Vertretungsstunde Mathematik 22 - 9. Klasse: Satzgruppe des Pythagoras

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Marco Bettner/Erik Dinges

Vertretungsstunden Mathematik 22

9. Klasse: Satzgruppe des Pythagoras

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Marco Bettner/Erik Dinges

Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse

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VORSC

HAU

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Satz des Pythagoras entdecken 1

Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Vergleiche die Größe der beiden Quadrate über den Katheten (Nachbarseiten des rechten Winkels) mit dem Quadrat über

der Hypothenuse (Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

a) Was fällt dir auf?

b) Notiere eine passende Formel zu deiner Beobachtung.

Kathete a

Hypothenuse c

Kathete b

eine Beobacht

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HAU

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1. Notiere die Namen der entsprechenden Kathete bzw. Hypotenuse.

a) b)

Katheten: Katheten:

Hypotenuse: Hypotenuse:

2. Notiere den Satz des Pythagoras entsprechend der Seitenbezeichnungen der rechtwinkligen Dreiecke.

a) b) c)

d) e) f )

3. Wie geht der Satz weiter? Kreuze an.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck …

… sind die beiden Katheten zusammen so groß wie die Hypotenuse.

… sind die beiden Quadrate über den Katheten zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.

… gibt es keine Zusammenhänge zwischen den Katheten und der Hypotenuse.

Satz des Pythagoras entdecken 2

e) d)

r Seite bezeichnu

VORSC

HAU

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s Pythagoras entdecken 1Satz des Pythagoras entdecken 2

Lösungen

Kathete a Hypothenuse c

Kathete b

Formel zu deiner Beobachtung.

adrate über den Katheten sind zusammen so groß adrat über der Hypothenuse. 2 = c2

ythagoras öße der beiden Quadrate über den Katheten en des rechten Winkels) mit dem Quadrat über eite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

1. Notiere die Namen der entsprechenden Kathete bzw. Hypotenuse. a) b) Katheten: Katheten: Hypotenuse: Hypotenuse: 2. Notiere den Satz des Pythagoras entsprechend der Seitenbezeichnungen der rechtwinkligen Dreiecke. a) b) c) d) e) f) 3. Wie geht der Satz weiter? Kreuze an. Bei einem rechtwinkligen Dreieck … … sind die beiden Katheten zusammen so groß wie die Hypotenuse. … sind die beiden Quadrate über den Katheten zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. … gibt es keine Zusammenhänge zwischen den Katheten und der Hypotenuse.

a, b y, z c x c2 = a2 + b2 n2 = o2 + m2 g2 = f2 + b2 a2 = b2 + c2 z2 = w2 + p2 d2 = s2 + t2 ✗

er den Katheten uadrat über gegenüberliegt) 3Wie geht der S Bei eineechtw nd die bei … sind die b Hypoeiden Qua e. es keine Zusam

Kath Hypoten Notiere den Satz e. a2 + b2 n.

z2=+ p

VORSC

HAU

(5)

Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 1

Die fehlende Seitenlänge c soll berechnet werden.

a) Stelle zunächst eine entsprechende Gleichung nach dem Satz des Pythagoras auf. Benutze dabei die gegebenen Seitenlängen und die fehlende Seitenlänge c.

c

4 cm 7 cm

b) Löse die Gleichung nach der Variablen c auf. r Variablen c auf

VORSC

HAU

(6)

Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 2

1. Berechne die fehlenden Seitenlänge.

a) b) c)

d) e) f )

2. Berechne die fehlende Seitenlänge. Achte auf den angegebenen rechten Winkel.

a) a = 10 cm; b = 9 cm; γ = 90°; gesucht: c b) a = 58 cm; b = 42 cm; γ = 90°; gesucht: c c) a = 20 cm; c = 30 cm; γ = 90°; gesucht: b d) b = 10,5 cm; c = 22,3 cm; γ = 90°; gesucht: a e) a = 8 cm; c = 15 cm; β= 90°; gesucht: b f ) b = 6 cm; c = 11 cm; α = 90°; gesucht: a g) a = 30 cm; b = 20 cm; α= 90°; gesucht: c h) a = 100 cm; c = 80 cm; β = 90°; gesucht: b

3. Von Ranstadt nach Nidda sind es 7 km.

Nidda und Echzell sind 3 km voneinander entfernt.

Wie lang ist der abgebildete See?

4. Ein Rechteck ist 6 cm lang.

Die Diagonale ist 8 cm lang.

a) Fertige eine Skizze an und trage die gegebenen Maße ein.

b) Berechne die Breite des Rechtecks.

5. Berechne den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks.

c

5 cm 8 cm 22 dm 14 dm

x

z

147 mm

200 mm

x

478 mm 605 mm

b

7 dm a 5 dm

40 mm

52 mm

Nidda Echzell

Ranstadt Rechtec

e Diagonal tige eine

geg

k ist 6 cm lan e ist 8 c

7 km.

inander e fernt

cm;

1

= 80

cm;γ m;α=

cm;β= 90°

= 90°; gesuch γ = 90°; gesuc γ

; gesucht:

= 11

ht: c a

3. Von Rans Nidda un Wie lang

adt nach

0°; g β= 90°; ges 20 cm α= 90°; ge

ucht: c esucht: b

cht: b h

e auf b) d) b

en angegeb a = 58 c

478 mm

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Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 1Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 2

Lösungen

Die fehlende Seitenlänge c soll berechnet werden. a) Stelle zunächst eine entsprechende Gleichung nach dem Satz des Pythagoras auf. Benutze dabei die gegebenen Seitenlängen und die fehlende Seitenlänge c. c

4 cm7 cm b) Löse die Gleichung nach der Variablen c auf. a) c2 = 42 + 72 b) c2 = 16 + 49 c2 = 65 c ≈ 8,06 cm

1. Berechne die fehlenden Seitenlänge. a) c = 9,43 cm b) x = 26,08 dm c) z = 248,21 mm d) a = 33,23 mm e) b = 4,9 dm f)x = 370,87 mm 2. Berechne die fehlende Seitenlänge. Achte auf den angegebenen rechten Winkel. a) c = 13,45 cm b) c = 71,61 cm c) b = 22,36 cm d) a = 19,67 cm e) b = 17 cm f) a = 12,53 cm g) c = 22,36 cm h) b = 128,06 cm 3. Von Ranstadt nach Nidda sind es 7 km. Nidda und Echzell sind 3 km voneinander entfernt. Wie lang ist der abgebildete See? Der abgebildete See ist ca. 7,62 km lang. 4. Ein Rechteck ist 6 cm lang. Die Diagonale ist 8 cm lang. a) Fertige eine Skizze an und trage die gegebenen Maße ein. b) Berechne die Breite des Rechtecks. Das Rechteck ist 5,29 cm breit. 5. Berechne den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks. Das gleichseitige Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 21,21 cm2. 7 cm

Nidda

Echzell Ranstadt 8 cm 6 cm

hnewerden. chung nach dem enen Seitenläng Da 5.hne den Fläch Das gleichseitiie D Fert di

hnen 1 2. Bere ac = 1 c) b = 22,3 17 cm g) c = 22,36 cm Ranstnach Nidda sin d Echzell sind g ist der abg bildeSee ist ca. 7,6 cm lang. ang. n und trage e ein. s Rechtecks. breit. gleichseitigen Dreiec n Flächeninh

VORSC

HAU

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Höhensatz 1

1. Stelle die bekannte Gleichung für den Höhensatz auf.

h2 =

2. Betrachte die abgebildete Zeichnung und formuliere eine entsprechende Gleichung.

3. Löse die Gleichung nach h auf.

h 58 cm

52 cm 18,5 cm8,5 cm

VORSC

HAU

(9)

Höhensatz 2

1. Berechne die fehlenden Seitenlängen.

a) b) c)

d) e) f )

2. Berechne die fehlenden Seitenlängen.

a) p = 7 cm; q = 9 cm; γ = 90°; gesucht: c, h b) p = 38 cm; q = 20 cm; γ = 90°; gesucht: c, h c) p = 10 cm; h = 30 cm; γ = 90°; gesucht: q, c d) q = 32 mm; h = 40 mm; γ = 90°; gesucht: p, c

3. Die vordere dreieckige Giebelfläche des Hauses soll mit Holz verkleidet werden.

a) Wie viel Quadratmeter Holz werden benötigt (Verschnitt wird nicht berechnet)?

b) Ein Quadratmeter Holz kostet 52 €. Wie viel Euro müssen bezahlt werden, wenn auf den Preis noch 19 % Mehr- wertsteuer aufgeschlagen wird?

4. Ein Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit. Konstruiere ein flächengleiches Quadrat.

Tipp: Der Höhensatz hilft dir bei der Konstruktion.

h

7 cm 3 cm

h

20 cm

8 cm

h 52 mm

140 mm

p 5 cm

8 cm

q 92 cm

40 cm

x 3,5 cm

5,2 cm

4 m 2 m

Ein Quad bezahlt we

rtsteuer a ratm nitt wird nich

ratmeter Hol rden, w

Gie werden.

eter H t bere

he des Hause

mm;

2 = 40

m;γ mm;γγ= 90

°; gesucht

° q =

Die vo

enl

= 90°; gesu 30 cm γγ= 90°; ge

ängen ht: c, h

h

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tz 1Höhensatz 2

Lösungen

te Gleichung für den Höhensatz auf. p · q achte die abgebildete Zeichnung und formuliere eine entsprechende . . h

58 cm 52 cm18,5 cm 2. h2 = 52 · 18,5 h2 = 962 4 = 31,02 cm

1. Berechne die fehlenden Seitenlängen. a) h = 4,58 cm b) h = 12,65 cm c) h = 85,32 mm d) p = 12,8 cm e) q = 211,6 cm f)x = 7,73 cm 2. Berechne die fehlenden Seitenlängen. a) c = 16 cm; h = 7,94 cm b) c = 58 cm; h = 27,57 cm c) q = 90 cm; c = 100 cm d) p = 50 mm; c = 82 mm 3. Die vordere dreieckige Giebelfläche des Hauses soll mit Holz verkleidet werden. a) Wie viel Quadratmeter Holz werden benötigt (Verschnitt wird nicht berechnet)? Es werden 8,49 m2 Holz benötigt. b) Ein Quadratmeter Holz kostet 52 €. Wie viel Euro müssen bezahlt werden, wenn auf den Preis noch 19 % Mehr- wertsteuer augeschlagen wird? Es müssen 525,36 € bezahlt werden. 4. Ein Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit. Konstruiere ein flächengleiches Quadrat. Tipp: Der Höhensatz hilft dir bei der Konstruktion.

4 m2 m

en Höhensatz a ormuere eine 4.Ein

2. Be )c = c)q = 9 3. Die vordere dr it Holz verkl a) Wie vie (V

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