Mengenlehre ALGEBRA

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Mengenlehre

ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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Vorname:

17. August 2020

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Inhaltsverzeichnis

1 Mengenlehre 1

1.1 Die Menge im mathematischen Sinne . . . 1

1.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen . . . 4

1.3 Darstellungsformen . . . 5

1.4 Teilmengen . . . 9

1.5 Rechnen mit Mengen . . . 10

1.6 Mengen im Koordinatensystem . . . 16

1.7 Rechnen in Mengen. . . 23

1.8 Die Symmetriegruppe . . . 29

1.9 Meine Zusammenfassung. . . 30

(3)

1 Mengenlehre

Eine zentraler Begriff in der Mathematik ist dieMenge. Aufgrund ihrer grossen Bedeutung werden wir unseren ALGEBRA-Lehrgang mit der Repetition der Mengenlehrebeginnen. Repetition deshalb, weil die Menge sowohl im Lehrplan des Untergymnasiums als auch im Lehrplan der 1. - 2. Sekundarschule vor- kommt. Wir werden die notwendigen Grundlagen kurz und schnell wiederholen.

Da eure Vorkenntnisse je nach vorheriger Schule eine unterschiedliche Tiefe haben wird, ist es von entscheidender Bedeutung, dass wenn etwas zu kurz oder zu schnell geht, ihr euch meldet und nachfragt.

Beachtet bitte:

Wenn keine Fragen kommen, gehe ich davon aus, dass ihr den Stoffin- halt verstanden habt und ich im Thema weitergehen kann und werde.

Wir beginnen mit derDefinition der Mengeim mathematischen Sinn und werden uns dann intensiv mit denDarstellungsformenbefassen.

Das anschliessende Kapitel ¨uber das Rechnen mit Mengen wird uns die M¨oglichkeit bieten, die Darstellungsformen zur Anwednung zu bringen und uns insbesondere mit der mathematischen Schreibweise weiter vertraut zu machen.

Ausf¨uhrlich werden wir uns mit denMengen im Koordinatensystembefas- sen und abschliessend besprechen wir noch dasRechnen in Mengen, was uns zu zentralen Begriffen der Algebra f¨uhren wird.

1.1 Die Menge im mathematischen Sinne

Wir beginnen mit einem ¨Uberblick ¨uber (bekannte) mathematische Mengen:

1. N := . . .

= . . .

2. Ng := . . .

= . . .

3. Nu := . . .

= . . .

(4)

4. Vn := . . . Bsp.: V4 = . . .

V12 = . . .

5. Tn := . . . Bsp.: T4 = . . .

T12 = . . .

6. Z := . . .

= . . .

7. Z≤n := . . . Bsp.: Z≤−4 = . . .

Z>22 = . . .

8. Q := . . .

= . . .

9. Q⁺ := . . .

10. R := . . .

11. R⁻_≥5 = . . .

Doch was unterscheidet die obigen Mengen von

der Menge aller netten Menschen,

einer Menge Zucker ?

(5)

Wir wollen nun den Begriff einer mathematischen Menge definieren:

Def.: Eine(mathematische) Mengeist . . .

Einige Bemerkungen :

eindeutig bestimmtbedeutet . . .

Die Objekte einer Menge heissen . . .

wohlunterscheidbarbedeutet . . .

Schreibweisen:

Beispiel 1.1 die Menge aller ungeraden nat¨urlichen Zahlen

die Menge aller netter Menschen

die Menge allen Wassers in einer Kanne

Die Menge aller Sch¨ulerInnen einer Klasse

Algebra-Aufgaben:Mengenlehre 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

(6)

1.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen

(7)

1.3 Darstellungsformen

Um eine (mathematische) Menge darzustellen verwenden wir drei verschiedene Formen, die

aufz¨ahlende Form,

die (mathematisch) beschreibende Form,

Mengendiagramme.

Beispiel 1.2 An den folgenden Beispielen werden wir diese Darstellungs- formen besprechen:

1. Die Menge aller Teiler von 12

= { }

= {x|x ist ein T eiler von12}

. . . und als Mengendiagramm:

2. Die Menge aller Vielfachen von 7

= { }

=

. . . und als Mengendiagramm:

(8)

Mit den folgenden Beispielen wollen wir die mathematisch beschreibende Formder Darstellung etwas ¨uben:

Beispiel 1.3 Stelle die folgenden Mengen in aufz¨ahlender Form dar:

1. {x|xist ein Teiler von 33}= . . . 2. {x|xist ein Vielfaches von 21}= . . . 3. {c|cist ein Vielfaches von 21}= . . . 4. {x|x <4}= . . .

5. {x∈N|x <4}= . . . 6. {r∈Z|r <4}= . . .

7. {x∈N| −5.3< x≤3.5}= . . . 8. {w∈Z| −5.3< w≤3.5}= . . . 9. {x∈V6|x∈T54}= . . . 10. {q∈N|x·q <25}= . . .

11. {q∈N|x·q <25 undx∈T4}= . . . 12. {t∈N|x^t≥25 undx∈T4}= . . . 13. {x∈N|x^t≥25 undt∈T4}= . . . 14. {t∈T12|x^t≥250 undx∈N≥8}= . . . 15. {s∈N|2^s−1≤15}= . . .

16. {q∈Z|q³<64}= . . . 17. {q∈Z| −q³<−64}= . . .

18. {a∈N|a= 5g undg∈T20}= . . . 19. {y∈N|y= 2t+ 12 undt∈V3}= . . . 20. {h∈Z|h= 3x−210 undx∈N≤12}= . . . 21. {h∈N|h= 3x−210 undx∈N≤12}= . . . 22. {b∈N|b=r² undr∈N0}= . . .

23. {f ∈N|20>5f}= . . . 24. {j∈Z|20>5j}= . . . 25. {f ∈Z|20< j}= . . .

(9)

Beispiel 1.4 Stelle die folgenden Mengen in der mathematisch beschreibenden Form dar:

1. {1,2,3,4,5, . . .}= . . . 2. {1,3,5,7,9, . . .}= . . . 3. {17,18,19,20,21}= . . . 4. {. . . ,17,18,19, . . .} = . . . 5. {4,8,12,16, . . .} = . . . 6. {64,68,72,76,80, . . .}= . . .

7. {333,336,339,342, . . .660,663,666} = . . . 8. {1,2,3,6} = . . .

9. {117,130,143, . . .} = . . . 10. {−4,−3,−2, . . .4,5} = . . . 11. {3,17,31,45,59, . . .}= . . . 12. {10,17,24,31, . . .} = . . . 13. {4,15,26,37, . . .114}= . . . 14. {. . . ,88,68,48,28}= . . . 15. {10,9.5,9,8.5, . . .0} = . . . 16. {1,1.2,1.44,1.728, . . .}= . . . 17. {2,−3,4.5,−6.75,10.125, . . .}= . . . 18. {2,3,5,7,11,13,17,19,23, . . .} = . . . 19. {1,4,9,16,25, . . .}= . . .

20. {10,40,90, . . .810,1000} = . . . 21. {¹₁,¹₂,¹₃,¹₄, . . .}= . . .

22. {¹₁,¹₄,¹₉,₁₆¹, . . .}= . . . 23. {¹₂,²₃,³₄,⁴₅, . . .}= . . . 24. {₁₃⁵,₁₄⁵,₁₅⁵,₁₆⁵, . . .}= . . .

25. {0.1,0.01,0.001,0.0001, . . .}= . . .

(10)

Aufgaben : Formuliere drei eigene Beispiele im Stil von Bsp. 1.3

Formuliere drei eigene Beispiele im Stil von Bsp. 1.4

Algebra-Aufgaben:Mengenlehre 2b (Zugeh¨orige L¨osungen)

(11)

1.4 Teilmengen

Def.: Eine MengeAheisst eine Teilmengeder Menge B, genau dann wenn jedes Element vonAauch ein Element vonBist.

Einige Bemerkungen:

Schreibweise:

Beispiel 1.5 N⊂N0⊂Z⊂Q

V2 . . . V4

T6 . . . T12

Aufgaben : SeiA:={a, b, c}.

Bestimme alle Teilmengen vonA.

Abschliessend noch zwei Bemerkungen:

(12)

1.5 Rechnen mit Mengen

Ahnlich zu den bekannten Rechenoperationen . . . , . . . , . . . und . . . , welche uns¨ das Rechnen mit Zahlen ermöglichen, existieren Mengenverknüpfungen, welche uns das Rechnen mit Mengen ermöglichen:

Wir betrachten die folgenden Mengen

A={1,2,4,8,9} undB={1,2,3,4,6,12}

und wollen mit Hilfe der Darstellung durch ein Mengendiagramm die Mengen- verkn¨upfungen besprechen:

Wir stellen fest, dass es Elemente gibt,

welche zuA, aber nicht zuBgeh¨oren: . . . diese bilden die sogenannte . . . .

Schreibweise: . . . Sprechweise: . . . .

welche zuB, aber nicht zuAgeh¨oren: . . . diese bilden die sogenannte . . . .

welche zuAund zuBgeh¨oren: . . . diese bilden die sogenannte . . . .

welche zuAoder zuBgeh¨oren: . . . diese bilden die sogenannte . . . .

(13)

Wir wollen die Mengenverkn¨upfungen am Beispiel zweier beliebiger Mengen in einem Mengendiagramm betrachten

und einige Bemerkungen

und zwei neue Begriffe festhalten:

Beispiel 1.6 Die Diagrammdarstellung hilft uns auch Fragen von folgen- dem Typ zu beantworten:

SeiA⊂B ⇒ 1. A∩B= 2. A\B=

SeiA=B ⇒ 3. A∩B= 4. A\B=

SeienAundBdisjunkt ⇒ 5. A∩B= 6. A\B= 7. B\A=

(14)

Mit Hilfe dermathematisch beschreibenden Formder Darstellung von Men- gen lassen sich Differenz-, Schnitt-, Vereinigung- und Komplement¨armenge sehr kurz und elegant definieren:

Def.: SeienAundBzwei nicht-leere Mengen undGeine Grundmenge.

A\B:=

B\A:=

A∩B:=

A∪B:=

A^c:=

Mit den folgenden beiden Mengendiagrammen (ohne Grundmenge) wollen wir noch auf zwei Regeln aufmerksam machen, welche beim Verkn¨upfen von mehreren Mengenzu beachten sind:

Stelle die folgende Vekn¨upfung im nebenstehenden Diagramm dar:

A\B∩C

Stelle die schraffierte Fl¨ache im nebenstehenden Diagramm durch Mengenverkn¨upfungen dar:

⇒zu beachten gilt:

(15)

Aufgaben : In einem Wohnblock mit 20 Familien finden wir die folgende Verteilung von CD-Player, Radios und Fernsehger¨aten vor:

Zw¨olf Familien besitzen ein Radio.

Ein Fernseher steht bei elf Familien im Wohn- zimmer.

Eine Familie besitzt einen CD-Player, aber kein weiteres Unterhaltungsger¨at.

Vier Familien besitzen alle drei Ger¨ate.

Zwei Familien besitzen Radio und Fernseher, aber keinen CD-Player.

Sieben Familien haben einen Radio und einen CD-Player.

F¨unf Familien besitzen mindestens einen Fern- seher und einen CD-Player.

Wir definieren weiter:

C:= Menge aller Familien, mit einem CD-Player.

R:= Menge aller Familien, mit einem Radio.

F:= Menge aller Familien, mit einem Fernseher.

Stelle die obigen Bedingungen mit Hilfe von Men- gen/ Mengenverknüpfungen dar und bestimme die zugehörige Mächtigkeit.

(16)

Stelle die vorherige Situation in einem Mengendiagramm dar

und die folgenden Fragen in einer Mengenverkn¨upfung und beantworte sie:

1. Wie viele Familien besitzen keinen Radio ?

2. Wie viele Familien besitzen keinen Fernseher ?

3. Wie viele Familien besitzen keinen CD-Player ?

4. Wie viele Familien besitzen keines dieser drei Ger¨ate ?

5. Wie viele Familien besitzen nur genau ein Unterhaltungsger¨at ?

6. Formuliere eine eigene Frage . . .

(17)

Aufgaben : Gegeben sind die Mengen AundBund die Grund- mengeG, mitA,B⊂G.

Welche Beziehungen bestehen zwischen den Mengen A,BundGfalls gilt:

1. A∩B=A 2. A∩B={ } 3. A\B=B\A 4. A\B=G 5. A\B=A 6. A\B=A^c

( ¨Uberlege dir, ob z.B.A=Bgilt, oderB⊂A, oderAund Bdisjunkt sind, . . . . )

(18)

1.6 Mengen im Koordinatensystem

In diesem Abschnitt wollen wir dasKoordinatensystem mengentheoretisch betrachten und beginnen mit einer kurzen Wiederholung der wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit einem KS.

Um ein (ebenes) Koordinaten- system eindeutig festlegen zu k¨onnen ben¨otigen wir

Bem.: Ein Koordinatensystem heisstkartesisch:⇔ . . .

Ein Beispiel f¨ur ein nicht-kartesisches Koordinatensystem:

(19)

Mit der Hilfe eines Koordinatensystems k¨onnen wir Punkte eindeutig festlegen:

Beispiel 1.7 Zeichne die folgenden Punkte im nebenstehenden KS ein:

1. A= (1/2) 2. B= (2.5/0.5) 3. C= (0/−2) 4. D= (−2/1.5) 5. E= (−2/0) 6. F = (−1/−1)

Beispiel 1.8 Bestimme umgekehrt dieZahlenpaare, welche die im nebenstehenden KS eingezeichneten Punkte eindeutig festlegen:

1. A= 2. B= 3. C= 4. D= 5. E= 6. F =

5

@ 10

@

@@

(20)

Mengentheoretisch betrachtet ist ein (2-dimensionales) Koordinatensystem eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer, eindeutig bestimmter Punkte der Ebene zu einem Ganzen (also eine . . . ) und dieses Ganze l¨asst sich mathematisch elegant wie folgt beschreiben:

E:={(x/y)|x, y∈R} Sprechweise: . . .

Vereinbarung: . . .

Diese Darstellung ermöglicht uns auch geometrische Objekte wie Geraden, Strecken, Flächen . . . mengentheoretisch zu beschreiben und zwar als eine Men- ge von Punkten (x/y) deren Koordinaten gewisse Eigenschaften erfüllen, d.h.

als

{(x/y)| Eigenschaften f¨ur xundy}

Beispiel 1.9 Stelle die im folgenden KS eingezeichneten Geraden und Strecken mengentheoretisch dar:

- 6

(21)

Beispiel 1.10 Stelle nun umgekehrt die folgenden Mengen im untenstehenden KS graphisch dar:

1. A={(x/y)|x= 5∧y= 2}

2. B={(x/y)|x=−3∧y= 0}

3. C={(x/y)|x= 2∧y∈N} 4. D={(x/y)|x=−2∧y∈R} 5. E={(x/y)|y=−4∧x∈R} 6. F={(x/y)|y= 0∧x∈Z⁻}

(22)

Aufgaben : Die folgenden Mengen sind gegeben:

A={(x/y)|x= 1.5}

B={(x/y)|y=−2}

Schraffiere die folgenden Mengen im untenstehenden KS:

1. C=A∩B 2. D=A∪B 3. E=A\B

4. F={(x/y)|x≤ −1}

5. G={(x/y)|y >3.4}

- 6

Vereinbarung:

(23)

Aufgaben : Schraffiere die folgenden Mengen im untenstehenden KS:

1. H={(x/y)|x >3}

2. I={(x/y)|y≤1}

3. J={(x/y)|y >2}

4. K={(x/y)|x >4∨y= 4}

5. L={(x/y)|x= 4∧y >2.5}

- 6

(24)

Aufgaben : Stelle die im untenstehenden KS schraffierten Fl¨achen durch eine Menge dar:

- 6

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

@

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

A A

A AA

(25)

1.7 Rechnen in Mengen

In diesem Abschnitt wollen wir das Rechnen mit den Elementen einer Menge betrachten.

Wir wollen in den ersten Beispielen die Elemente einer Menge so miteinander verkn¨upfen, dass das Resultat wieder ein Element der urspr¨unglichen Menge ist.

Beispiel 1.11 Menge Verkn¨upfung

Menge Verkn¨upfung

Wir wollen Verknüpfungen dahingehend unterscheiden, ob die Verknüpfung ein Resultatinoderausserhalbder ursprünglichen Menge liefert.

Dies f¨uhrt uns auf die folgende Definition:

Def.: Eine nicht-leere MengeAheisstabgeschlossen bez¨uglich einer Verkn¨upfung∗:⇔ ∀a, b∈A:a∗b∈A

Bem.: Die Bedeutung der Abgeschlossenheit besteht darin, dass wir ohne das Resultat einer Verkn¨upfung explizit zu kennen, dessen Eigenschaften kennen.

Beispiel 1.12 V2ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation

Nist nicht abgeschlossen bzgl. der Subtraktion.

Beweis:

(26)

Wir wollen jedoch eine Zahlenmenge haben, die bzgl. der Subtraktion abgeschlossen ist. Dafür müssen wir die MengeNerweitern, was uns auf die Menge . . . führt:

Es gilt: Zist abgeschlossen bzgl. der Subtraktion.

Aber: . . .

Wir wollen eine Zahlenmenge haben, die auch bzgl. der Division abgeschlossen ist. Dies f¨uhrt uns auf die Menge . . . .

Es gilt: Qist abgeschlossen bzgl. der Division.

Aber: Obwohl Q eine Menge mit (abz¨ahlbar) unendlich vielen Zahlen ist, kennen wir jetzt schon Zahlen, die nicht zur MengeQgeh¨oren:

Beispiele: √

2, π, 0,1011011101111. . . , . . . Aufgaben : Beweise: √

3∈/Q

(27)

Wenn wir mit den rationalen Zahlen auch dieWurzelnund dienicht-periodischen Dezimalbrüche in einer Zahlenmenge zusammenfassen wollen, welche bezüglich all unseren bekannten Verknüpfungen abgeschlossen ist, müssen wir die Menge Qvervollständigen. Dies führt uns auf die Menge . . . .

Es gilt: Rist abgeschlossen bzgl. der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und dem Potenzieren (mit nat¨urlichen Exponenten).

Wichtig sind u.a. noch die folgenden Eigenschaften vonR:

Risttotal geordnet

Ristordnungsvollst¨andig

(28)

In den Definitionen f¨ur die folgenden Begriffe ist jeweils Aeine nicht-leere Menge,a, bundc∈Aund∗und◦ sind (innere) Verkn¨upfungen.

Def.: ∗heisstkommutativ:⇔. . . Bsp.:

∗heisstassoziativ:⇔. . . Bsp.:

∗,◦erf¨ullen dasDistributivgesetz :⇔

Bsp.:

Def.: e∈Aheisst einNeutralelementbzgl.∗:⇔a∗e=a , ∀a∈A Beispiel : . . .

Def.: a⁻¹heisst einInverseszua(bzgl∗) :⇔a∗a⁻¹=e mite= zugeh¨origes Neutralelement.

Beispiel : . . .

Def.: (A,∗) heisst eineGruppe:⇔

1. ∗ist assoziativ

2. Aist abgeschlossen bzgl.∗

3. ∃ein Neutralelementebzgl.∗, mite∈A 4. ∀a∈A∃ein Inversesa⁻¹ bzgl.∗, mita⁻¹∈A

(29)

Beispiel 1.13 (Z,+) denn . . .

. . .

Aufgabe : Wir betrachten die folgende Behauptung:

(R,·) ist eine kommutative Gruppe.

1. ¨Uberlege dir, was zu zeigen ist, um diese Be- hauptung zu beweisen.

2. Ist die Behauptung wahr ?

(30)

Aufgaben : Wir betrachten die folgende Menge:

(N, ?), mit ?:= 2x−10 Berechne

1. 5?2 2. 5?1 3. 2?2 4. 4?−4 5. 1?(2?3)

und untersuche

die Verknüpfung?auf Kommutativität & Assoziativität,

die MengeNauf Abgeschlossenheit bzgl.?.

(31)

1.8 Die Symmetriegruppe

(32)