Repetitionsserie zur Satzgruppe des Pythagoras (smart.uni-bayreuth.de)
1. In einem rechtwinkligen Dreieck (siehe Zeich- nung) gelte
q = 9 cm, b = 15 cm.
Berechne a, c, p und h!
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r
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r
...h
q p
c
b a
L¨ osung: a = 20 cm, c = 25 cm, p = 16 cm, h = 12 cm
2. In der nebenstehenden, nicht maßstabsge- treuen Figur sind bekannt:
h = 6, 0 cm und p = 18, 0 cm.
Berechne q, b, s und r.
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A B
C D
b a
c h
p q
r s
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r r
r
L¨ osung: q = 2, 0 cm; b ≈ 6, 3 cm; s ≈ 2, 1 cm; r ≈ 6, 7 cm
3. Im Dreieck 4OBA mit O (0 0), B (b 0) und A (0 a) ist H (x y) der Fußpunkt der H¨ ohe von O auf AB.
Weitere Bezeichnungen:
h = OH, p = AH, q = HB und c = AB.
Dr¨ ucke c, h, p, q und die Koordinaten von H durch a und b aus. Jeder Ansatz ist durch Nennung des Satzes und des Dreiecks, auf das er sich bezieht, kurz zu begr¨ unden. Vereinfache die Ergebnisse!
Berechne c, h, p, q und die Koordinaten von H f¨ ur a = 3 und b = 4.
A
B H(x | y)
a
b h
x x
y
y p
q
O
L¨ osung: Pythagoras in 4OBA: a 2 + b 2 = c 2 = ⇒ c = √
a 2 + b 2 = 5 Fl¨ ache von 4OBA: 1
2 ab = 1
2 hc = ⇒ h = ab
c = ab
√
a 2 + b 2 = 12 5 = 2,4 Kathetensatz in 4OBA: pc = a 2 = ⇒ p = a 2
c = a 2
√ a 2 + b 2 = 9
5 = 1,8
Kathetensatz in 4OBA: qc = b 2 = ⇒ q = b 2
c = b 2
√ a 2 + b 2 = 16 5 = 3,2 Fl¨ ache von 4OBH: 1
2 by = 1
2 hq = ⇒ y = hq
b = ab 2
a 2 + b 2 = 48
25 = 1,92 Kathetensatz in 4OBH: xb = h 2 = ⇒ x = h 2
b = a 2 b
a 2 + b 2 = 36
25 = 1,44
4. Dem Kreis k(M ; r) ist ein Drachenviereck ABCD einbeschrieben.
Die Diagonale [BD] hat die L¨ ange BD = 3 2 r.
Zeige, daß dann gilt: z = M P = r 4 √ 7 .
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q q
A
B D
C
M P z
r
L¨ osung:
5. In nebenstehendem Dreieck ABC sind gegeben:
H¨ ohe h a = 60 mm;
Seitenhalbierende s a = 65 mm;
Fl¨ acheninhalt F = 2220 mm 2 .
(a) Berechne die Seitenl¨ ange AC des Dreiecks ABC .
(Ergebnis: AC = 12 √
26 mm)
(b) Das Lot von H auf [AC] trifft [AC] im Punkt G. Berechne CG.
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A B
C
H M h a
s a
r
L¨ osung: CG = 13 6 √ 26 mm
6. Wie groß ist die H¨ ohe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Fl¨ acheninhalt 14, 43 m 2 ?
L¨ osung: h ≈ 5, 00 cm
7. Konstruiere eine Strecke der L¨ ange √
40 cm auf zwei verschiedene Arten.
L¨ osung: —
8. Verwandle ein Quadrat der Seitenl¨ ange 7,5 cm in ein inhaltsgleiches Rechteck, dessen eine Seite 5,5 cm lang ist. Erl¨ autere kurz dein Vorgehen!
L¨ osung:
9. Gegeben ist ein Quadrat vom Inhalt A Q = 29 cm 2 .
Verwandle das Quadrat in ein inhaltsgleiches Rechteck vom Umfang U R = 28 cm.
Eine genaue und nachvollziehbare Konstruktion ist verlangt! Keine Konstruktionsbe- schreibung!
L¨ osung: Quadratseitenl¨ ange s q = √
5 2 + 2 2 cm (Hypotenusensatz) s 2 q = p · q mit p + q = 14 cm (H¨ ohensatz)
10. Gegeben ist das Dreieck ABC durch c = 10 cm, b = 9 cm, a = 8, 5 cm. Verwandle das Dreick ABC in ein inhaltsgleiches Quadrat! Die einzelnen Verwandlungsschritte sind dabei stichpunktartig anzugeben!
L¨ osung:
11. Ein Beobachter B befindet sich in der (Augen)h¨ ohe h uber der Erdoberfl¨ ¨ ache. Die Erde wird dabei als ideale Kugel vom Radius R = 6370 km betrachtet.
(a) Zeige anhand nebenstehender Skizze, daß f¨ ur die Sichtweite s bis zum Horizont H des Be- obachters die Beziehung s = » h · (2R + h) gilt.
(b) Wie weit kann man vom Gipfel der Zugspit- ze ins 2500 m tiefer gelegene bayerische Land hinausschauen?
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