Kapitel 2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen

Kapitel 2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen

WaseineMengeistweißmaneigentlichschon.IndenWortenvonGeorgCantor1 “EineMengeisteineZusammenfassungbestimmterwohlunterschiedener ObjekteunsererAnschauungoderunseresDenkens–welchedieElemen- tederMengegenanntwerden–zueinemGanzen.” DieZugeh¨origkeiteinesDingesazueinerMengeMnotiertman a∈M(2.1) undsagt“aistElementvonM”.Geh¨ortanichtzuMschreibtmana/∈M. 1 zitiertnachJ¨anic hLineareAlgebra,S.2 c"MartinWilkens2115.Oktober2012

22MengenundAbbildungen ZweiMengenheißengleich,wennsiedieselbenElementeenthalten, A=Bgenaudann,wenn∀x(x∈A⇔x∈B),(2.2) inderorthodoxenMengelehregenanntExtensionalit¨atsaxiom. UmeineMengeanzugebenkannmanihreElementezwischenzweigeschweiften Klammernauflisten,sog.extensionaleSchreibweise.Beispielsweise M={a,b,c}(2.3) dieMenge,diegenaudieElementea,bundcenth¨alt.AufdieReihenfolgeinder Listekommtesdabeinichtan,auchnichtobeinigeElementevielleichtmehrfach aufgef¨uhrtwerden,also {a,b,c}={c,b,a}={c,c,b,a,b}.(2.4) Im¨ubrigenmussmaninderKlammernotationnichtunbedingtalleElementeauflis- ten.JedergutwilligeLeserwirdschließlich{1,2,...,10}als{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} verstehen.Oderauch{2,4,6,...}alsdieMengederpositivengeradenZahlen.Man nenntdieseSchreibweisedieelliptischeSchreibweise.SchließlichkannmaneineMen- geauchdurcheineEigenschaftcharakterisieren,dieallenihrenElementenzukommt. DieMenge{1,2,3}kannmanbeispielsweiseauchsoangeben:{x∈N|1≤x≤3}, sog.intensionaleSchreibweise. EineunverzichtbareMengeistdieleereMenge∅.Ihrgeh¨ortkeinElementan,was maningeschweifterKlammernotationgerneausdr¨uckt ∅={}.(2.5) DemExtensionalit¨atsaxiom(2.2)seiDankgibtesnureineleereMenge:jede“an- dere”leereMengeenthieltedieselbenElemente,n¨amlichkeine,w¨arealsogleich∅. 15.Oktober201222c"MartinWilkens

2.1Mengen23 WichtigeMengen,dieIhnenvielleichtschonmalbegegnetsind,sind N=Mengedernat¨urlichenZahlen={1,2,3,...}(2.6) Z=MengederganzenZahlen={0,−1,+1,−2,+2,...}(2.7) Q=MengederrationalenZahlen(2.8) R=MengederreellenZahlen(2.9) SagtmaninderMathematik“Q”(oderNoderRetc.)meintmanabereigentlich mehralseineMengevonunterscheidbarenDingern:manmeinteigentlicheineMen- gevonunterscheidberenDingerndiesichinbestimmerArtundWeise(Addition, Subtraktion,Multiplikation,Division)verkn¨upfenlassenohneausdergenannten Menge,hier:Q,zufliegen. Lassensichf¨ur

eineMengealleElemente–gen¨ugendPapierundBleistiftvorausge- setzt–extensionalauflisten,hatdieMengealsoendlichvieleElemente,sagtman dieMengeseiendlich.EineMenge,dienichtendlichist,istschlichtunendlich.Die Menge{a,b,c},beispielsweise,istendlich.DieMengenN,Z,QundRsindunend- lich.2 HatmanzweiMengenA,B,undistjedesElementvonAauchinBenthalten, sagtmanAseieineTeilmengevonB,notiertA⊂B,undnenntindiesemZusam- menhangBdieObermengevonA.Offensichtlichgilt,dassjedeMengeTeilmenge vonsichselbst,M⊂M.Außerdemwirdpostuliert,dassdieleereMengeTeilmenge einerjedenMenge,∅⊂M. 2EineMengeMheißtendlich,wennsiesichumkehrbareindeutigaufeineMengederGe- stalt{1,2,...,n}abbilden l¨asst.

DieZahlnistdannwohlbestimmt,undmansagtMseieine n-elementigeMenge,bzw.dieM¨achtigkeitvonMsein.EineMenge,diesichumkehrbareindeutig aufNabbilden

l¨aßt,

heißtabz¨ahlbarunendlich.IhreM¨achtigkeit,gebildet:Kardinalit¨at,istℵ0, gesprochen“Aleph-Null”(AlephistdasersteGlyphimHebr¨aischenAlphabet).EineMenge,die wederendlichnochabz¨ahlbarunendlichist,heißt¨uberabz¨ahlbar. c"MartinWilkens2315.Oktober2012

24MengenundAbbildungen Mankannallem¨oglichenTeilmengeneinerMengeMzueinereigenenMengezusam- menfassen,genanntdiePotenzmengevonM,bezeichnetM.Definitionsgem¨aßsind dieleereMengeunddieMengeMselberElementevonP(M).BeispielM={a,b,c} TeilmengensinddieleereMenge∅,dieSingletons{a},{b},{c},diePaarmengen {a,b},{a,c},{b,c},und{a,b,c}.DiePotenzmengeP(M)ist P(M)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.(2.10) Manbeachte,dassnichtaeinElementvonP(M),sonderndieMenge(!){a}.Als ElementeeinerMengekommenalsoauchMengeninFrage–manlerntnieaus... Abb2.1Venn-Diagramme.HatmanzweiMengenA,B,sobezeichnet •dersog.DurchschnittA∩BdieMengederElemente,diesowohlinAalsauch inBenthaltensind, •diesog.VereinigungA∪BdieMengederElemente,dieentwederinAoder inB(oderinbeiden)enthaltensind, •diesog.DifferenzA\BdieMengederElemente,diezwarinA,nichtaberin Benthaltensind, •unddassog.kartesischeProduktA×BdieMengedergeordnetenPaare A×B:={(a,b)|a∈A,b∈B}(2.11) BeigeordnetenPaarenkommtes,imUnterschiedzuMengen,aufdieReihen- folgederDingean.DasPaar(a,b)istalsodurchausverschiedenvomPaar (b,a)(esseidenna=b):esgilt(a,b)=(c,d)genaudannwenna=cund b=d. 15.Oktober201224c"MartinWilkens

2.1Mengen25 ZurVeranschaulichungvonTeilmengen,Durchschnitt,VereinigungundDifferenz werdengernesog.Venn-Diagrammeherangezogen. ZurVeranschaulichungeinerProduktmengeA×BkanneinRechteckverwendet werdenwobeiAundBalshorizontaleundvertikaleStreckenunterundnebendem Rechteckskizziertwerden.Zujedema∈Aundb∈Bentsprichtdann(a,b)genau einemPunktindiesemRechteck. HandeltessichspeziellumdieMengenA=B=Rverf¨ahrtmanetwasanders. InAnalogiezumZahlengeradewirdR2 :=R×RzurZahlenebene.Umsichinder ZahlebenezuorientierenzeichnetmaneinehorzontaleGerade f¨ur dieUntermenge R×{0}={(x,0)|x∈R}desR2 ,undeinevertikaleGerade

f¨ur

dieUntermenge {0}×R={(0,y)|y∈R}.DerSchnittpunktderbeidenwirdmitdemElemet (0,0)∈R2 identifiziert.EinbeliebigesElement(x,y)∈R2 kannmittels(x,0)und (0,y)lokalisiertwerden,wieinderAbbildungangedeutet. Abb2.2DieProduktmengeA×Ban- schaulich.

Analogsindh¨ohereProduktevonMengenerkl¨art.SindetwaA1,...,AnMengen, soheißtdieMenge A1×···×An:={(a1,...,an)|ai∈Ai,i=1,...,n}(2.12) daskartesischeProduktderMengenA1,...,An.Besondersh¨aufigtrifftmaninder MathematikaufdenRn ,daskartesischeProduktvonnFaktorenR, Rn :=R×···×R !"#$ nFaktoren

.(2.13) DerRn dieMengeallern-TupelrellerZahlen,(x1,...,xn),xi∈R.Insbesondere Abb2.3DerZahlenraumR2 anschau- lich.

derR3 spieltinderPhysikeinewichtigeRolle.ZurVeranschaulichungzeichnet man,¨ahnlichwiebeimR2 ,dreiGeraden:die“X-Achse”R×{0}×{0},die“Y- Achse”{0}×R×{0}unddie“Z-Achse”{0}×{0}×R,undlokalisiertdasElement (x,y,z)∈R3 wieinderAbbildungangedeutet.Dassiehtdannzwarsoaus,als c"MartinWilkens2515.Oktober2012

26MengenundAbbildungen schauemanaufeinenAusschnittdes“physikalischenRaumes”,istabernichtso gemeint.GemeintislediglicheineIllustrationdesZahlenraumsR3 ,nichtmehraber auchnichtweniger. Abb2.4DerZahlenraumR3 anschau- lich.

2.2 Relationen

SeienXundYzweiMengen,undRTeilmengeihreskartesischenProdukts,R⊂ X×Y.F¨ur(x,y)∈Rsagtmanxst¨undeinRelationRmity,zuweilennotiert xRy. BetrachteetwadieMengePderPunkteundGderGeradenineinerEbeneoderei- nemRaum.DieTeilmengeR:={(p,g)|DerPunktp∈PliegtaufderGeradeng∈G}⊂ P×GdefinierteinebestimmteRelationzwischenPunktenundGeraden,genannt dieInzidenzrelation. H¨aufigst¨oßtmanaufRelationenRzwischendenElementeneinerMengeM,also R⊂M×M.Istmit(x,y)∈Rauch(y,x)∈RheißtdieRelationsymmetrisch. Gilt(x,x)∈R f¨ur

allex∈M,soheißtdieRelationreflexiv.Undistmit(x,y)∈R und(y,z)∈Rauch(x,z)∈R,soheißtdieRelationtransitiv. IsteineRelationRzwischendenElementeneinerMengeMreflexiv,symmetrisch undtransitiv,nenntmanReine

¨ Aquivalenzr

elation.IndiesemFallheißenxundy aus(x,y)∈R¨aquivalent,notiertx∼y. BetrachteetwaGdieMengeallerGeradenderEuklidischenEbene.Dannkonstitu- iert.:={(x,y)∈G×G|xparallelzuy}eine

¨ Aquiv

alenzrelation“parallel”. EinSystemvonnichtleerenTeilmengeneinergegebenenMengeMdassobeschaffen ist,dassjedesElementvonMzueinerundnureinerTeilmengedesSystemsgeh¨ort, nenntmaneineKlasseneinteilungderMengeM.DieeinzelnenTeilmengennennt 15.Oktober201226c"MartinWilkens

2.3Abbildungen27 manKlassen. Eine

¨ Aquiv alenzrelationRineinerMengeMinduziertimmeraucheineEinteilung derMengeMinKlasseneinanderR-¨aquiv

alenterElemente,genannt

¨ Aquivalenz-

klassen.GreiftmansichirgendeinaausM,soistKa:={x∈M|x∼a}als Mengeallerzua¨aquivalenterElementevonMeine

¨ Aquiv alenzklasse.Unterdem Schutzder

¨ Aquiv

alenzrelationkannjedesElementvonKaherangezogenwerden,als Repr¨asentantvonKazufungieren Ka=Kbgenaudann,wenna∼b(2.14) EineTeilmengevonM,dieausjeder

¨ Aquiv

alenzklassegenaueinenRepr¨asentanten enth¨alt,heißteinRepr¨asentantensystemvonR. JedeParallelenscharisteineeigene.-¨AquivalenzklassevonG.DieMengeallerGe- radendurcheinenfestenPunktOisteinRepr¨asentantensystem.

2.3 Abbildungen

Abb2.5Links:EineAbbildung.Rechts: eineRelationaberkeineAbbildung.

Gilt

f¨ur

eineRelationΓf⊂X×Ydasswenn(x,y)∈Γfund(x,y! )∈Γfdann y=y! ,sagtman,ΓfdefiniereeineAbbildungfausderMengeXindieMenge Y.Statt(x,y)∈Γfschreibtmany=f(x),nenntydasBildvonxunterder Abbildungf,undxeinUrbildvony.Zubeachtenisthier,dasseiny∈Ydurchaus mehrereUrbilderhabenkann,dasseinx∈Xh¨ochstenseinBildhabenkann,dass abernichtjedesx∈XUrbildeinesElementesvonYseinmuss.Sofernallerdings jedesElementvonXUrbildeinesElementesvonY,heißtfeineAbbildungvonX nachY.SolcherartAbbildungensinddasButterbrotderMathematik,unddiekann manauchdirekt,d.h.ohneBezugaufRelationen,einf¨uhren: c"MartinWilkens2715.Oktober2012

28MengenundAbbildungen Definition“Abbildung”SeienXundYMengen.EineAbbildungfvonXnach YisteineVorschrift,durchdiejedemx∈XgenaueinElementf(x)∈Y zugeordnetwird.3 Statt“fisteineAbbildungvonXnachY”schreibtmankurzf:X→Y,oder garnochk¨urzerXf →Y.DieZuordnungeineseinzelnenElementsx∈Xzusei- nem“Bildpunkt”f(x)wirddannnotiert,x0→f(x),wobeif(x)hiergelesenwird “derWertderAbbildungfanderStellex”(undnicht“dieAbbildungf-von-x”!). Gebr¨auchlichistauchdieNotationy=f(x),worinnunxdiesog.unabh¨angige Variable,auchgenanntArgument,undydiesog.abh¨angigeVariable.DieMenge X–inihr“variiert”x–heißtderDefinitionsbereichvonf;dieMengederBilder derFunktionfheißtderBidlbereich,oderWertebereichf(X).DerWertebereichist offensichtlichimmereinerTeilmengedesZielmengeY. Abb2.6GrapheinerAbbildung.Die fraglicheAbbildungistsurjektiv,abernicht injektiv.

EineAbbildungf:X→YkannmansichanhandihresGraphenΓf={(x,f(x))|x∈ X}veranschaulichen.DerGraphistjaeinespezielleTeilmengedeskartesischenPro- duktsX×Y,undwiesichkartesischeProdukteveranschaulichenlassenwurdeoben schonerkl¨art. Abbildungen,dieeinemimmerwiederbegegnet,sinddiesogIdentit¨at, idM:M→M x0→x(2.15) diekonstanteAbbildung X→Y x0→y0(2.16) 3 W¨ortlich¨ubernommenaus:

J¨anic h,LineareAlgebra,p.8. 15.Oktober201228c"MartinWilkens

2.3Abbildungen29 aberauchsolchkompliziertenDingewiedieProjektionaufdenerstenFaktor π1:A×B→A (a,b)0→a(2.17) DiekonstanteAbbildungnotiertmanauchkurzundb¨undigf=const(oder–ganz gebildet–f=constans). EineAbbildungmitDefinitionsbereichNnenntmanallgemeineineFolge,eineAb- bildungmitDefintionsbereich⊂RnenntmaneineFunktion,undistderDefi- nitionsbereichgareineirgendwiegearteteMengevonFunktionennenntmandie entsprechendeAbbildungeinFunktional.4 Ausf¨uhrlichnotiertliestsichbeispielsweisedieFunktion,diejederreellenZahlihr Quadratzuweist q:R→R x0→x2(2.18) IndererstenZeilewirdderNamederFunktionfestgelet,hier“q”,undderDefi- nitionsbereichXundderZielbereichYwerdenangegeben,hierX=Y=R.In derzweitenZeilewirdgesagt,wiederWertderFunktion f¨ur

eingegebenesUrbild x∈Rzuberechnenist.Damitweißnunjeder,derdieZeichenkettex2 dekodieren kann,wasmitq(2)gemeintist–n¨amlich22 ,unddasistbekanntlichgleich4. Folgennotiertmanetwasanders.Stattausf¨uhrlich a:N→N n0→n2(2.19) 4EinFunktionalistbeispielsweisedieAbbildung%b a:F→R,diejederreellenFunktionf∈F denWertihresIntegrals%b af(x)dxzuweist.VergessenwaseinIntegralist?Nochniegeh¨ort?

Macht nichts.SiebrauchendenBegriffandieserStellenicht.DaheristdasBeispielaucheineFußnote. UndFußnotensindnichtklausurrelevant... c"MartinWilkens2915.Oktober2012

30MengenundAbbildungen schreibtmanschlichta=(n2 ),oderexplizita=(1,4,9,16,...).Undstatta(n) (derWertderFolgeaanderStellen)schreibtmanan,genanntdasn-teGliedder Folge,hieretwaa3=9. Beide,dieFunktionqwieauchdieFolgeainvolvierendieOperation“Quadrieren”. TrotzdemsindesverschiedeneAbbildungen:dieeineistdefiniert f¨ur allereelleZah- len,dieandereistdefiniert

f¨ur

allenat¨urlicheZahlen.UnddaeineAbbildungnicht nurdurchihreOperationsvorschriftfestgelegtist,sondernderDefinitionsbereich ganzwesentlichdazugeh¨ort,verdienendiesebeidenAbbildungenauchunterschied- licheNamen. Besonderseindr¨ucklichgelingtdieVeranschaulichungbeidenFunktionen:manbe- stimmteinpaarPaare(xi,f(xi)),schreibtdieineineanst¨andigeWertetabelle, ¨ubertr¨agtdiePaareineinKoordinatensystem,wosiezulokalenSchw¨arzungen (=Punkte–abernichtimmathematischenSinne)werden,undverbindetdielokalen Schw¨arzungenirgendwieglattmitdemBleistift.DasResultatisteineGraphik–was dieKategorie“Funktionsgraph”aufstrefflichsterechtfertigt.5 DieGraphikerinnert dannvielleichtanandereGraphiken,derFunktionsgraphvonf(x)=mx+b(mitm undbirgendwelcheKonstanten)vielleichtandasBildeinerGeradeng,und–Schw- pus!–wirddiegenannteAbbildungf(Funktion)zueinemgeometrischenObjekt g(Gerade).NixgegendasSchwups!–solcheSchwupssindwichtigeQuellenvon Inspiration.AberebenleiderauchQuellevonKonfusion:“dasQuadrateinerGera- denistirgendwie’nQuadrat.Alsoistf2 irgendwie’nQuadrat...oderso.”Nein– istesnicht.Auchnichtirgendwieundoderso.“Funktion”und“Gerade”sindund bleibenverschiedeneKategorien.Dasssiezu¨ahnlichenSchaubildernAnlassgeben istinteresssant,abereserlaubtnicht,siezuidentifizieren. F¨urA⊂XundB⊂Yheißtf(A):={f(x)|x∈A}dieBildmengevonA,und f−1 (B):={x|f(x)∈B}heißtdieUrbildmengevonB.Manbeachte,dasshiermit 5 Kannmantrefflichsteigern? 15.Oktober201230c"MartinWilkens

2.3Abbildungen31 f−1 keineswegsdieExistenzeinerUmkehrabbildunginsinuiertwird,sondernnur das,wasmitf−1 (B)gesagtwurde. Abbildungenk¨onnenverkettetbzwhintereinandergeschaltetwerden.DieKette Xf →Yg →ZdefinierteineAbbildungvonXnachZ,diemang◦fnotiert, g◦f:X→Z x0→g(f(x))(2.20) Zuweilen l¨aßt

mandasVerkn¨upfungsziechn◦unterdenTischfallen,schreibtstatt g◦feinfachgf.Damitistdannnicht“fmalg”gemeint,sondern“erstfanwenden, dannaufdasResultatganwenden”.BeiFunktionennotierenwirdieVerkettung aberganzpedantischmitdemVerkn¨upfungszeichen◦–schließlichwollenwirkeine VerwechslungmitdemProduktzweierFunktionenerlauben. EineAbbildungf:X→Yheißt •surjektivwennjedesElementvonYBildeinesElementesvonX,6 •injektivbzw.eineindeutig,wennausf(x)=f(x! )folgtdassx=x! . •bijektiv,wennfinjektivundsurjektivist. ImFalleX=YnenntmaneinebijektiveAbbildungπ:X→XaucheinePer- muation.PermuationenspieleninderKombinatorikeinewichtigeRolle. BijektiveAbbildungengl¨anzendurcheineEigenschaft–siesind“umkehrbar”.Die UmkehrabbildungeinebijektivenAbbildungf:X→Y,invollerSch¨onheitnotiert f−1 :Y→X f(x)0→x(2.21) 6 EinesurjektiveAbbildungf:X→YnenntmanauchAbbildungvonXaufY. c"MartinWilkens3115.Oktober2012

32MengenundAbbildungen wobeif−1 gelesenwird“finvers”,m¨oglicherweiseauch“f-hoch-minus-eins”,keins- fallsaberals“eins-durch-f”.Offensichtlichgiltf◦f−1 =idYundf−1 ◦f=idX. AlsBeispiel f¨ur diejenigen,die(sp¨atestens)inder10.KlassedieFunktionx0→=ax , worinairgendeinefestereelleZahl,kennengelernthaben,hiernuneinepedantische Variante

f¨ur IhrealteBekanntennebstderenUmkehr: Sei

f¨ur

festesa∈R+ fa:R→R+ x0→ax(2.22) Dannistmit loga:R+→R ax 0→x(2.23) dieUmkehrabbildungvonfaverabredet,genanntLogarithmuszurBasisa.Man beachtehierdiefeinsinngeBestimmungderDefinitions-undZielbereiche.F¨urf sinddiereellenZahlenDefinitionsbereich,derZielbereichbestehtabernurausden positivenrellenZahlen.Gutso.DennderLogarithmusistjanur f¨ur

diepositiven reellenZahlenverabredet,nimmtabergl¨ucklicherweiseWerteinallenreellenZahlen .... Schn¨odel-T

r¨odel.

Dasshierloga◦fa=idRsteht,siehtjawohljedesKind.Aber wasistmitfa◦loga,ausgeschriebenx0→fa(loga(x))(wennich’neFunktionhab’, dannmussdochirgendwo’nxauftauchen).KeinProblem:Namen(vonVariable) sindSchallundRauch.Herewego:Seix=ay ,mityirgendeine(durchaund xbestimmte)reelleZahl.Dannistxnotwendigpositiv.Somitistloga(x)definit, =loga(ay )=y,unddasisteineirgendeinepositiveodernegativereelleZahl.Dann aberistfa(y)=ay =x.Kurzfa◦loga=idR+. 15.Oktober201232c"MartinWilkens

2.3Abbildungen33

Aufgab en

"Aufgabe2-1(πPunkte) GehenSieaneineKreidetafel.SkizzierenSiefreih¨andigeinenKreis(Durchmesser ca50cm)undtragenseinenMittelpunktein.Wennes“ei-ig”aussieht,wiederholen Siedie

¨ Ubung

bissieeinigermaßenzufriedensind. "Aufgabe2-2(2Punkte) Jemandbehauptet,dieAnzahlderElementeinderVereinigungsmengeA∪Bsei gleichderSummederZahlderElementevonAundB.Sie stimmenzu; stimmennichtzu. "Aufgabe2-3(4Punkte) ZeigenSie:EineMengemitnElementenbesitztgenau2n verschiedeneTeilmengen. "Aufgabe2-4(3Punkte) SeiM=Z,dannistR⊂M×MdefiniertR={(x,y)|x−yistdurch3teilbar} diejenigeTeilmengederganzenZahlen,derenElementeohneRestdurch3teilbarsind. eineRelation,aberkeine

¨ Aquiv alenzrelation eine

¨ Aquiv

alenzrelation "Aufgabe2-5(3Punkte) DieFunktionq:R→R,x0→x2 ist surjektiv,abernichtinjektiv injektiv,abernichtsurjektiv wedersurjektivnochinjektiv c"MartinWilkens3315.Oktober2012

34MengenundAbbildungen 15.Oktober201234c"MartinWilkens