Satzgruppe des Pythagoras – Der Höhensatz - LÖSUNG

(1)

09_HoehensatzAufgaben_dien.docx

Satzgruppe des Pythagoras – Der Höhensatz - LÖSUNG

1. ℎ_𝑐² =𝑝 ∙ 𝑞 = 2,5 ∙ 10 = 25 |√

ℎ_𝑐 = 5 2. ℎ_𝑐² =𝑝 ∙ 𝑞 |: 𝑞

→ 𝑝 = ^ℎ^𝑐²

𝑞 = ^{(16𝑐𝑚)²}

4𝑐𝑚 =^{256𝑐𝑚²}

4𝑐𝑚 = 64𝑐𝑚

3. ℎ_𝑐² =𝑝 ∙ 𝑞 Da q doppelt so lang ist wie p gilt: 𝑞 = 2𝑝 (einsetzen in die erste Formel)

→ ℎ_𝑐² =𝑝 ∙2𝑝 = 2𝑝² |: 2 und anschließendes Wurzelziehen ergibt:

𝑝 = √^ℎ^𝑐^²

2 = √^{(6𝑐𝑚)²}

2 = √^36𝑐𝑚²

2 = √18𝑐𝑚² = 4,2𝑐𝑚

4. 𝑝 = 4 ∙ 𝑞; → ℎ² =𝑞 ∙ 4𝑞 = 4𝑞² → ℎ = √4𝑞² = 2𝑞 c = p + q; 𝑐 = 𝑞 + 4𝑞 = 5𝑞

𝐴 = ¹

2∙ ℎ ∙ 𝑐 =¹

2∙ 2𝑞 ∙ 5𝑞 = 5𝑞²

5𝑞² = 45𝑐𝑚² |: 5 𝑢𝑛𝑑 𝑎𝑠𝑐ℎ𝑙𝑖𝑒ß𝑒𝑛𝑑 √

√𝑞² = √9𝑐𝑚² → 𝑞 = 3𝑐𝑚

𝑐 = 5𝑞 = 5 ∙ 3𝑐𝑚 = 15𝑐𝑚; ℎ = 2𝑞 = 2 ∙ 3𝑐𝑚 = 6𝑐𝑚

5. Die Spitzen der Masten befinden sich auf einem Thaleskreis um M, daraus folgt, dass die eingezeichneten Dreiecke (jeweils mit der Oberseite des Decks) rechtwinklig sind:

Für den vorderen Mast gilt deshalb der Höhensatz:

ℎ_𝑉² =4𝑚 ∙ (10𝑚 − 4𝑚) =24𝑚² |√

ℎ_𝑉 = √24𝑚² = 4,9𝑚

Für den hinteren Mast gilt ebenfalls:

ℎ_𝐻² =2𝑚 ∙ (10𝑚 − 2𝑚)= 16𝑚² |√

ℎ_𝐻 = √16𝑚² = 4𝑚