCD)
Aufgabe 4.11 [DA] Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden der Seitenflächen.
4.2 Abstandsprobleme
4.2.1 Punkt und Ebene
Es soll der Abstand eines PunktesP von einer Ebene E berechnet werden. Dazu müssen wir senkrecht vom Punkt zur Ebene laufen.
Um die Senkrechte zu finden, bilden wir das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Dies gibt uns den Richtungsvektor einer Geraden durchP, senkrecht zuE.
Wir berechnen den DurchstosspunktQ. Die Länge des VektorsQP ist unser gesuchter Punkt.
Schreibe zu den folgenden Aufgaben einen ausführlichen Lösungsweg mit Gedankengän- gen auf.
Aufgabe 4.12 [DA] Berechne den Abstand des PunktesF von der GrundebeneABC. Aufgabe 4.13 [DA] Berechne den Abstand des Diagonalenschnittpunktes von ABCDzur oberen EbeneEF G
Aufgabe 4.14 Die PunkteA(12|10|0),B(9|7|12)undC(−2|2|8)sind gegeben.
a) zeige, dass das DreieckABCrechtwinklig-gleichschenklig ist.
b) Berechne die Koordinaten vonDso, dass ein QuadratABCDentsteht.
c) Welche Höhe hat die gerade quadratische PyramideABCDSmit dem VolumenV = 1944?
d) Berechne für diese Pyramide die Koordinaten der SpitzeS(2 Lösungen).
3Ebensogut hätten wir die erste wählen können, wäre aber mehr zu rechnen.
4.2.2 Gerade und Gerade
Aufgabe 4.15 Verstehe den folgenden Text, arbeite mit der Anschauung, mit Zeichnungen, mit Diskussionen mit den NachbarInnen und allem.
Um den Abstand zweier windschiefer Geraden zu berechnen, müssen wir senkrecht von einer Geraden zur anderen laufen. Dazu brauchen wir wieder den Normalenvektor der bei- den Richtungsvektoren.~n=~u×~v.
Gleichsetzen ergibt die Gleichung
~
p+r~u+s~n=~q+t~v
Diese lösen wir auf. Es ergibt sich eine Zahl für s. Die Länge von s~nist unser gesuchter Abstand.
Aufgabe 4.16 [DA] Berechne den Abstand der Geraden a) a)(AB)und(EH).
b) b)(AB)und(F G).
c) c)(AB)und(BC).
d) d)(AB)und(EF).
Aufgabe 4.17 [DA] Berechne den Abstand der GeradenABvon derx-Achse.
4.2.3 Punkt und Gerade
Aufgabe 4.18 [DA] Berechne den Abstand des PunktesBvon der Geraden a) (CE)
b) (F G).
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Lösungen
A. 1.1:
A. 1.2:
A. 1.4: a)(5|2| −1)b)(5| −2|1)c)(−5| −2| −1)d)(−5| −2|1)e)(−5|2| −1)f)(1|4|5) A. 1.5: a) auf der x-Achse b) in der y-z-Ebene c) Höhe 4 übery-Achse d) auf der Diagonalen in derx−z−Ebene
A. 1.7:
A. 1.9: ~a=
5
−5
−8
,~b=
−9 3 3
,~c=
−4
−2
−5
Abbildung 1: Spat aus Aufgabenteil «DA»
Siehe dazu Abbildung 1 auf Seite 34.
A(0| −9| −4) B(6| −4| −5) C(5|1| −4) E(−4| −8|3) A. 1.10:
D(−1| −4| −3) F(2| −3|2) G(1|2|3) H(−5| −3|4) A. 1.11:
−−→AB=
6 5
−1
−→AG=
1 11
7
−−→BH=
−11 1 9
−−→DG=
2 6 6
A. 1.12:
MAB = (3| −6.5| −4.5) MBC = (5.5| −4.5| −1.5) MCD = (2| −1.5| −3.5) MAD= (−0.5| −6.5| −3.5) MAE = (−2| −8.5| −0.5) MBF = (4| −3.5| −1.5) MCG= (−3| −1.5| −0.5) MDH = (−3| −3.5|0.5) MEF = (−1| −5.5|2.5) MF G= (1.5| −0.5|2.5) MGH = (−2| −0.5|3.5)
MAC =MBD = (2.5| −4| −4) MAF =MBE = (1| −6| −1) MBG=MCF = (3.5| −1| −1) MCH =MDG= (0| −1|0) MAH =MDE = (−2.5| −6|0) MEG=MF H = (−1.5| −3|3) A. 1.13: a)1.6(~b−~c)b)13/3~b−1/3~cc)16/3~b−32/3~c
A. 1.14: d~= 6
2
A. 1.15: nein jaA. 1.16: a)p= 12,q =−32b)x=−5/4q = 56/5 A. 1.17: nein neinA. 1.18: 3 Lösungen(10|9),(−2|1),(6| −7)
A. 1.19:
|AB|=|CD|=|EF|=|HG| = √ 62
|BC|=|AD|=|F G|=|EH| = 3·√ 3
|AE|=|BF|=|CG|=|DH| = √ 66
A. 1.20:
6 1.5
2
A. 1.21:
21
−10.5
−21
A. 1.22: a)21.11b)69.63 A. 1.23: (0| −3|0)A. 1.24: (0| −0|2)A. 1.25: keine Lösung A. 2.1:
∠(−−→
BA,−−→
BC) =∠(ABC) =
−−→BA·−−→
BC
|−−→BA| · |−−→BC| ∠(ABC) = 180◦−∠(BAD)
∠(ABC) =∠(ADC) =∠(EF G) =∠(EHG) ≈ 116.1◦
∠(BAD) =∠(BCD) =∠(F EH) =∠(F GH) ≈ 63.9◦
∠(EAB) =∠(BF E) =∠(HDC) =∠(CGH) ≈ 113.982◦
∠(AEF) =∠(ABF) =∠(DCG) =∠(DHG) ≈ 66.018◦
∠(CBF) =∠(CGF) =∠(DAE) =∠(DHE) ≈ 67.727◦
∠(BF G) =∠(BCG) =∠(AEH) =∠(ADH) ≈ 112.273◦
A. 2.2:
∠(BF A) =∠(EAF)≈55.613◦ ∠(AF G) =∠(DAF)≈112.273◦
∠(AF E) =∠(F AB)≈58.369◦ ∠(GAD) =∠(F GA)≈26.138◦
∠(EAG) =∠(CGA)≈58.188◦ ∠(BAG) =∠(HGA)≈58.369◦
A. 2.4: a) 42 b) 12 c) 0A. 2.5: a) 60 b) 67,98 c) 90
A. 2.6: a) 0 b) 180 c) 120A. 2.7: a) 60 b) 60 c) 123,75 d) 131,81
A. 2.8: a)42.27und78.69und59,04b)4.66und171.59und3.74A. 2.9: √ 3−2 A. 2.10:
~a⊥ {EF GH, ABCD}=−−→AB×−−→AD =
10
−5 35
~b⊥ {ADHE, BCGF}=−−→AD×−→AE =
34
3 19
~c⊥ {ABF E, DCGH}=−−→BA×−−→BF =
−36 38
−26
A. 2.11:
V = (~a×~b)·~c= 200
A. 3.1: a)y = 2/7x+ 11/7b)y= 3x−5c)−6/5x+ 4d)y=−5e)x=−3 A. 3.2: jaA. 3.3: P ja,QneinA. 3.4: 5x−2y−30 = 0
A. 3.5: c) alle kollinear
A. 3.6: a)−1b) 0 c) 1 d) 2 e)2.5
A. 3.7: g:(3|1),(4|3),(5|5)h:(4|2),(6|1),(8|0) A. 3.8:
1 2
+t
6
−6
und 7
−4
+t −1
1
A. 3.9:
d−→AG =
0
−9
−4
+t·
1 11
7
d−−→BH =
6
−4
−5
+t·
−11 1 9
d−CE−→=
5 1
−4
+t·
−9
−9 7
d−DF−→ =
−4
−8 3
+t·
3 1 5
A. 3.10:
d−→AF =
8 1 2
+t·
−2 5 6
d−BE−→=
6
−4
−5
+t·
−10
−4 8
d−BG−→=
6 8 0
+t·
−8
−2 8
d−→CF =
−2 8 0
+t·
8
−2 8
d−CH−→=
−2 8 0
+t·
2
−9 10
d−DG−→=
−1
−4
−3
+t·
2 6 6
d−AH−→=
8 1 2
+t·
−8
−2 8
d−DE−→=
0 1 2
+t·
8
−2 8
d−EG−→=
8
−1 10
+t·
−10 7
−2
d−F H−→=
6 6 8
+t·
−6
−7 2
d−→AC=
8 1 2
+t·
−10 7
−2
d−BD−→=
6 8 0
+t·
−6
−7 2
A. 3.11: nein ja neinA. 3.12: (4|6) A. 3.13: jaA. 3.14: nein
A. 3.15: sie sich nicht schneiden und nicht parallel sind
A. 3.16: a) gleich b) schneidend in(6|4|7)c) windschief d) schneidend in(0|0| −3)e) wind- schief
A. 3.17: a) 0 b) 28.59 c) 1.85 d) 65.91 e) 90 A. 3.18:
MABCD=−→AC∩−−→AD=A+1 2
−→AC
α=∠(EMABEFF) =
−→AF ·−−→BE
|−→
AF| · |−−→
BE| ∠(EMABEFA) =
−→AF ·−−−→
−BE
|−→
AF| · |−−→
BE| = 180◦−α
∠(EMABEFF) =∠(AMABEFB =∠(DMDCGHC) =∠(HMDCGHG) ≈ 88.049◦
∠(EMABEFA) =∠(F MABEFB=∠(DMDCGHH) =∠(HMDCGHD) ≈ 91.960◦
∠(AMABCDB) =∠(DMABCDC=∠(EMABCDF) =∠(HMABCDG) ≈ 115.468◦
∠(AMABCDD) =∠(BMABCDC=∠(F MABCDG) =∠(EMABCDH) ≈ 64.532◦
∠(BMBCGFC) =∠(F MBCGFG=∠(AMBCGFD) =∠(EMBCGFH) ≈ 63.473◦
∠(BMBCGFF) =∠(CMBCGFG=∠(AMBCGFE) =∠(DMBCGFH) ≈ 116.527◦
