Satz des Pythagoras
Die L¨ angen a = | ~ a|, b = | ~ b| der Ka- theten und die L¨ ange c = | ~ c | der Hy- pothenuse in einem von den Vekto- ren ~ a, ~ b, ~ c , gebildeten rechtwinkligen Dreieck erf¨ ullen
a
2+ b
2= c
2.
F¨ ur die Vektoren ~ a, ~ b gilt entsprechend
~ a ⊥ ~ b = ⇒ | ~ a|
2+ | ~ b|
2= |~ a + ~ b
| {z }
~c
|
2.
Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt, obwohl ihn bereits die Babylonier mehr als 1000 Jahre fr¨ uher kannten.
M¨ oglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat.
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Beweis
(i) Geometrische Argument:
Unterteilung des Quadrats ¨ uber der Hypothenuse in 4 zum Ausgangsdrei- eck kongruente Dreiecke und ein Qua- drat mit Seitenl¨ ange b − a
Fl¨ acheninhalt des Dreiecks: ab/2 Summierung der Fl¨ acheninhalte (4 Dreiecke und ein Quadrat) = ⇒
c
2= 4(ab/2) + (b − a)
2= 2ab + (b
2− 2ab + a
2)
= a
2+ b
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(ii) Vektorkalk¨ ul:
~ c = ~ a + ~ b = ⇒
|~ c|
2= (~ a + ~ b) · (~ a + ~ b)
= ~ a · ~ a + ~ a · ~ b + ~ b · ~ a
| {z }
=0,da~a⊥~b
+ ~ b · ~ b
= | ~ a|
2+ | ~ b|
2Konsistenz zu den Regeln f¨ ur Skalarprodukte
kein Beweis, da der Satz des Pythagoras bei der Berechnung der Vektorl¨ ange,
| ~ u|
2= u
12+ u
22, benutzt wird
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Beispiel
Konstruktion Pythagor¨ aischer Tripel:
`, m, n ∈ N : `
2+ m
2= n
2, d.h. ganzzahlige Seitenl¨ angen f¨ ur rechtwinklige Dreiecke
Anwendung durch die ¨ Agypter: Konstruktion rechter Winkel via Erg¨ anzung ungerader Zahlen ` durch m = (`
2− 1)/2 und n = (`
2+ 1)/2 zu einem Pythagor¨ aischen Tripel:
`
2+ m
2= `
2+ `
4− 2`
2+ 1 4
= `
4+ 2`
2+ 1 4
=
`
2+ 1 2
2= n
2Multiplikation der Tripel mit 2 Tripel f¨ ur jede gerade Zahl ` ≥ 6
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allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen Formel
c
2− b
2= (c − b)(c + b) = a
2ganzzahlige L¨ osung, wenn a
2in zwei unterschiedliche Faktoren zerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen
F¨ ur ungerades a = ` gilt dies f¨ ur die Aufteilung a
2= a
2· 1 mit b = a
2− 1
2 , c = a
2+ 1 2 obiger Spezialfall
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