Zeige, dass es ein Unit¨ares u∈ On gibt, das φ(si

J. Cuntz und T. Timmermann SS 14 Ubung zur K-Theorie¨

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Aufgabe 1. (Cuntz-Algebren) Sei n≥2 und

O_n =C^∗ s₁, . . . , s_n|s^∗₁s₁ =· · ·=s^∗_ns_n= 1 =X

i

s_is^∗_i

die zugeh¨orige Cuntz-Algebra, also die universelleC^∗-Algebra mit nIsometrien, deren Bildprojektionen paarweise orthogonal mit Summe 1 sind. Man kann zeigen, dass diese Algebra einfach ist in dem Sinne, dass sie keine nichttrivialen Quotienten besitzt.

(a) Finde eine Darstellung von O_n aufl²(N).

(b) Seiφ: O_n→ O_nein unitaler∗-Endomorphismus. Zeige, dass es ein Unit¨ares u∈ O_n gibt, das φ(s_i) = us_i f¨ur i = 1, . . . , n erf¨ullt. (Hinweis: Wie kann man u aus den Bildern vonφ(s_i) rekonstruieren?)

(c) Zeige, dass die Abbildung λ: O_n → O_n, x 7→ P

js_jxs^∗_j, ein unitaler ∗- Endomorphismus vonOn ist und K0(λ)(g) = ng f¨ur alleg ∈K0(On) gilt.

(d) Finde ein Unit¨ares u ∈ On, das λ(si) =usi f¨ur i = 1, . . . , n erf¨ullt. Zeige, dass u=u^∗ und dass u homotop zu 1 inO_n ist.

(e) Zeige, dass f¨ur jedes g ∈ K₀(O_n) gilt, dass (n − 1)g = 0, und folgere K₀(O₂) = 0.

Ubrigens wird¨ K₀(O_n) von [1] erzeugt und ist somit isomorph zu Z/(n−1)Z. Aufgabe 2. (Echt unendliche C^∗-Algebren) Sei A eine C^∗-Algebra. Eine Pro-

jektion p ∈ A mit p 6= 0 heißt echt unendlich (properly infinite), wenn es zwei orthogonale Projektionene, f inA mit e, f ≤pund e∼p∼f gibt. Man nennt A echt unendlich, falls A unital und 1_A echt unendlich ist.

(a) Finde Beispiele und Gegenbeispiele echt unendlicher C^∗-Algebren.

Sei A nun echt unendlich.

(b) Zeige, dass Azwei Isometriens₁, s₂ mit orthogonalen Bildprojektionen be- sitzt.

(c) Zeige, dass es in Aeine Folge (t_n)_n von Isometrien mit paarweise orthogo- nalen Bildprojektionen gibt.

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(d) Zeige, dass f¨ur jedes n einen ∗-Homomorphismus O_n → A gibt, der nicht Null ist.

(e) Konstruiere f¨ur jedes n ∈ N eine Isometrie vn ∈ Mn(A) mit vnv_n^∗ = diag(f,0, . . . ,0) f¨ur eine Projektion f ∈A.

(f) Schlussfolgere, dass f¨ur jede Projektion p ∈ M_n(A) eine Projektion q ∈ A existiert mit p∼q inM∞(A).

(g) Seien p, q ∈AProjektionen undr =t₁pt^∗₁+t₂(1−q)t^∗₂+t₃(1−t₁t^∗₁−t₂t^∗₂)t^∗₃. Zeige, dass r eine Projektion ist und [r] = [p]−[q] in K₀(A) gilt.

(h) Schlussfolgere, dass K0(A) = {[p] :p∈A Projektion} gilt.

Aufgabe 3. Sei A eine C^∗-Algebra, Pm(A) die Projektionen in Mm(A) und P∞(A) =S

mP_m(A). F¨urp∈ P_m(A), q∈ P_n(A) definieren wir p-q :⇔ ∃q₀ ∈ P_n(A) :p∼q₀ ≤q.

(a) Zeige, dass p - q genau dann, wenn q ∼ p⊕p₀ f¨ur eine Projektion p₀ ∈ P∞(A).

(b) Zeige, dass-transitiv und in geeigneter Weise vertr¨aglich mit der Addition ist.

(c) Zeige, dass eine Projektionp∈ P∞(A) mitp6= 0 genau dann echt unendlich ist, wennp⊕p-p.

(d) Seien p, q Projektionen in A, gelte p - q - p und sei p rein unendlich.

Zeige, dass dann auch q rein unendlich ist.

(e) Finde Projektionenp, q ∈ O_nf¨urn >2 mitp-q -pundp6∼q. Verwende dazu (ohne Beweis) die Bemerkung zu K₀(O_n) am Ende der Aufgabe 1.

Aufgabe 4. (Volle Projektionen) Sei A eine unitale C^∗-Algebra. Ein Element a∈A heißt voll, fallsAaA⊆A linear dicht ist.

(a) Zeige, dass a ∈ A genau dann voll ist, wenn es ein n ∈ N und Elemente xi, yi ∈A mit 1A =Pn

i=1xiayi gibt. (Hinweis: Ist AaA linear dicht in A, so enth¨alt es invertierbare Elemente.)

(b) Seien a ∈ A⁺ und x, y ∈ A. Zeige, dass xay + y^∗ax^∗ ≤ xax^∗ +y^∗ay.

(Hinweis: Geschickt eine binomische Formel in A anwenden.)

(c) Sei a ∈A⁺, a≥1_A und q∈ A eine Projektion. Zeige, dass dann rar^∗ =q f¨ur ein r∈A.

(d) Schlussfolgere, dass f¨ur jedes volle Element a ∈ A⁺ und jede Projektion q∈A ein n ∈N und x_i ∈A mit q=Pn

i=1x_iax^∗_i existieren.

(e) Seien p, q ∈A Projektionen undp voll. Zeige, dass dannq -p⊕ · · · ⊕p= p^⊕n f¨ur ein n∈N.

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(f) Sei p ∈ A eine volle, echt unendliche Projektion. Zeige, dass dann A echt unendlich ist.

Aufgabe 5. (Volle, echt unendliche Projektionen) SeiAeine unitaleC^∗-Algebra.

Wir nennen eine Projektionp∈ P_n(A)⊆ P∞(A) voll, wenn pvoll in M_n(A) ist.

Sei e∈ P∞(A) voll und echt unendlich.

(a) Zeige, dass q - e f¨ur jedes q ∈ P_∞(A). (Hinweis: Betrachte zun¨achst den Spezialfall q= 1_n ∈M_n(A).)

(b) Seien p, q ∈ P∞(A) und [p] = [q] in K₀(A). Zeige, dass dannp⊕e∼q⊕e.

(c) Sei auch f ∈ P_∞(A) voll und echt unendlich. Zeige, dass aus [e] = [f] in K₀(A) folgt, dass e∼f.

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