(c) Welche Bogenl¨ange besitzt γ f¨urr=R nach einer Radumdrehung? (Hinweis: Nutzen Sie die Gleichung cosφ = 1−2 sin2 φ2.) M P R r Aufgabe 2

W. Werner und T. Timmermann WS 13/14

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker III Blatt 1

Abgabe bis Montag, 28. Oktober, 10 Uhr

Aufgaben zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Ein Rad mit Radiusr rolle auf derx-Achse in der xy-Ebene, hier- bei bewege sich der Mittelpunkt des Rades mit der konstanten Geschwindigkeit v. Ferner sei P ein fest mit dem Rad verbundener Punkt im AbstandR vonM, wobei 0 ≤ R ≤ r. Die Punkte P und M befinden sich zur Zeit t = 0 auf der y-Achse und P liege unterhalb vonM.

(a) Beschreiben Sie die Bahn γ von P als Funktion der Zeit t.

(b) Bestimmen Sie max_tkγ⁰(t)k und min_tkγ⁰(t)k.

(c) Welche Bogenl¨ange besitzt γ f¨urr=R nach einer Radumdrehung?

(Hinweis: Nutzen Sie die Gleichung cosφ = 1−2 sin^{2 φ}₂.)

M P R

r

Aufgabe 2. Sei γ: [a, b]→R² eine stetig differenzierbare Kurve in der oberen Halbebene.

(a) Stellen Sie eine Formel f¨ur den Fl¨acheninhalt der Rotationsfl¨ache auf, die man erh¨alt, wenn manγ um die x-Achse dreht. Approximieren Sie dazuγ durch Kantenz¨uge entlang vonγ(a), γ(t₁), . . . , γ(t_n), γ(b) f¨ur immer feinere Zerlegungen a < t₁ < · · · < t_n < b und die Rotationsfl¨ache durch Man- telfl¨achen von Kegelst¨umpfen. (Hinweis: Die Mantelfl¨ache eines Kegels- tumpfes mit Maßen m, r, R wie unten ist gegeben durch π(R+r)m.)

m r

R

γ(a)

γ(b)

1

(b) Beweisen Sie die erste Guldinsche Regel: Der Fl¨acheninhalt aus (a) ist gleich dem Produkt der Bogenl¨ange von γ mit dem Umfang des Kreises, der vom Schwerpunkt von γ bei der Drehung beschrieben wird.

(c) Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt und den Schwerpunkt f¨ur den Halbkreis γ: [0, π]→R²,t 7→(cos(t),sin(t)).

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 3. (a) Sei γ: [a, b]→R² gegeben durch

γ(t) =

r(t) cosω(t) r(t) sinω(t)

mit stetig differenzierbaren Polarkoordinaten r, ω: [a, b] → R. Zeigen Sie, dass die Bogenl¨ange `(t) von γ dann gegeben ist durch

`(t₀) = Z t0

a

pr⁰(t)²+r(t)²ω⁰(t)²dt.

(b) Die logarithmische und diearchimedische Spirale sind gegeben durch

γ_L: [0,∞)→R², t7→

e^αtcost e^αtsint

, γ_A: [0,∞)→R², t7→

tcost tsint

,

wobei α >0. Bestimmen Sie die Bogenl¨ange `(t) f¨urγ_L und die Funktion

`(sinhx) in Abh¨angigkeit von x∈[0,∞) f¨urγ_A.

Aufgabe 4. (a) Sei γ: R→Rⁿ zweimal differenzierbar und nach Bogenl¨ange parametrisiert. Zeigen Sie: F¨ur alle γ ∈Rgilt hγ⁰⁰(t), γ⁰(t)i= 0. (Hinweis:

Berechnen Sie _dt^dkγ⁰k².)

(b) Die Kurve γ: R → R² beschreibe die Bewegung eines Teilchens mit kon- stanter Geschwindigkeit v entlang eines Kreises vom Radius r um 0 ∈R². Man zeige, dass f¨ur die Beschleunigung γ⁰⁰ gilt: γ⁰⁰(t) = −^v_r²2γ(t) f¨ur alle t∈R.

Aufgabe 5. Gegeben sei ein Gravitationsfeld F(x, y, z) = (0, 0, −mg) mit m, g > 0. Berechnen Sie die an diesem Kraftfeld entlang folgender Kurven γ₁, γ₂: [0,1]→R³ geleistete Arbeit:

γ₁(t) =





1−cosπt sinπt h(1−t)



, γ₂(t) =



 2t

0 h(1−t²)



, wobei h >0.

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