Kontaktmechanik und Reibungsphysik WiSe 2019/20 – UE 12

(1)

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

Prof. Dr. Valentin L. Popov Dr.-Ing. Roman Pohrt

Kontaktmechanik und Reibungsphysik WiSe 2019/20 – UE 12

Thema: Hydrodynamische Schmierung Aufgabe 1: Schmierung eines Lagers

Eine der technisch wichtigsten laminaren Bewegungen einer zähen Flüssigkeit ist die Bewegung eines Schmiermittels zwischen Zapfen und Lager. Im vorliegenden Fall dreht sich eine Welle mit Radius r und Länge l mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω, während der äußere Zylinder vom Radius r + a unbeweglich ist. Bei konzentrischer Bewegung (Fall A) ergibt sich lediglich ein Reibungsmoment an der Welle. Im Fall B liegt die Welle in Bezug auf das Lager exzentrisch, da sie unter Last ist. Es wird angenommen, dass die Flüssigkeit mit der dynamischen Viskosität η inkompressibel ist und den gan- zen Raum zwischen Welle und Zapfen füllt. Ferner sei die Spaltbreite ar, sodass mit genügender Genauigkeit für das im Spalt vorhandene Schmiermittel eine ebene Hagen-Poiseuille- Schichtenströmung vorausgesetzt werden darf. Da die auftretenden Reynoldszahlen gewöhnlich sehr klein sind, dürfen die Trägheitskräfte gegenüber den viskosen Kräften vernachlässigt werden.

a) Bestimmen Sie zunächst die Schichtdicke h als Funktion des Umlaufwinkels φ und anschlie- ßend die Geschwindigkeit des Fluides v_ mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Glei- chungen für eine Strömung nach Hagen-Poiseuille in Abhängigkeit von d

d p

 . ( 14.7 )

b) Der Volumenstrom zwischen Zapfen und Lager soll mit Q:l r ^h⁰₂ bezeichnet werden. Be- rechnen Sie den noch unbekannten Koeffizienten h0 durch Auswertung der periodischen Be- dingung für den Druck p(0) p(2 ) . Diskutieren Sie anhand von dp d im Anschluss daran die Form der Funktion p( ) .

c) Bestimmen Sie die resultierende Kraft aus der Druckverteilung auf den Zapfen.

d) Wie groß ist das Widerstandsmoment an der Welle?

FG Systemdynamik

und Reibungsphysik

(2)

Lösung Aufgabe 1:

a) Aus dem Cosinus-Satz folgt die Beziehung

     

 

2 2 2

2 2

2 cos

cos sin cos .

r a e r h e r h

h e r r a e a e



  

     

        (1)

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist die Strömung überall näherungsweise eben und tangential gerichtet. Für eine laminare Strömung wurde in der Vorlesung das Geschwindigkeitsprofil hergeleitet:

 

^{1 d}

 

⁰

 

^{1 d}

   

^.

2 d 2 d

v

p p r

v z z z h z h z z h z h

x h r h





  

        (2)

b) Der Volumenstrom ergibt sich zu

 

³ ⁰

0

2 0

2 3

d 1 d :

d 12 2 2

d 1

6 .

d

h p h rh h

Q l v z z l l r

r

h

p r

h h

 

 

  

 

     

 

 

    



(3)

Die Auswertung der Periodizität

   

²² ₂ ⁰₃

0

2 0 6 1 h d 0

p p r

h h

        ⁽⁴⁾

liefert dann mithilfe der Integrale

   

 

2 2

2 2 2 2 3

0 0

2 2

3 3 2 2 5

0 0

d d 2

, cos

d d 2

cos

a

h a e a e

a e

h a e a e

 

  



  



 

 

  

 

 

(5)

die gesuchte Länge

2 2

0 2 2 2.

2 a e

h a

a e

 

 (6)

Da h eine gerade Funktion in φ ist, ist die Druckdifferenz p(φ) – p(0) eine ungerade Funktion und damit aus Symmetriegründen p(π) = p(0). Der Druck hat Extremstellen, wenn h₀ h ist, d.h. für

2 2

2 2 2 2

2 cos cos 3 0.

2 2

a e ae

a a e

a ^ e       a e 

  (7)

Dies entspricht genau jeweils einem Extremum an der Unter- und Oberseite. Außerdem ist der Druck- gradient bei φ = 0 positiv. An der Unterseite des Zapfens herrscht daher Überdruck, an der Oberseite Unterdruck.

c) Da die Druckdifferenz eine ungerade Funktion in φ ist, verschwindet die horizontale Komponente der resultierenden Kraft. Für die vertikale Komponente erhält man mit der partiellen Integration

2

 

2

2 0

0 0

sin d cos d cos d

z d

F lr ^ p    lr p  ^ ^ p  



 

     

 

 

⁽⁸⁾

und den Integralen

(3)

   

2 2

2 2 2 2 3

0 0

2 2

3 3 2 2 5

0 0

cos d cos d 2

, cos

cos d cos d 3

cos

e

h a e a e

ea

h a e a e

 

    



    



  

 

  

 

 

(9)

das Ergebnis

3

2 2

12 .

z 2

lr e

F a e a e

 

  (10)

d) Die Tangentialspannungen am Zapfen sind

0 2 0

3

d 1 d 4

d _z d 2 .

h

v p h r

z r h r h h

   

 

 

        

  (11)

Das gesamte Widerstandsmoment ist damit

2

 

2 2

2 3

0 2

0 0 0

2 3 2 2

3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

d d

d 4 3

8 12 1 4 2

2 2 .

MR lr lr h

h h

a lr a e

lr a e a e a e a e a e

       

  



 

     

  

          

  

(12)