2.2. Gleichheit von Mengen und Extensionalität 2.1. Begriff und Notation von Mengen 2. Mengen

1

2. Mengen 

Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im  Rahmen der Mengenlehre einzelne „Elemente“ (z. B. Zahlen) zu einer Menge zusammen. Eine Menge  muss kein Element enthalten (diese Menge heißt die „leere Menge“). Bei der Beschreibung einer  Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten oder nicht enthalten  sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist, oder ob es eine Reihenfol‐

ge unter den Elementen gibt. 

2.1. Begriff und Notation von Mengen 

Der Begriff Menge geht auf Georg Cantor zurück, der eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung  bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem  Ganzen beschrieb. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff Menge  noch der Begriff Element werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder  in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf  den Zermelo‐Fraenkel‐Axiomen, Neumann‐Bernays‐Gödel‐Axiomen oder anderen Axiomensystemen. 

Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die  Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Rus‐

sell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“. 

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild  eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere  Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern ein Behältnis, das nichts ent‐

hält. 

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen  ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa M = {blau, gelb, rot},  wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als ein‐

mal genannt wird. 

Oft ist es ungünstig oder (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzäh‐

len. In diesen Fällen gibt es eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigen‐

schaft festgelegt werden, zum Beispiel M = { x | x ist eine Grundfarbe }. 

2.2. Gleichheit von Mengen und Extensionalität 

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die  Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Men‐

gen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man  ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes). 

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) be‐

schrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: 

Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente  der Menge (und nur diese) erfüllen; z. B. G:= { x | x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2 },  gelesen „sei G die Menge aller x, für die gilt: x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“, oder  kürzer: „sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen > 2“. 

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür  muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äqui‐

valent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt). 

Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede andere Menge, die  die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. 

2 2.3. Andere Schreibweisen 

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen  werden: 

 die aufzählende Schreibweise M = { blau, gelb, rot } kann als eine Abkürzung für die umständ‐

lichere Schreibweise M = { x | x = blau oder x = gelb oder x = rot } verstanden werden. 

 bei der elliptischen Schreibweise werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: 

M = {3, 6, 9, 12, …, 96, 99}. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Bei‐

spielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich  intensional als M = { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. 

Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = {4, 6,  8, 10, … } die Menge der geraden, natürlichen Zahlen, die größer sind als 2 (also das obige  Beispiel G). 

 Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie z. B. aus A und B die  Schnittmenge M = A∩ B. Diese kann intensional geschrieben werden als M = { x | x ist in A  und x ist in B } 

 ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen. 

2.4. Definitionen und grundlegende Beziehungen zwischen Mengen 

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt x Element einer Menge  M, so schreibt man dafür formal:  x ∈ M. Die Verneinung (x ist kein Element von M) schreibt man als: 

x ∉ M.  

In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat ∈ die einzige notwendige Grundrelation. Alle  mengentheoretischen Begriffe und Aussagen werden aus ihr mit logischen Operatoren der Prädika‐

tenlogik definiert. 

2.4.1. Teilmenge 

A ist eine (echte) Teilmenge von B  

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.  

Die Menge B enthält dann mindestens so viele Elemente wie die Menge A. Für Teilmengen wird das  Zeichen ⊆ verwendet. 

B wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von A genannt.  

Formal: Es gilt A ⊆ B, wenn aus x ∈ A folgt, dass x ∈ B ist.  

A ⊆ B: ⟺ ∀x (x ∈ A → x ∈ B) 

Nach dieser Definition ist jede Menge auch Teilmenge von sich selbst: A ⊆ A. Der Unterstrich in dem  Zeichen ⊆ soll das andeuten, indem er an ≤ erinnert. Eine echte Teilmenge von B ist eine Teilmenge,  die nicht B selbst ist, geschrieben  A ⊂ B. 

A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber  von B verschieden, also jedes Element aus A auch Element von B ist, aber (mindestens) ein Element  in B existiert, das nicht in A enthalten ist. 

3

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine  strenge Halbordnung. 

Hinweis: Die Notation der Teilmengenrelation ist uneinheitlich, die beiden folgenden Möglichkeiten  sind heute üblich, wobei die erste der ursprünglich von Bertrand Russell (vgl.  Principia Mathematica)  eingeführten entspricht: 

 ⊆ steht für „Teilmenge“, ⊂ für „echte Teilmenge“ 

 ⊂ steht für „Teilmenge“, ⊊ für „echte Teilmenge“. 

Hier wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet. 

Die Negation der Relationen ∈, ⊂ und ⊆ kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol  bezeichnet werden, also zum Beispiel durch ∉. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden  Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also  anstelle von  x ∈ A auch A ∋ x, anstelle von A ⊆ B auch B ⊇ A und anstelle von A ⊂ B auch B⊃ A ge‐

schrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist  denkbar. 

2.4.2. Gleichheit  

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. 

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. 

Formal: A = B: ⇔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)   

Tatsächlich muss eine Menge A aber meist  intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine  Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge  D haben sollte), sodass x ∈ A genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann: 

A = { x ∈ D| P(x)} 

Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage,  ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. 

Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind  {x ∈ D| P(x)} und { x ∈ D| Q(x)} die gleiche Menge?“ 

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz A = B ⇔ (x ⊆ A ∧ B ⊆ A). 

2.4.3. Leere Menge 

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit ∅ oder auch {} bezeichnet. Aus  der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge  enthält dieselben Elemente (nämlich keine), ist also gleich. Folglich sind ∅ und {∅  verschieden, da  letztere Menge eine andere Menge als Element enthält. Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden  Menge. 

2.4.4. Durchschnitt (Schnittmenge, Schnitt) 

A∩ B – Schnittmenge von A und B   

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die in jeder der beiden Men‐

gen enthalten sind (also sowohl in A als auch in B). Die Schnittmenge von A und B wird  A∩ B ge‐

schrieben. 

4

Formal: Es gilt x ∈ A∩ B genau dann, wenn x ∈ A  und  x ∈ B. 

Besitzen zwei Mengen kein gemeinsames Element, heißen sie elementfremd oder disjunkt. Ihre  Schnittmenge ist die leere Menge. 

Gegeben ist eine nichtleere Menge U von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von  U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind.  

Formal: ⋂U := {x| ∀a ∈ U:x ∈ a}. 

Ist U eine Paarmenge, also U = {A, B}, so schreibt man für ⋂^U gewöhnlich   A ∩ B := {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}  

und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente,  die sowohl in A als auch in B enthalten sind. 

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen A₁, A₂, …, A_n ver‐

allgemeinern. 

Eine ältere Bezeichnung hierfür ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch  geschrieben 

A₁ ∙ A₂ ∙ … ∙ A_n oder 



 n

i

Ai 1

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen: 

Die Elemente der Menge U, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit Aλ bezeichnet. Es wird eine 

„Indexmenge“ Λ(Lambda) eingeführt, sodass U = { A_λ| λ ∈ Λ} ist. Die Schnittmenge ⋂^U wird dann  geschrieben als: 



 A := {x | ∀λ ∈ Λ: x ∈ A_λ)},  

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen Aλ enthalten sind. 

2.4.5. Vereinigung (Vereinigungsmenge, „Summe“) 

A∪ B – Vereinigungsmenge von A und B 

Die Vereinigungsmenge aus zwei Mengen A und B erhält man, indem man alle Elemente zusammen‐

fasst, die in der einen oder in der anderen Menge enthalten sind (oder möglicherweise auch in bei‐

den). Das Zeichen dafür ist ∪. 

Formal: Es gilt x ∈ A∪B, wenn x ∈ A  oder x ∈ B; das „oder“ ist hier nicht ausschließend zu verstehen: 

Wenn beides zutrifft, wird das auch akzeptiert. 

Vereinigungsmenge ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Men‐

ge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal: 

⋃U := {x| ∃a ∈ U:x ∈ a}..  

Im Gegensatz zu ⋂^U ist ⋃^U auch dann erklärt, wenn U leer ist, und zwar ergibt sich ⋃∅ = ∅. 

Für U = {A, B} schreibt man wieder  A ∪ B := {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}  

und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die  in A oder in B enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht‐ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung  umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. 

Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet. 

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch Summe verwendet und dann geschrieben 

5 A₁ + A₂   …   A_n oder 



 n

i

Ai 1

. 

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt. 

Unter Verwendung der Indexmenge Λ schreibt man: 



 A := {x | ∃λ ∈ Λ: x ∈ A_λ)}.  

2.4.6. Differenz (Differenzmenge, „Differenz“) und Komplement 

  A ohne B 

Die „Differenz“ zweier Mengen erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in A, aber  nicht in B enthalten sind. Das Zeichen dafür ist \. 

Formal: Es gilt x ∈ A\B, wenn x ∈ A  und  x ∉ B. 

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge)  von A und B ist die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind.  

Formal: A\B  := {x |(x ∈ A) ∧ (x ∉ B)}  

Ist B ⊆ A, so heißt die Differenz A\B  auch Komplement von B in A. Dieser Begriff wird vor allem dann  verwendet, wenn A eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage ste‐

henden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und  B^C := {x |x ∉ B} heißt einfach das Komplement von B.  

Andere Schreibweisen für B^C sind B, CB oder B‘. 

  Symmetrische Differenz 

Die Menge  A   B := (A\B) ∪ (B\A) =  (A∪B) \ (A∩B) 

wird gelegentlich als symmetrische Differenz von A und B bezeichnet. Es handelt sich um die Menge  aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden der beiden Mengen liegen. Bei Verwendung  des ausschließenden Oders (XOR oder ) kann man dafür auch 

A   B := {x |(x ∈ A)  (x ∈ B)} schreiben. 

2.4.7. Produktmenge oder kartesisches Produkt 

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge  oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert  werden: 

6

Die Produktmenge von A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A  und deren zweites Element aus B ist. 

Die Elemente des kartesischen Produkts sind also keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern  komplexere Objekte, nämlich geordnete Paare.  

Formal: A B  := {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B} 

Unter der Verwendung von n‐Tupeln lässt sich der Begriff leicht für die Verknüpfung endlich vieler  Mengen verallgemeinern: A₁ A₂   …  A_n := {(a₁, a₂, … , a_n)|a₁ ∈ A₁ ∧ a₂ ∈ A₂ … ∧ a_n ∈ A_n } 

Die Produktbildung ist weder kommutativ noch assoziativ. So sind A B  C, (A B)  C und A B  C)  drei verschiedene Mengen, nämlich {(a,b,c)|a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C }, {((a, b), c)|a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C }  sowie {(a,(b,c))|a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C }. Aufgrund von Bijektionen wie ((a, b), c)↦ (a,(b,c) und der  daraus folgenden Isomorphie werden diese Mengen oft nicht unterschieden. Die Assoziativität bis  auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktmengen aus einer endlichen Anzahl n von Mengen 

A_i: i ∈   , 1   i   n mit der Menge der n‐Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die kon‐

krete Klammerung mit 

An

A

A_1 _2 _  zu bezeichnen. 

Für die Produktmenge beliebig vieler Mengen, die durch die Indexmenge Λ benannt werden, schreibt  man  





 A oder, wenn diese Notation schon für „Produkte erster Art“ verwendet wird, 





 A

x . 

Für die Definition einer solchen Produktmenge wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist  die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement λ ein Element der Menge A_λ zuordnen.  

Formal: ^{ }





 A

x := {f : Λ → _



Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen: 

Anstelle des n‐fachen endlichen Mengenprodukts A A   …  A schreibt man auch Aⁿ.   Das unendliche Mengenprodukt 







A ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen Λ → A. 

In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise A^Λ benutzt.  

Die Mengen 

2

1 

 A

A   und  

 





 A  sind nicht notwendig gleich, aber wegen der Bijektion 

(a, b)↦ f_a,b mit f_a,b : {λ₁, λ₂} → ,  λ₁ ↦ a,  λ₂ ↦ b zueinander isomorph. Die Definition der zweistelli‐

gen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent,  weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge Λ = {λ₁, λ₂, … , λ_n}  in der Regel auch nicht zwi‐

schen 





 A  und 

An

A

A_1 _2 _ unterschieden wird. 

2.4.8. Potenzmenge  

Die Potenzmenge ℘(A) von A ist die Menge aller Teilmengen von A. 

Die Potenzmenge von A enthält immer die leere Menge und die Menge A. Somit ist ℘(∅)  = {∅ , also  eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge {a} ist ℘({a )  = {∅,{a ,  enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt A genau n Elemente, so hat ℘(A) die Elementan‐

zahl 2ⁿ. Dies motiviert auch die Schreibweise 2^A anstelle  ℘(A). 

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren,  das alle Teilmengen auflisten könnte. Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC)  muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden. Diese  Fragen hängen eng zusammen mit der Problematik des Auswahlaxioms. 

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen  grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem ‐ je nach Fortgang der mathematischen Forschung 

‐ immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können. 

7 2.5. Mächtigkeit und Kardinalzahl 

Die Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge A wird mit | A | (zuweilen auch #A) bezeichnet. Bei endli‐

chen Mengen bedeutet | A | die Anzahl der Elemente von A, also eine natürliche Zahl. 

Der Menge   der natürlichen Zahlen lässt sich eine solche Zahl nicht zuordnen. Sie hat offenbar mehr  Elemente als jede endliche Zahlenmenge; ihre Kardinalität wird gewöhnlich mit  ₀ bezeichnet. 

Betrachtet man die Menge   und ihre Potenzmenge als aktual unendliche Mengen, so ergeben sich  verschiedene Grade der Unendlichkeit, die als Kardinalzahlen bezeichnet werden. Die Gesamtheit der  Kardinalzahlen erweist sich dann als zu groß, um noch als Menge begriffen zu werden. 

Gleichwohl ist der Begriff Kardinalzahl eine Verallgemeinerung der Elementanzahl einer (endlichen)  Menge. Unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen wird die Mächtigkeit der Potenzmen‐

ge von A, auch bei unendlichen Mengen, mit 2^|A| bezeichnet. 

Die Kardinalzahl der Potenzmenge von  , 2^0, also die Kardinalzahl der reellen Zahlen, wird mit c  oder mit   bezeichnet. Die Frage, ob diese Zahl  ₁ (die nächstgrößere Kardinalzahl nach  ₀) ist, ist  Gegenstand der Kontinuumshypothese. 

2.6. Beispiele 

 Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet  {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. 33  ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht. 

 Die Menge der natürlichen Zahlen   = {1, 2, 3, ...} ist eine echte Teilmenge der Menge der  ganzen Zahlen   = {..., ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, ...}. 

Wir betrachten die Mengen X = {1, 2, 3}, A = {1, 2} und B = {1, 3}. Es gelten: 

 2 ∈ A, 2 ∉ B 

 A ⊆ X, B ⊆ X, X ⊆ X  

 A ⊂ X, B ⊂ X 

 A ∩ B = {1} 

 A ∪ B = X 

 Für die Komplemente bezüglich X gilt  A^C = {3}, B^C = {2}, X^C = ∅, ∅^C = X.  

 A \ B = {2}, B \ A = {3}, X \ A = {3}, A \ X = ∅  

 A   B = {2, 3}, A   X = {3}, B   X = {2}  

 | X | = 3, | A | = | B | = 2, | ∅ | = 0, |{∅ |= 1  

 ℘(A) = {∅,{1}, {2}, {1, 2}} 

 ℘(X) = {∅, A ∩ B, B^C, B\A, A, B, A   B, A ∪ B} 

 A   B = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}, A   {3} = {(1, 3), (2, 3)}, A² = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},  {3}³ =  {(3,3,3)}  

 ∅ ∉ ∅, ∅ ∈ {∅   

 ℘(∅) = {∅} , ℘({∅}) = {∅, {∅}} 

 A   ∅ = ∅   A = ∅    

2.7. Gesetzmäßigkeiten  

Die Menge ℘(X) ist bezüglich der Relation ⊆ partiell geordnet, denn für alle A, B, C ⊆ X gilt: 

 Reflexivität:  A ⊆ A  

 Antisymmetrie: Aus  A ⊆ B und B ⊆ A folgt A = B  

 Transitivität: Aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C  

Die Mengen‐Operationen Schnitt ∩ und Vereinigung ∪ sind kommutativ, assoziativ und zueinander  distributiv: 

 Assoziativgesetz: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)  

 Kommutativgesetz: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A  

 Distributivgesetz: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)  ∩ (A ∪ C) und A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)  ∪ (A ∩ C) 

 De Morgansche Gesetze: C(A ∪ B) = CA ∩ CB, C(A ∩ B) = CA ∪ CB  

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Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: 

 Assoziativgesetze: (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C) und A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)  

 Distributivgesetze: (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C), (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),   A \ (B ∩ C)= (A \ B) ∪ (A \ C) und A \ (B ∪ C)= (A \ B) ∩ (A \ C)  

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: 

 Assoziativgesetz: (A   B)   C = A   (B   C)  

 Kommutativgesetz:  A   B = B   A  

 Distributivgesetz: (A   B) ∩ C = (A ∩ C)   (B ∩ C)   A   ∅ = A;  A   A = ∅  

Die Algebra der Mengen ist eine sogenannte Boolesche Algebra. 

2.8. Sonstiges 

 Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des dreidimensionalen euklidischen Rau‐

mes werden aus historischen Gründen oder, um einen Hinweis auf die darin enthaltenen  Elemente zu geben, oft Punktmengen genannt. Dieser Begriff bezeugt die geometrische Her‐

kunft der Mengenlehre. 

 In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Men‐

genlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von  den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zah‐

len (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus). 

 In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große  Bedeutung erlangt. 

 Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene auf. 

 Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme. 

 Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch 

„Zuordnungen“ (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch „Abbildungen“ 

(Funktionen).